15: Matrices
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Objetivos del Capítulo
- Aprender la nomenclatura utilizada en álgebra lineal para describir matrices (filas, columnas, matrices triangulares, matrices diagonales, trazo, transposición, singularidad, etc.).
- Aprende a sumar, restar y multiplicar matrices.
- Aprende el concepto de inverso.
- Comprender el uso de matrices como operadores de simetría.
- Comprender el concepto de ortogonalidad.
- Entender cómo calcular los valores propios y los vectores propios normalizados de una matriz de 2 × 2.
- Comprender el concepto de matriz hermitiana
- 15.1: Definiciones
- Algunos tipos de matrices tienen nombres especiales.
- 15.2: Adición de Matriz
- La suma de dos matrices A y B (de las mismas dimensiones) es una nueva matriz de las mismas dimensiones, C = A+ B. La suma se define sumando entradas con los mismos índices.
- 15.3: Multiplicación Matricial
- Si A tiene dimensiones m×n y B tiene dimensiones n×p, entonces se define el producto AB, y tiene dimensiones m×p.
- 15.4: Operadores de simetría
- Una operación de simetría, como una rotación alrededor de un eje de simetría o una reflexión a través de un plano, es una operación que, cuando se realiza sobre un objeto, da como resultado una nueva orientación del objeto que es indistinguible del original.
- 15.5: Inversión Matriz
- La inversa de una matriz cuadrada A, a veces llamada matriz recíproca, es una matriz A-1 tal que AA-1 = I, donde I es la matriz de identidad.
- 15.6: Matrices ortogonales
- Una matriz no singular se llama ortogonal cuando su inversa es igual a su transposición.
- 15.7: Valores propios y vectores propios
- Dado que las matrices cuadradas son operadores, no debería sorprenderte que podamos determinar sus valores propios y vectores propios. Los vectores propios son análogos a las funciones propias que discutimos para la mecánica cuántica.
- 15.8: Matrices Hermitianas
- Una matriz hermitiana (o matriz autoadjoint) es una matriz cuadrada con entradas complejas que es igual a su propia transpuesta conjugada. Las matrices hermitianas son una generalización de las matrices reales simétricas de las que acabamos de hablar, y también tienen valores propios reales y vectores propios que forman un conjunto mutuamente ortogonal.