1.4: Exponentes
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\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\( \newcommand{\dsum}{\displaystyle\sum\limits} \)
\( \newcommand{\dint}{\displaystyle\int\limits} \)
\( \newcommand{\dlim}{\displaystyle\lim\limits} \)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\id}{\mathrm{id}}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
\( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)
\( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\)
\( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\)
\( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\)
\( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\)
\( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\)
\( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\)
\( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)
\( \newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow\)
\( \newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\( \newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}} \)
\( \newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}} \)
\( \newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}} \)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \)
\(\newcommand{\longvect}{\overrightarrow}\)
\( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)
\(\newcommand{\ket}[1]{\left| #1 \right>}\)
\(\newcommand{\bra}[1]{\left< #1 \right|}\)
\(\newcommand{\braket}[2]{\left< #1 \vphantom{#2} \right| \left. #2 \vphantom{#1} \right>}\)
\(\newcommand{\braopket}[3]{\left< #1 \vphantom{#2}\vphantom{#3} \right| #2 \vphantom{#1}\vphantom{#3} \left| #3 \vphantom{#1}\vphantom{#2} \right>}\)
\(\newcommand{\qmvec}[1]{\mathbf{\vec{#1}}}\)
\(\newcommand{\op}[1]{\hat{\mathbf{#1}}}\)
\(\newcommand{\expect}[1]{\langle #1 \rangle}\)
\(\newcommand{\dfn}[1]{\emph{\textbf{#1}}}\)
Las Leyes de los Exponentes permiten reescribir expresiones algebraicas que involucran exponentes. Los tres últimos enumerados aquí son realmente definiciones más que reglas.
Todas las variables aquí representan números reales y todas las variables en denominadores son distintas de cero.
- \(x^a\cdot x^b=x^{a+b}\)
- \(\dfrac{x^a}{x^b}=x^{a-b}\)
- \(\left(x^a\right)^b=x^{ab}\)
- \((xy)^a=x^a y^a\)
- \(\left(\dfrac{x}{y}\right)^b=\dfrac{x^b}{y^b}\)
- \(x^0=1\), siempre\(x\neq 0\). [Aunque en algunos contextos todavía\(0^0\) se define como 1.]
- \(x^{-n}=\dfrac{1}{x^n}\), siempre\(x\neq 0\).
- \(x^{1/n}=\sqrt[n]{x}\), siempre\(x\neq 0\).
Simplificar\(\left(2x^2\right)^3(4x)\).
Solución
Empezaremos simplificando la\(\left(2x^2\right)^3\) porción. Usando la Propiedad 4, podemos escribir
| \(2^3\left(x^2\right)^3(4x)\) | |
| \(8x^6(4x)\) | Evaluar\(2^3\), y usar Propiedad 3. |
| \(32x^7\) | Multiplique las constantes, y use Propiedad 1, recordando\(x = x^1\). |
Poder trabajar con exponentes negativos y fraccionarios será muy importante más adelante en este curso.
Reescribir\(\dfrac{5}{x^3}\) usando exponentes negativos.
Solución
Desde\(x^{-n}=\dfrac{1}{x^n}\) entonces\(x^{-3}=\dfrac{1}{x^3}\) y así\[\dfrac{5}{x^3}=5x^{-3}.\nonumber \]
Simplifica lo más\(\left(\dfrac{x^{-2}}{y^{-3}}\right)^2\) posible y escribe tu respuesta usando solo exponentes positivos.
Solución
\ begin {alinear*}\ izquierda (\ dfrac {x^ {-2}} {y^ {-3}}\ derecha) ^2 & =\ dfrac {\ izquierda (x^ {-2}\ derecha) ^2} {\ izquierda (y^ {-3}\ derecha) ^2}\\ & =\ dfrac {x^ {-4}} {y^ {-6}}\ & =\ dfrac {y^6} {x^4}\ final {alinear*}
Reescribir\(4\sqrt{x}-\dfrac{3}{\sqrt{x}}\) usando exponentes.
Solución
Una raíz cuadrada es un radical con índice de dos. En otras palabras,\(\sqrt{x}=\sqrt[2]{x}\). Usando la regla de exponente anterior,\(\sqrt{x}=\sqrt[2]{x}=x^{1/2}\). Reescribir las raíces cuadradas usando el exponente fraccional,\[4\sqrt{x}-\dfrac{3}{\sqrt{x}}=4x^{1/2}-\dfrac{3}{x^{1/2}}.\nonumber \]
Ahora podemos usar la regla del exponente negativo para reescribir el segundo término en la expresión:\[4x^{1/2}-\dfrac{3}{x^{1/2}}=4x^{1/2}-3x^{-1/2}.\nonumber \]
Reescribir\( \left(\sqrt{p^5}\right)^{-1/3} \) usando solo exponentes positivos.
Solución
\ begin {alinear*}\ izquierda (\ sqrt {p^5}\ derecha) ^ {-1/3} & =\ izquierda (\ izquierda (p^5\ derecha) ^ {1/2}\ derecha) ^ {-1/3}\\ & = p^ {-5/6}\\ & =\ frac {1} {p^ {5/6}}\ end {align*}
Reescribir\( x^{-4/3} \) como radical.
Solución
\ begin {align*} x^ {-4/3} & =\ frac {1} {x^ {4/3}}\\ & =\ frac {1} {\ izquierda (x^ {1/3}\ derecha) ^4}\ quad\ texto {(desde\(\frac{4}{3}=4\cdot\frac{1}{3}\))}\\ & =\ frac {1} {\ izquierda (\ sqrt [3] {x}\ derecha) ^4}\\ text {(usando la equivalencia radical)}\ end {align*}