3: Integrales
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Si tenemos una función\(f(x)\) que está bien definida para algunos\(a \le x \le b\), su integral sobre esos dos valores se define como\[\int_a^b dx\; f(x) \;=\; \lim_{N \rightarrow \infty} \, \sum_{n=0}^{N} \Delta x\; f(x_n) \;\;\;\mathrm{where}\;\; x_n = a + n\Delta x, \;\; \Delta x \equiv \left(\frac{b-a}{N}\right).\] Esto se llama integral definida, y representa el área bajo la gráfica de\(f(x)\) en la región entre \(x=a\)y\(x=b\), como se muestra en la figura siguiente. La función\(f(x)\) se llama el integrando, y los dos puntos\(a\) y\(b\) se llaman los límites de la integral. El intervalo entre los dos límites se divide en\(N\) segmentos, de longitud\((b-a)/N\) cada uno. Cada término en la suma representa el área de un rectángulo, y como\(N\rightarrow \infty\), la suma converge al área bajo la curva.
Una integral múltiple implica la integración sobre más de una variable. Por ejemplo, cuando tenemos una función\(f(x_1,x_2)\) que depende de dos variables independientes,\(x_1\) y\(x_2\), podemos realizar una doble integral integrando primero sobre una variable, luego la otra variable:\[\int_{a_1}^{b_1} dx_1 \int_{a_2}^{b_2} dx_2 \; f(x_1, x_2) \equiv \int_{a_1}^{b_1} dx_1 F(x_1)\quad\text{where}\;\;F(x_1) \equiv \int_{a_2}^{b_2} dx_2 \; f(x_1, x_2).\]