14.3: Cuantificadores en forma lógica

Nuestro análisis de todo como denotando una relación de subconjunto, no como significado 'intersección vacía', y algunos como significado 'intersección no vacía', se refleja en las formas lógicas que propusimos en el Capítulo 4 para oraciones que involucran estas palabras. Estas formas lógicas se repiten aquí en (10).

(10) a. Todos los hombres roncan. ∀x [HOMBRE (x) → Ronquido (x)]
b. ninguna mujer ronca. ¬x [MUJER (x) SNORE (x)]
c. Algún hombre ronca. x [HOMBRE (x) Ronquido (x)]

Ahora estamos en condiciones de entender por qué estas formas funcionan como traducciones de las palabras del cuantificador inglés. El uso de la implicación material (→) en (10a) se desprende de la definición de la relación de subconjunto que presentamos en el Capítulo 13, repetida aquí en (11a). El uso de 'y' lógicos en (10b—c) se desprende de la definición de intersección de conjunto presentada en el Capítulo 13, repetida aquí en (11b).

(11) a. (A B) ↔ ∀x [(xA) → (XB)] [subconjunto]
(JMAN K J SNORE K) ↔ ∀x [(XJ MANK) → (XJ SNORE K)]

b. ∀x [x ∈ (AB) ↔ ((Xa) (Xb))] [intersección]
(JMANK JSNOREK ≠ ¬) ↔ x [(XJ MAN K) (XJ SNORE K)]

Muchos otros significados del cuantificador también se pueden expresar usando la notación lógica básica del predicado. Por ejemplo, el NP cuatro hombres podría traducirse como se muestra en (12):

(12) Cuatro hombres roncan.
wxyz [w≠ x≠ y≠ z HOMBRE (w) HOMBRE (x) HOMBRE (y) HOMBRE (z) SNORE (w) SNORE (x) SNORE (x) SNORE (y) SNORE (z)]

Como podemos ver incluso en este sencillo ejemplo, la notación lógica de predicado estándar es una herramienta algo torpe para esta tarea. Además, resulta que existen algunos significados cuantificadores que no pueden expresarse en absoluto usando la lógica de predicado que hemos introducido hasta ahora. Por ejemplo, la interpretación para la mayoría sugerida en (5f) es que la cardinalidad de la intersección de los dos conjuntos es mayor que la mitad de la cardinalidad del primer conjunto. El problema básico aquí es que los predicados lógicos que hemos estado usando hasta ahora representan propiedades de entidades individuales. Este tipo de lógica se llama lógica de primer orden. No obstante, la cardinalidad de un conjunto no es una propiedad de ningún individuo, sino una propiedad del conjunto en su conjunto. Lo que necesitaríamos para expresar significados cuantificadores como la mayoría es alguna versión de la lógica de segundo orden, que trata sobre las propiedades de conjuntos de individuos.

Por ejemplo, podríamos definir el conjunto de denotación de un NP como la mayoría de los hombres para que sea el conjunto de todas las propiedades que son ciertas para la mayoría de los hombres. La sentencia La mayoría de los hombres roncan sería cierta por si acaso la propiedad de roncar es miembro de ((la mayoría de los hombres)). ⁴ Sin embargo, el formalismo matemático de este enfoque es más complejo de lo que podemos manejar en el presente libro. En lugar de tratar de elaborar todos los detalles técnicos, procederemos a partir de aquí con un enfoque más descriptivo.

Una forma conveniente de expresar proposiciones que contienen significados cuantificadores como la mayoría se llama notación qantifier restringida. Esta notación consta de tres partes: el operador cuantificador, la restricción y el alcance nuclear. En el ejemplo (13a), el operador es más; la restricción es la proposición abierta “ESTUDIANTE (x)”; y el alcance nuclear es la proposición abierta “BRILLANTE (x)”. Este mismo formato también se puede utilizar para otros cuantificadores, como se ilustra en (13b— c).

(13) a. La mayoría de los estudiantes son brillantes. [más x: ESTUDIANTE (x)] BRILLANTE
(x) (operador = “más”; restricción = “ESTUDIANTE (x)”; alcance = “BRILLANTE (x)”)
b. Ninguna mujer ronca. [no x: MUJER (x)] Roncar (x)
c. Todos los hombres valientes están solos. [todo x: HOMBRE (x) VALENTE (x)] SOLITARIO (x)

A diferencia de la notación lógica estándar, el uso de esta notación cuantificadora restringida nos permite adoptar un procedimiento uniforme para interpretar oraciones que contienen determinantes cuantificadores:

• el propio determinador cuantificador especifica al operador;
• el resto del NP que contiene el determinador cuantificador especifica el material en la restricción;
• el resto de la frase especifica el material en el ámbito nuclear.

Por ejemplo, el determinador cuantificador en (13c) es todo; esto determina al operador. El resto del NP que contiene el determinador cuantificador son los hombres valientes; esto especifica el material en la restricción (MAN (x) BRAVE (x)). El resto de la oración (son solitarios) especifica el material en el ámbito nuclear (LONELY (x)). Algunos ejemplos adicionales se proporcionan en (14).

(14) a. La mayoría de los hombres que roncan son libertarios.
[mas x: HOMBRE (x) SNORE (x)] LIBERTARIO (x)

b. Pocos bautistas estrictos beben o fuman.
[pocos x: BAPTISTA (x) ESTRICTO (x)] BEBIDA (x) HUMO (x)

Por supuesto, las traducciones en este formato no nos dicen qué significan realmente los determinantes cuantificadores; el significado de cada cuantificador necesita definirse por separado, como se ilustra en (15):

(15) a. [todo x: P (x)] Q (x) ↔ ((P)) ((Q))
b. [no x: P (x)] Q (x) ↔ ((P)) ((Q)) = μ
c. [cuatro x: P (x)] Q (x) ↔ | ((P)) ((Q)) | = 4
d. [más x: P (x)] Q (x) ↔ | ((P)) ((Q)) | > ½ | (P)) |

Como muestran estas definiciones, un determinador cuantificador nombra una relación entre dos conjuntos: uno definido por el predicado (s) en la restricción (representado por P en las fórmulas en 15), y el otro definido por el predicado (s) en el alcance (representado por Q). Las interpretaciones para los ejemplos en (13) se muestran en (16). Utilice estos ejemplos para estudiar cómo el contenido de la restricción y el alcance de la forma lógica en notación cuantificadora restringida se insertan en la interpretación teórica del conjunto.

(16) a. La mayoría de los estudiantes son brillantes.
[most x: ESTUDIANTE (x)] BRILLANTE (x)
| ((ESTUDIANTE)) ((BRILLANTE)) | > ½ | ((ESTUDIANTE)) |

b. Ninguna mujer ronca.
[no x: MUJER (x)] Ronquido (x)
(MUJER)) ((SNORE)) = ¬

c. Todos los hombres valientes están solos.
[todo x: HOMBRE (x) VALENTE (x)] SOLO (x)
((HOMBRE)) ((HOMBRE)) ((SOLARIO))

Este mismo procedimiento aplica si el NP cuantificado es un sujeto, objeto u argumento oblicuo. Algunos ejemplos de NP de objetos cuantificados se dan en (17).

(17) a. a John ama a todas las chicas guapas.
[todos x: CHICA (x) BONITA (x)] AMOR (j, x)
((CHICA)) ((BONITA))) {x: <j, x> ∈ ((AMOR))}

b. Susan se ha casado con un vaquero que se burla de ella.
[an x: VAQUERO (x) TEASE (x, s)] Casarse (s, x)
(((VAQUERO)) {x: <x, s> ∈ (((TEASE))) {y: <s, y> ∈ (((MARIRSE))} ≠ μ

Al menos por el momento, trataremos provisionalmente los artículos el y a (n) como determinantes cuantificadores. Discutiremos el artículo definido a continuación en §14.4. Por ahora trataremos el artículo indefinido como un cuantificador existencial, como se ilustra en (17b). (Tenga en cuenta que esto se aplica a artículos indefinidos que ocurren en NP de argumento, no en NP predicados. Sugerimos en el Capítulo 13 que los artículos indefinidos que ocurren en los NP predicados normalmente no aportan ningún significado independiente.)

Palabras compuestas como alguien, todos, nadie, algo, nada, nada, en todas partes, etc. incluyen una raíz cuantificadora más otra raíz que restringe la cuantificación a una clase general (personas, cosas, lugares, etc.). A menudo es útil incluir este significado de “clasificador” como predicado dentro de la restricción del cuantificador, como se ilustra en (18).

(18) a. todo el mundo ama a Snoopy. [todos x: PERSONA (x)] AMOR (x, s)

b. Colón descubrió algo. [algunos x: COSA (x)] DESCUBRE (c, x)

c. Ninguna parte de la Tierra es segura. [no x: LUGAR (x) SOBRE (x, e)] SEGURO (x)

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⁴ Este análisis, bajo el cual los NP cuantificados denotan conjuntos de conjuntos, se denomina enfoque de Cuantificador Generalizado. Los significados de los propios NP cuantificados son referidos como Cuantificadores Generalizados, lo que lleva a cierta cantidad de ambigüedad en el uso de la palabra cuantificador. A veces se usa para referirse a todo el NP, y a veces solo al determinador cuantificador.