15.29: Fuerza

La fuerza se define como la tasa de cambio de impulso, y deseamos encontrar la transformación entre las fuerzas referidas a los marcos en movimiento relativo uniforme de tal manera que esta relación se mantenga en todos esos marcos.

Supongamos que\( \Sigma'\), en, una masa tiene masa instantánea\( m'\) y velocidad cuyos componentes instantáneos son\( u'_{x'}\) y\( u'_{y'}\). Si una fuerza actúa sobre ella, entonces la velocidad y por lo tanto también la masa son funciones del tiempo. El\( x\) -componente de la fuerza viene dado por

\[ F'_{x'}=\frac{d}{dt}(m'u'_{x'}). \label{15.29.1} \]

Queremos expresar todo por el lado derecho en cuanto a cantidades sin imprimar. Así, a partir de la Ecuación 15.21.8 y la inversa de la Ecuación 15.16.2, obtenemos

\[ m'u'_{x'}=m\gamma(u_{x}-v). \label{15.29.2} \]

También

\[ \frac{d}{dt'}=\frac{dt}{dt'}\frac{d}{dt} \label{15.29.3} \]

Primero evaluemos\( \frac{d}{dt}(m\gamma u_{x}-m\gamma v)\). En esta expresión,\( v\) y\( \gamma\) son independientes del tiempo (el marco\( \Sigma'\) se mueve a velocidad constante con relación a\( \Sigma\)), y\( \frac{d}{dt}\) de\( mu_{x}\) es el\( x\) -componente de la fuerza en\( \Sigma\), es decir\( F_{x}\). Así

\[ \frac{d}{dt}(m\gamma u_{x}-m\gamma v)=\gamma\left(F_{x}-v\frac{dm}{dt}\right). \label{15.29.4} \]

Ahora necesitamos evaluar\( \frac{d}{dt'}\) en términos de cantidades no imprimadas. Si empezamos con

\[ dt'=\left(\frac{\partial t'}{\partial x}\right)_{t}dx+\left(\frac{\partial t'}{\partial t}\right)_{x}dt \label{15.29.6} \]

y evaluaremos\( \frac{dt'}{dt}\) cuál, al ser un derivado total, es el recíproco de\( \frac{dt}{dt'}\). Las derivadas parciales están dadas por las Ecuaciones 15.15.3j, k y l, mientras que\( \frac{dx}{dt}=u_{x}\). De ahí que obtengamos

\[ \frac{dt}{dt'}=\frac{1}{\gamma\left(1-\frac{u_{x}v}{c^{2}}\right)}. \label{15.29.7} \]

Así llegamos a

\[ F'_{x'}=\frac{F_{x}-v\left(\frac{dm}{dt}\right)}{1-\frac{u_{x}v}{c^{2}}} \label{15.29.8} \]

La masa no es constante (\( \frac{dm}{dt}\)es decir, no es cero) porque hay una fuerza que actúa sobre el cuerpo, y tenemos que relacionar el término\( \frac{dm}{dt}\) con la fuerza. En algún instante cuando la fuerza y la velocidad (in\( \Sigma\)) son\( \bf{F}\) y\( \bf{u}\), la velocidad a la que\( \bf{F}\) está haciendo el trabajo en el cuerpo es\( \bf{F*u}\)\( =F_{x}u_{x}+F_{y}u_{y}+F_{z}u_{z}\) y esto es igual a la tasa de aumento de la energía del cuerpo, que es\( \dot{m}c^{2}\). (En la Sección 15.24, al derivar la expresión de energía cinética, escribí que la tasa de trabajo era igual a la tasa de incremento de la energía cinética. Ahora acabo de escribir que es igual a la tasa de incremento de la energía (total). ¿Cuál es la razón?)

\[ \frac{dm}{dt}=\frac{1}{c^{2}}(F_{x}u_{x}+F_{y}u_{y}+F_{z}u_{z}). \label{15.29.9} \]

Sustituya esto en Ecuación\( \ref{15.29.8}\) y, después de un poco más de álgebra, finalmente obtenemos la transformación para\( F'_{x'}\):

\[ F'_{x'}=F_{x}-\frac{v}{c^{2}-u_{x}v}(u_{y}F_{y}+u_{z}F_{z}). \label{15.29.10} \]

Los\( z'-\) componentes\( y'-\) y son un poco más fáciles, y lo dejo como ejercicio para demostrar que

\[ F'_{y'}=\frac{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}{1-\frac{u_{x}v}{c}}F_{y} \label{15.29.11} \]

\[ F'_{z'}=\frac{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}{1-\frac{u_{x}v}{c}}F_{z}. \label{15.29.12} \]

Como es habitual, las transformaciones inversas se encuentran intercambiando las cantidades cebadas y no cebadas y cambiando el signo de\( v\).

La fuerza sobre una partícula y su aceleración resultante no están en general en la misma dirección, porque la masa no es constante. (La segunda ley de Newton no es\( \bf{F}=m\bf{a}\); lo es\( \bf{F}=\bf{\dot{p}}\)) Así

\[ \textbf{F}=\frac{d}{dt}(m\textbf{u})=m\textbf{a}+\dot{m}\textbf{u}. \label{15.29.13} \]

Aquí

\[ m=\frac{m_{0}}{\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}} \label{15.29.14} \]

y así

\[ \dot{m}=\frac{m_{0}ua}{c^{2}\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)^{\frac{3}{2}}}. \label{15.29.15} \]

Así

\[ \textbf{F}=\frac{m_{0}}{\left(1-\frac{u^{2}}{c^{2}}\right)^{\frac{1}{2}}} \left(\textbf{a}+\frac{ua}{c^{2}-u^{2}}\textbf{u}\right). \label{15.29.16} \]