15.20: Aceleración
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La Figura XV.33 muestra dos fotogramas de referencia\( \Sigma'\),\( \Sigma\) y, este último moviéndose a velocidad\( v\) con respecto al primero.
Una partícula se mueve con aceleración\( \bf{a'}\) en\( \Sigma'\). (“in\( \Sigma'\)” = “referido al marco de referencia\( \Sigma'\)”.) La velocidad no está necesariamente, por supuesto, en la misma dirección que la aceleración, y supondremos que su velocidad en\( \Sigma'\) es\( \bf{u'}\). Los componentes de aceleración y velocidad en\( \Sigma'\) son\( a'_{x'}, a'_{y'}, u'_{x'}, u'_{y'}\).
¿En qué consiste la aceleración de la partícula\( \Sigma\)? Comenzaremos con el\( x\) -componente.
El\( x\) -componente de su aceleración en\( \Sigma\) viene dado por
\[ a_{x}=\frac{du_{x}}{dt}, \label{15.20.1} \]
donde
\[ u_{x}=\frac{u_{x}'+v}{1+\frac{u_{x}'v}{c^{2}}} \label{15.16.2} \]
y
\[ t=\gamma\left(t'+\frac{vx'}{c^{2}}\right) \label{15.5.19}\tag{15.5.19} \]
Las ecuaciones 15.16.2 y 15.5.19 nos dan
\[ du_{x}=\frac{du_{x}}{du'_{x}}du'_{x}=\frac{du'_{x}}{\gamma^{2}(1+\frac{u'_{x}v}{c^{2}})^{2}} \label{15.20.2} \]
y
\[ dt\ =\frac{\partial t}{\partial t'}dt'+\frac{\partial t}{\partial x'}dx'=\gamma dt'\ +\ \frac{\gamma v}{c^{2}}dx' \label{15.20.3} \]
Al sustituir estos en Ecuación\( \ref{15.20.1}\) y un álgebra muy poco, obtenemos
\[ a_{x}=\frac{a'}{\gamma^{3}(1+\frac{u'_{x}v}{c^{2}})^{3}} \label{15.20.4} \]
El\( y\) -componente de su aceleración en\( \Sigma\) viene dado por
\[ a_{y}=\frac{du_{y}}{dt}, \label{15.20.5} \]
Ya hemos elaborado el denominador\( dt\) (Ecuación\(\ref{15.20.3}\)). Sabemos que
\[ u_{y}=\frac{u'_{y'}}{\gamma(1+\frac{u'_{x'}v}{c^{2}})} \label{15.16.3}\tag{15.16.3} \]
de la cual
\[ du_{y}=\frac{\partial u_{y}}{\partial u'_{x'}}+\frac{\partial u_{y}}{\partial u'_{y'}}\partial u'_{y'}=\frac{1}{\gamma}\left(-\frac{vu'_{y'}}{c^{2}\left(1+\frac{vu'_{x'}}{c^{2}}\right)^{2}}du'_{x'}+\frac{1}{1+\frac{vu'_{x'}}{c^{2}}}du'_{y'}\right). \label{15.20.6} \]
Dividir Ecuación\( \ref{15.20.6}\) por Ecuación\( \ref{15.20.3}\) para obtener
\[ a_{y}=\frac{1}{\gamma^{2}}\left(-\frac{vu'_{y'}}{c^{2}\left(1+\frac{vu'_{x'}}{c^{2}}\right)^{2}}a'_{x'}+\frac{1}{1+\frac{vu'_{x'}}{c^{2}}}a'_{y'}\right). \label{15.20.7} \]