12.5: Perturbación armónica

Consideremos una perturbación (hermitiana) que oscila sinusoidalmente en el tiempo. Esto se suele denominar perturbación armónica. Tal perturbación toma la forma

\[\label{e13.51} H_1(t) = V\,\exp(\,{\rm i}\,\omega\,t) + V^\dagger\,\exp(-{\rm i}\,\omega\,t),\]donde\(V\) es, en general, una función de los operadores de posición, impulso y giro.

De las ecuaciones ([e13.48]) y ([e13.51]) se desprende que, a primer orden,\[c_f(t) = - \frac{\rm i}{\hbar}\int_0^t\left[V_{fi}\,\exp(\,{\rm i}\,\omega\,t') + V_{fi}^\dagger\,\exp(-{\rm i}\,\omega\,t')\right] \exp(\,{\rm i}\,\omega_{fi}\,t')\,dt',\] donde

\[\begin{aligned} \label{e13.53} V_{fi}&= \langle f|V|i\rangle,\\[0.5ex] V_{fi}^\dagger &=\langle f|V^\dagger|i\rangle = \langle i|V|f\rangle^\ast.\end{aligned}\]Integración con respecto a\(t'\) rendimientos\[\begin{aligned} c_f(t)&= - \frac{{\rm i}\,t}{\hbar}\left(V_{fi}\,\exp\left[\,{\rm i}\,(\omega+\omega_{fi})\,t/2\right]{\rm sinc}\left[(\omega+\omega_{fi})\,t/2\right]\right.\nonumber\\[0.5ex]& \left.\phantom{=}+V_{fi}^\dagger\,\exp\left[-{\rm i}\,(\omega-\omega_{fi})\,t/2\right]{\rm sinc}\left[(\omega-\omega_{fi})\,t/2\right]\right),\label{e13.55}\end{aligned}\] donde\[{\rm sinc}\, x\equiv \frac{\sin\,x}{x}.\]

Figura 25: Las funciones\(\begin{equation}\operatorname{sinc}(x)\end{equation}\) (curva discontinua) y\(\begin{equation}\operatorname{sinc}^{2}(x)\end{equation}\) (curva sólida). Las líneas punteadas verticales denotan la región\(\begin{equation}|x| \leq \pi\end{equation}\)

Ahora, la función\({\rm sinc}(x)\) toma sus valores más grandes cuando\(\begin{equation}|x| \lesssim \pi\end{equation}\), y es bastante insignificante cuando\(|x|\gg \pi\). (Ver Figura [fsinc].) Así, los términos primero y segundo en el lado derecho de la Ecuación ([e13.55]) son solo no despreciables cuando

\ begin {ecuación}\ izquierda|\ omega+\ omega_ {f i}\ derecha|\ lesssim\ frac {2\ pi} {t}\ end {ecuación} y\ begin {ecuación}\ izquierda|\ omega-\ omega_ {f i}\ derecha|\ lesssim\ frac {2\ pi} {t}\ end {ecuación} respectivamente.

Claramente, a medida que\(t\) aumenta, los rangos en\(\omega\) los que estos dos términos son no despreciables se reducen gradualmente de tamaño. Eventualmente, cuando\(t\gg 2\pi/|\omega_{fi}|\), estos dos rangos se vuelven fuertemente no superpuestos. De ahí que, en este límite,\(P_{i\rightarrow f}=|c_f|^{\,2}\) los rendimientos

\[\label{e13.49} P_{i\rightarrow f}(t) = \frac{t^{\,2}}{\hbar^{\,2}}\left\{ |V_{fi}|^{\,2}\,{\rm sinc}^2\left[(\omega+\omega_{fi})\,t/2\right] + |V_{fi}^\dagger|^{\,2}\,{\rm sinc}^2\left[(\omega-\omega_{fi})\,t/2\right]\right\}.%\label{e13.59}\]

Ahora, la función\({\rm sinc}^2(x)\) está muy fuertemente alcanzó su punto máximo\(x=0\), y es completamente insignificante para\(\begin{equation}|x| \gg \pi\end{equation}\). (Ver Figura [fsinc].) De ello se deduce que la expresión anterior exhibe una respuesta resonante a la perturbación aplicada en las frecuencias\(\omega=\pm\omega_{fi}\). Además, las anchuras de estas resonancias disminuyen linealmente a medida que aumenta el tiempo. En cada una de las resonancias (es decir, at\(\omega=\pm\omega_{fi}\)), la probabilidad de transición\(P_{i\rightarrow f}(t)\) varía como\(t^{\,2}\) [porque\({\rm sinh} (0)=1\)]. Este comportamiento es totalmente consistente con nuestro resultado anterior ([e13.28]), para el sistema de dos estados, en el límite\(\gamma\,t\ll 1\) (recordemos que nuestra solución perturbadora solo es válida siempre y cuando\(P_{i\rightarrow f}\ll 1\)).

La resonancia en\(\omega=-\omega_{fi}\) corresponde a\[E_f - E_i = -\hbar\,\omega.\] Esto implica que el sistema pierde energía\(\hbar\,\omega\) al campo perturbador, al tiempo que realiza una transición a un estado final cuya energía es menor que el estado inicial por\(\hbar\,\omega\). Este proceso se conoce como emisión estimulada. La resonancia en\(\omega=\omega_{fi}\) corresponde a\[E_f - E_i = \hbar\,\omega.\] Esto implica que el sistema gana energía\(\hbar\,\omega\) del campo perturbador, al tiempo que realiza una transición a un estado final cuya energía es mayor que la del estado inicial por\(\hbar\,\omega\). Este proceso se conoce como absorción.

La emisión y absorción estimuladas son procesos mutuamente excluyentes, porque el primero requiere\(\omega_{fi}<0\), mientras que el segundo requiere\(\omega_{fi}>0\). De ahí que podamos escribir las probabilidades de transición para ambos procesos por separado. Así, a partir de la Ecuación ([e13.49]), la probabilidad de transición para la emisión estimulada es\[P_{i\rightarrow f}^{stm}(t) = \frac{t^{\,2}}{\hbar^{\,2}}\, |V_{if}^\dagger|^{\,2}\,{\rm sinc}^2\left[(\omega-\omega_{if})\,t/2\right],\] donde hemos hecho uso de los hechos que\(\omega_{if}=-\omega_{fi}>0\), y\(|V_{fi}|^{\,2}=|V_{if}^\dagger|^{\,2}\). Asimismo, la probabilidad de transición para la absorción es

\[\label{e13.63} P_{i\rightarrow f}^{abs}(t) = \frac{t^{\,2}}{\hbar^{\,2}}\, |V_{fi}^\dagger|^{\,2}\,{\rm sinc}^2\left[(\omega-\omega_{fi})\,t/2\right].\]

Colaboradores y Atribuciones

• Richard Fitzpatrick (Professor of Physics, The University of Texas at Austin)