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20.3: Reglas de Kirchhoff

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    objetivos de aprendizaje

    • Describir la relación entre las leyes de circuito de Kirchhoff y la energía y carga en los circuitos eléctricos

    Introducción a las leyes de Kirchhoff

    Las leyes de circuito de Kirchhoff son dos ecuaciones publicadas por primera vez por Gustav Kirchhoff en 1845. Fundamentalmente, abordan la conservación de energía y carga en el contexto de los circuitos eléctricos.

    Aunque las leyes de Kirchhoff pueden derivarse de las ecuaciones de James Clerk Maxwell, Maxwell no publicó su conjunto de ecuaciones diferenciales (que forman la base de la electrodinámica clásica, óptica y circuitos eléctricos) hasta 1861 y 1862. Kirchhoff, más bien, utilizó el trabajo de Georg Ohm como base para la ley actual de Kirchhoff (KCL) y la ley de voltaje de Kirchhoff (KVL).

    Las leyes de Kirchhoff son sumamente importantes para el análisis de los circuitos cerrados. Consideremos, por ejemplo, el circuito ilustrado en la figura siguiente, que consta de cinco resistencias en una combinación de disposiciones en serie y paralelas. La simplificación de este circuito a una combinación de conexiones en serie y paralelas es imposible. Sin embargo, usando las reglas de Kirchhoff, se puede analizar el circuito para determinar los parámetros de este circuito utilizando los valores de las resistencias (R 1, R2, R 3, r 1 y r 2). También de importancia en este ejemplo es que los valores E1 y E2 representan fuentes de voltaje (e.g., baterías).

    imagen

    Circuito Cerrado: Para determinar todas las variables (es decir, caídas de corriente y voltaje a través de las diferentes resistencias) en este circuito, se deben aplicar las reglas de Kirchhoff.

    Como nota final, las leyes de Kirchhoff dependen de ciertas condiciones. La ley de voltaje es una simplificación de la ley de inducción de Faraday, y se basa en el supuesto de que no hay campo magnético fluctuante dentro del circuito cerrado. Así, aunque esta ley se puede aplicar a circuitos que contienen resistencias y condensadores (así como otros elementos de circuito), sólo puede ser utilizada como una aproximación al comportamiento del circuito cuando se trata de una corriente cambiante y por lo tanto de campo magnético.

    La regla de unión

    La regla de cruce de Kirchhoff establece que en cualquier cruce de circuito, la suma de las corrientes que entran y salen de esa unión son iguales.

    objetivos de aprendizaje

    • Describir la relación entre las leyes de circuito de Kirchhoff y la energía y carga en los circuitos eléctricos

    La regla de cruce de Kirchhoff, también conocida como la ley actual de Kirchhoff (KCL), la primera ley de Kirchoff, la regla puntual de Kirchhoff y la regla nodal de Kirchhoff, es una aplicación del principio de conservación de la carga eléctrica.

    La regla de cruce de Kirchhoff establece que en cualquier cruce (nodo) en un circuito eléctrico, la suma de las corrientes que fluyen hacia esa unión es igual a la suma de las corrientes que fluyen fuera de esa unión. Es decir, dado que una corriente será positiva o negativa dependiendo de si está fluyendo hacia o lejos de una unión, la suma algebraica de corrientes en una red de conductores que se encuentran en un punto es igual a cero. Se puede ver una representación visual en.

    imagen

    Ley de cruce de Kirchhoff: Ley de cruce de Kirchhoff ilustrada como corrientes que fluyen dentro y fuera de un cruce.

    Teoría de las reglas de bucle y unión de Kirchhoff: justificamos las reglas de Kirchhoff a partir de la diarrea y la conservación de energía. Algunas personas las llaman leyes, ¡pero yo no!

    Así, la regla de cruce de Kirchoff se puede afirmar matemáticamente como una suma de corrientes (I):

    \[\sum _ { \mathrm { k } = 1 } ^ { \mathrm { n } } \mathrm { I } _ { \mathrm { k } } = 0\]

    donde n es el número total de ramas que transportan corriente hacia o lejos del nodo.

    Esta ley se fundamenta en la conservación de la carga (medida en culombios), que es producto de la corriente (amperios) y el tiempo (segundos).

    Limitación

    La ley de cruce de Kirchhoff está limitada en su aplicabilidad. Se sostiene para todos los casos en los que la carga eléctrica total (Q) es constante en la región en consideración. Prácticamente, esto siempre es cierto siempre y cuando se aplique la ley por un punto específico. En una región, sin embargo, la densidad de carga puede no ser constante. Debido a que la carga se conserva, la única manera de que esto es posible es si hay un flujo de carga a través del límite de la región. Este flujo sería una corriente, violando así la ley de cruce de Kirchhoff.

    La regla del bucle

    La regla de bucle de Kirchhoff establece que la suma de los valores de emf en cualquier bucle cerrado es igual a la suma de las caídas potenciales en ese bucle.

    objetivos de aprendizaje

    • Formular la regla de bucle de Kirchhoff, señalando sus suposiciones

    La regla de bucle de Kirchhoff (también conocida como ley de voltaje de Kirchhoff (KVL), regla de malla de Kirchhoff, segunda ley de Kirchhoff o segunda regla de Kirchhoff) es una regla perteneciente a los circuitos, y se basa en el principio de conservación de energía.

    La conservación de la energía, el principio de que la energía no se crea ni se destruye, es un principio omnipresente en muchos estudios de física, incluidos los circuitos. Aplicado a los circuitos, está implícito que la suma dirigida de las diferencias de potencial eléctrico (voltajes) alrededor de cualquier red cerrada es igual a cero. En otras palabras, la suma de los valores de fuerza electromotriz (emf) en cualquier bucle cerrado es igual a la suma de las caídas de potencial en ese bucle (que pueden provenir de resistencias).

    Otra afirmación equivalente es que la suma algebraica de los productos de las resistencias de los conductores (y las corrientes en ellos) en un bucle cerrado es igual a la fuerza electromotriz total disponible en ese bucle. Matemáticamente, la regla de bucle de Kirchhoff se puede representar como la suma de voltajes en un circuito, que se equipara con cero:

    Teoría de las reglas de bucle y unión de Kirchhoff: justificamos las reglas de Kirchhoff a partir de la diarrea y la conservación de energía. Algunas personas las llaman leyes, ¡pero yo no!

    \[\sum _ { \mathrm { k } = 1 } ^ { \mathrm { n } } \mathrm { V } _ { \mathrm { k } } = 0\]

    Aquí, V k es el voltaje a través del elemento k, y n es el número total de elementos en el circuito de bucle cerrado. Una ilustración de dicho circuito se muestra en. En este ejemplo, la suma de v 1, v 2, v 3 y v 4 (y v 5 si se incluye), es cero.

    imagen

    Regla de Bucle de Kirchhoff: La regla de bucle de Kirchhoff establece que la suma de todos los voltajes alrededor del bucle es igual a cero: v1 + v2 + v3 — v4 = 0.

    Dado que el voltaje es una medida de energía por unidad de carga, la regla de bucle de Kirchhoff se basa en la ley de conservación de energía, que establece: la energía total ganada por unidad de carga debe ser igual a la cantidad de energía perdida por unidad de carga.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\):

    ilustra los cambios en el potencial en un bucle de circuito en serie simple. La segunda regla de Kirchhoff requiere EMF−ir−iR 1 −IR 2 =0. Reorganizado, esto es EMF=IR+IR 1 +IR 2, lo que significa que la emf es igual a la suma de las caídas de IR (voltaje) en el bucle. La emf suministra 18 V, que se reduce a cero por las resistencias, con 1 V a través de la resistencia interna, y 12 V y 5 V a través de las dos resistencias de carga, para un total de 18 V.

    imagen

    La regla del bucle: Un ejemplo de la segunda regla de Kirchhoff donde la suma de los cambios en el potencial alrededor de un bucle cerrado debe ser cero. (a) En este esquema estándar de un circuito en serie simple, la emf suministra 18 V, que se reduce a cero por las resistencias, con 1 V a través de la resistencia interna, y 12 V y 5 V a través de las dos resistencias de carga, para un total de 18 V. (b) Esta vista en perspectiva representa el potencial como algo así como un montaña rusa, donde la carga es elevada en potencial por la CEM y bajada por las resistencias. (Tenga en cuenta que el guión E significa emf.)

    Limitación

    La regla de bucle de Kirchhoff es una simplificación de la ley de inducción de Faraday, y se sostiene bajo el supuesto de que no hay un campo magnético fluctuante que vincule el bucle cerrado. En presencia de un campo magnético variable, se podrían inducir campos eléctricos y se podrían producir emf, en cuyo caso la regla de bucle de Kirchhoff se descompone.

    Aplicaciones

    Las reglas de Kirchhoff pueden usarse para analizar cualquier circuito y modificarse para aquellos con EMF, resistencias, capacitores y más.

    objetivos de aprendizaje

    • Describir las condiciones cuando las reglas de Kirchoff son útiles para aplicar

    Visión general

    Las reglas de Kirchhoff se pueden usar para analizar cualquier circuito modificándolos para aquellos circuitos con fuerzas electromotrices, resistencias, capacitores y más. En términos prácticos, sin embargo, las reglas sólo son útiles para caracterizar aquellos circuitos que no pueden simplificarse combinando elementos en serie y en paralelo.

    Las combinaciones en serie y paralelo suelen ser mucho más fáciles de realizar que aplicar cualquiera de las reglas de Kirchhoff, pero las reglas de Kirchhoff son más ampliamente aplicables y deben usarse para resolver problemas que involucran circuitos complejos que no pueden simplificarse combinando elementos de circuito en serie o paralelo.

    Ejemplo de las reglas de Kirchoff

    muestra un circuito muy complejo, pero se pueden aplicar las reglas de bucle y cruce de Kirchhoff. Para resolver el circuito para las corrientes I 1, I 2, y I 3, ambas reglas son necesarias.

    imagen

    Reglas de Kirchhoff: problema de muestra: Esta imagen muestra un circuito muy complicado, que se puede reducir y resolver usando las Reglas de Kirchoff.

    Aplicando la regla de cruce de Kirchhoff en el punto a, encontramos:

    \[\mathrm { I } _ { 1 } = \mathrm { I } _ { 2 } + \mathrm { I } _ { 3 }\]

    porque I 1 fluye hacia el punto a, mientras que I 2 e I3 fluyen hacia fuera. Lo mismo se puede encontrar en el punto e. Ahora debemos resolver esta ecuación para cada una de las tres variables desconocidas, que requerirán tres ecuaciones diferentes.

    Considerando el bucle abcdea, podemos usar la regla de bucle de Kirchhoff:

    \[- \mathrm { I } _ { 2 } \mathrm { R } _ { 2 } + \mathrm { emf } _ { 1 } - \mathrm { I } _ { 2 } \mathrm { r } _ { 1 } - \mathrm { I } _ { 1 } \mathrm { R } _ { 1 } = - \mathrm { I } _ { 2 } \left( \mathrm { R } _ { 2 } \right) + \mathrm { r } _ { 1 } ) + \mathrm { emf } _ { 1 } - \mathrm { I } _ { 1 } \mathrm { R } _ { 1 } = 0\]

    La sustitución de los valores de resistencia y de emf del diagrama de figuras y la cancelación de la unidad de amperios da:

    \[- 3 \mathrm { I } _ { 2 } + 18 - 6 \mathrm { I } _ { 1 } = 0\]

    Esta es la segunda parte de un sistema de tres ecuaciones que podemos utilizar para encontrar los tres valores actuales. El último se puede encontrar aplicando la regla de bucle al bucle aefgha, que da:

    \[\mathrm { I } _ { 1 } \mathrm { R } _ { 1 } + \mathrm { I } _ { 3 } \mathrm { R } _ { 3 } + \mathrm { I } _ { 3 } \mathrm { r } _ { 2 } - \mathrm { emf } _ { 2 } = \mathrm { I } _ { 1 } \mathrm { R } _ { 1 } + \mathrm { I } _ { 3 } \left( \mathrm { R } _ { 3 } + \mathrm { r } _ { 2 } \right) - \mathrm { emf } _ { 2 } = 0\]

    Usando la sustitución y la simplificación, esto se convierte en:

    \[6 \mathrm { I } _ { 1 } + 2 \mathrm { I } _ { 3 } - 45 = 0 \]

    En este caso, los signos se invirtieron en comparación con el otro bucle, debido a que los elementos se recorren en sentido contrario.

    Ahora tenemos tres ecuaciones que se pueden utilizar en un sistema. El segundo se utilizará para definir I 2, y se puede reorganizar para:

    \[\mathrm { I } _ { 2 } = 6 - 2 \mathrm { I } _ { 1 }\]

    La tercera ecuación se puede utilizar para definir I 3, y se puede reorganizar para:

    \[\mathrm { I } _ { 3 } = 22.5 - 3 \mathrm { I } _ { 1 }\]

    Sustituyendo las nuevas definiciones de I 2 y I 3 (que son ambas en términos comunes de I 1), en la primera ecuación (I 1 =I 2 +I 3), obtenemos:

    \[I\mathrm { I } _ { 1 } = \left( 6 - 2 \mathrm { I } _ { 1 } \right) + \left( 22.5 - 3 \mathrm { I } _ { 1 } \right) = 28.5 - 5 \mathrm { I } _ { 1 }\]

    Simplificando, encontramos que I 1 =4.75 A. Insertando este valor en las otras dos ecuaciones, encontramos que I 2 =-3.50 A y I 3 =8.25 A.

    Puntos Clave

    • Kirchhoff utilizó el trabajo de Georg Ohm como base para crear la ley actual de Kirchhoff (KCL) y la ley de voltaje de Kirchhoff (KVL) en 1845. Estos pueden derivarse de las ecuaciones de Maxwell, que llegaron 16-17 años después.
    • Es imposible analizar algunos circuitos de bucle cerrado simplificando como suma y/o serie de componentes. En estos casos, se pueden utilizar las leyes de Kirchhoff.
    • Las leyes de Kirchhoff son casos especiales de conservación de energía y carga.
    • La regla de unión de Kirchhoff es una aplicación del principio de conservación de la carga eléctrica: la corriente es flujo de carga por tiempo, y si la corriente es constante, la que fluye hacia un punto en un circuito debe ser igual a la que fluye fuera de ella.
    • La representación matemática de la ley de Kirchhoff es:\(\mathrm{\sum _ { k = 1 } ^ { n } I _ { k } = 0}\) donde I k es la corriente de k, y n es el número total de cables que entran y salen de una unión en consideración.
    • La ley de cruce de Kirchhoff está limitada en su aplicabilidad sobre regiones, en las que la densidad de carga puede no ser constante. Debido a que la carga se conserva, la única manera de que esto es posible es si hay un flujo de carga a través del límite de la región. Este flujo sería una corriente, violando así la ley.
    • La regla de bucle de Kirchhoff es una regla perteneciente a los circuitos que se basa en el principio de conservación de energía.
    • Matemáticamente, la regla de bucle de Kirchoff se puede representar como la suma de voltajes (V k) en un circuito, que se equipara con cero:\(\mathrm{\sum _ { k = 1 } ^ { n } V _ { k } = 0}\).
    • La regla de bucle de Kirchhoff es una simplificación de la ley de inducción de Faraday y se sostiene bajo el supuesto de que no hay un campo magnético fluctuante que vincule el bucle cerrado.
    • Las reglas de Kirchhoff se pueden aplicar a cualquier circuito, independientemente de su composición y estructura.
    • Debido a que combinar elementos suele ser fácil en paralelo y en serie, no siempre es conveniente aplicar las reglas de Kirchhoff.
    • Para resolver la corriente en un circuito, se pueden aplicar las reglas de bucle y cruce. Una vez que todas las corrientes están relacionadas por la regla de cruce, se puede usar la regla de bucle para obtener varias ecuaciones para usar como sistema para encontrar cada valor de corriente en términos de otras corrientes. Estos se pueden resolver como un sistema.

    Términos Clave

    • resistor: Un componente eléctrico que transmite corriente en proporción directa a la tensión a través de ella.
    • fuerza electromotriz: (EMF) —El voltaje generado por una batería o por la fuerza magnética según la Ley de Faraday. Se mide en unidades de voltios (no newtons, N; EMF no es una fuerza).
    • condensador: Un componente electrónico que consiste en dos placas conductoras separadas por espacio vacío (a veces un material dieléctrico se interpone entre las placas), y capaz de almacenar una cierta cantidad de carga.
    • carga eléctrica: Un número cuántico que determina las interacciones electromagnéticas de algunas partículas subatómicas; por convención, el electrón tiene una carga eléctrica de -1 y el protón +1, y los quarks tienen carga fraccional.
    • corriente: La tasa de tiempo de flujo de carga eléctrica.

    LICENCIAS Y ATRIBUCIONES

    CONTENIDO CON LICENCIA CC, COMPARTIDO PREVIAMENTE

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