7.3: Momentum, Segunda Ley de Newton y Tercera Ley

Newton comenzó su análisis de la causa del movimiento introduciendo la cantidad de movimiento:

Definición: Cantidad de movimiento

La cantidad de movimiento es la medida del mismo, derivado de la velocidad y cantidad de materia conjuntamente.

El movimiento del conjunto es la suma del movimiento de todas sus partes; y por lo tanto en un cuerpo doble en cantidad, con igual velocidad, el movimiento es doble, con el doble de velocidad, es cuádruple.

Nuestro término moderno para cantidad de movimiento es momentum y es una cantidad vectorial

\[\overrightarrow{\mathbf{p}}=m \overrightarrow{\mathbf{v}} \nonumber \]

donde m es la masa inercial y\(\overrightarrow{\mathbf{V}}\) es la velocidad del cuerpo. La Segunda Ley de Newton establece que

Ley II: El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresionada, y se realiza en la dirección de la línea derecha en la que se impresiona esa fuerza.

Si alguna fuerza genera un movimiento, una doble fuerza generará el doble del movimiento, una triple fuerza triplicará el movimiento, ya sea que esa fuerza se imprima por completo y a la vez o gradual y sucesivamente. Y este movimiento (siendo siempre dirigido de la misma manera con la fuerza generadora), si el cuerpo movido antes, se suma o resta del movimiento anterior, de acuerdo como conspiran directamente con o son directamente contrarios entre sí; u oblicuamente unidos, cuando son oblicuos, para producir un nuevo movimiento agravado a partir de la determinación de ambos.

Supongamos que se aplica una fuerza a un cuerpo por un intervalo de tiempo\(\Delta t\). La fuerza o impulso impresionado (una cantidad vectorial\(\overrightarrow{\mathbf{I}}\)) produce un cambio en el impulso del cuerpo,

\[\overrightarrow{\mathbf{I}}=\overrightarrow{\mathbf{F}} \Delta t=\Delta \overrightarrow{\mathbf{p}} \nonumber \]

Del comentario a la segunda ley, Newton también consideró fuerzas que se aplicaban continuamente a un cuerpo en lugar de impulsivamente. La acción instantánea de la fuerza total que actúa sobre un cuerpo en un tiempo t se define tomando el límite matemático a medida que el intervalo de tiempo\(\Delta t\) se hace cada vez más pequeño,

\[\overrightarrow{\mathbf{F}}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \overrightarrow{\mathbf{p}}}{\Delta t} \equiv \frac{d \overrightarrow{\mathbf{p}}}{d t} \nonumber \]

Cuando la masa permanece constante en el tiempo, la Segunda Ley puede refundirse en su forma más familiar,

\[\overrightarrow{\mathbf{F}}=m \frac{d \overrightarrow{\mathbf{v}}}{d t} \nonumber \]

Debido a que la derivada de la velocidad es la aceleración, la fuerza es producto de la masa y la aceleración,

\[\overrightarrow{\mathbf{F}}=m \overrightarrow{\mathbf{a}} \nonumber \]

Debido a que definimos la fuerza en términos de cambio en el movimiento, la Segunda Ley parece ser una reformulación de esta definición, y desprovista de poder predictivo ya que la fuerza solo se determina midiendo la aceleración. Lo que transforma la Segunda Ley de tan solo una definición es el insumo adicional que proviene de las leyes de fuerza que se basan en observaciones experimentales sobre las interacciones entre cuerpos. A lo largo de este libro, investigaremos estas leyes de fuerza y aprenderemos a utilizarlas para determinar las fuerzas y aceleraciones que actúan sobre un cuerpo (lado izquierdo de la Segunda Ley de Newton). Cuando un cuerpo físico está obligado a moverse a lo largo de una superficie, o dentro de un contenedor (por ejemplo, moléculas de gas en un contenedor), hay fuerzas de restricción que no están determinadas de antemano por ninguna ley de fuerza sino que solo están determinadas por su efecto sobre el movimiento del cuerpo. Para cualquier movimiento restringido dado, estas fuerzas de restricción son desconocidas y deben ser determinadas por el movimiento particular del cuerpo que estamos estudiando, por ejemplo la fuerza de contacto de la superficie sobre el cuerpo, o la fuerza de la pared sobre las partículas de gas.

El lado derecho de la Segunda Ley de Newton es producto de la masa con aceleración. La aceleración es una descripción matemática de cómo cambia la velocidad de un cuerpo. El conocimiento de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo nos permite predecir la aceleración. La ecuación (7.3.5) se conoce como la ecuación del movimiento. Una vez que conocemos esta ecuación podemos determinar la velocidad y posición de ese cuerpo en todos los tiempos futuros mediante técnicas de integración, o técnicas computacionales. Para el movimiento restringido, si conocemos la aceleración del cuerpo, también podemos determinar las fuerzas de restricción que actúan sobre el cuerpo.