3.1: Elasticidad

Objetivos de aprendizaje

• ¿Cuál es la mejor manera de medir la capacidad de respuesta de la demanda?
• ¿Cuál es la mejor manera de medir la capacidad de respuesta del suministro?

Dejar\(x (p)\) representar la cantidad comprada cuando el precio es p, de manera que la función x representa la demanda. ¿Qué tan sensible es la demanda a los cambios de precios? Uno podría estar tentado a utilizar el derivado,\(x′\), para medir la capacidad de respuesta de la demanda, ya que mide cuánto cambia la cantidad demandada en respuesta a un pequeño cambio en el precio. Sin embargo, esta medida tiene dos problemas. Primero, es sensible a un cambio de unidades. Si mido la cantidad de dulces en kilogramos más que en libras, el derivado de la demanda de dulces con respecto a los precios cambia aunque la demanda en sí misma no cambie. Segundo, si cambio unidades de precio, convirtiendo de una moneda a otra, nuevamente cambiará el derivado de la demanda. Por lo que la derivada es insatisfactoria como medida de respuesta porque depende de unidades de medida. Una forma común de establecer una medida libre de unidades es utilizar porcentajes, y eso sugiere considerar la capacidad de respuesta de la demanda a un pequeño cambio porcentual en el precio en términos porcentuales. Esta es la noción de elasticidad de la demanda. El concepto de elasticidad fue inventado por Alfred Marshall (1842—1924) en 1881 mientras estaba sentado en su techo. La elasticidad de la demanda es la disminución porcentual en la cantidad que resulta de un pequeño incremento porcentual en el precio. Formalmente, la elasticidad de la demanda, que generalmente se denota con la letra griega épsilon, ε, (elegida mnemónicamente para indicar elasticidad) es

\ begin {ecuación}\ varepsilon=-d x x d p p=-p x d p p=-p x d p=-p x^ {\ prime} (p) x (p)\ fin {ecuación}

El signo menos se incluye en la expresión para hacer de la elasticidad un número positivo, ya que la demanda está disminuyendo. Primero, verifiquemos que la elasticidad es, de hecho, libre de unidades. Un cambio en la medida de x no afecta a la elasticidad porque el factor de proporcionalidad aparece tanto en el numerador como en el denominador. De igual manera, un cambio en la medida del precio para que p se sustituya por r = ap, no cambia la elasticidad, ya que como se demuestra a continuación,

\ begin {ecuación}\ varepsilon=-r d d r x (r/a) x (r/a) =-r x^ {\ prime} (r/a) 1 a x (r/a) =-p x^ {\ prime} (p) x (p)\ end {ecuación}

la medida de elasticidad es independiente de a, y por lo tanto no se ve afectada por el cambio en unidades.

¿Cómo reacciona el gasto de un consumidor, también conocido como ingresos totales (individuales), ante un cambio de precio? El consumidor compra x (p) a un precio de p, y así el gasto total, o ingresos totales, es TR = px (p). Por lo tanto,

\ begin {ecuación} d\ texto {dp} p x (p) =x (p) +p x^ {\ prime} (p) =x (p)\ izquierda (1+p x^ {\ prime} (p) x (p)\ derecha) =x (p) (1-\ varepsilon)\ end {ecuación}

Por lo tanto,

\[d dp TR 1 p TR =1−ε.\]

Es decir, el cambio porcentual de los ingresos totales resultante de un cambio de 1% en el precio es uno menos la elasticidad de la demanda. De esta manera, un incremento de 1% en el precio incrementará los ingresos totales cuando la elasticidad de la demanda sea menor a uno, lo que se define como una demanda inelástica. Un incremento de precios disminuirá los ingresos totales cuando la elasticidad de la demanda sea mayor a una, la cual se define como una demanda elástica. El caso de elasticidad igual a uno se llama elasticidad unitaria, y los ingresos totales no cambian por un pequeño cambio de precio. Además, ese incremento porcentual en el precio incrementará los ingresos en aproximadamente 1 — ε por ciento. Debido a que a menudo es posible estimar la elasticidad de la demanda, las fórmulas se pueden usar fácilmente en la práctica. El Cuadro 3.1 proporciona estimaciones de elasticidades a la demanda para una variedad de productos.

Tabla 3.1 Varias Elasticidades a la Demanda

Producto	Producto	ε
Sal	Películas	0.9
Partidos	Mariscos, consumidos en casa	0.9
Palillos	Llantas de tirada corta	0.9
Viajes aéreos a corto plazo	Ostras, consumidas en casa	1.1
Gas natural residencial a corto plazo	Educación privada	1.1
Gasolina, tirada corta	Vivienda, propietario ocupado, largo plazo	1.2
Automóviles de larga duración	Llantas de largo plazo	1.2
Café	Receptores de radio y televisión	1.2
Servicios jurídicos a corto plazo	Automóviles de corto plazo	1.2-1.5
Productos de tabaco a corto plazo	Comidas en restaurantes	2.3
Gas natural residencial a largo plazo	Viajes aéreos a largo plazo	2.4
Pescado (bacalao) consumido en casa	Guisantes frescos	2.8
Servicios médicos	Viajes al extranjero a largo plazo	4.0
Taxi, tirada corta	Automóviles Chevrolet	4.0
Gasolina, de larga duración	Tomates frescos	4.6

De http://www.mackinac.org/archives/1997/s1997-04.pdf; fuentes citadas: James D. Gwartney y Richard L. Stroup,, Economics: Private and Public Choice, 7a ed., 1995; 8a ed., 1997; Hendrick S. Houthakker y Lester D. Taylor, Consumer Demand in the United States, 1929—1970 (1966; Cambridge: Harvard University Press, 1970); Douglas R. Bohi, Analyzing Demand Behavior (Baltimore: Johns Hopkins University Press, 1981); Hsaing-tai Cheng y Oral Capps, Jr., “Demand for Fish”, American Journal of Agricultural Economics, agosto de 1988; y Departamento de Agricultura de Estados Unidos.

Cuando la demanda es lineal,\(\begin{equation}x(p)=a-b p\end{equation}\), la elasticidad de la demanda tiene la forma

\ begin {ecuación}\ varepsilon=\ mathrm {bp}\ mathrm {a} -\ mathrm {bp} =\ mathrm {p}\ text {a}\ mathrm {b} -\ mathrm {p}\ end {ecuación}

Este caso se ilustra en la Figura 3.1.

Figura 3.1 Elasticidades para demanda lineal

Si la demanda toma la forma x (p) = a * p ^−ε, entonces la demanda tiene elasticidad constante, y la elasticidad es igual a ε. Es decir, la elasticidad permanece en el mismo nivel mientras cambian las variables subyacentes (como precio y cantidad).

La elasticidad de la oferta es análoga a la elasticidad de la demanda ya que es una medida libre de unidades de la capacidad de respuesta de la oferta a un cambio de precio, y se define como el incremento porcentual en la cantidad suministrada resultante de un pequeño incremento porcentual en el precio. Formalmente, si s (p) da la cantidad suministrada por cada precio p, la elasticidad de la oferta, denotada por η (la letra griega “eta”, elegida porque épsilon ya estaba tomada) es

\ begin {ecuación}\ eta=\ nombreoperador {ds}\ mathrm {s}\ mathrm {dp}\ mathrm {p} =\ mathrm {p}\ mathrm {s}\ mathrm {ds}\ mathrm {dp} =\ mathrm {ps} ^ {\ prime} (\ mathrm {p})\ mathrm {s} (\ mathrm {p})\ end {ecuación}

Nuevamente, similar a la demanda, si la oferta toma la forma s (p) = a * p ^η, entonces la oferta tiene elasticidad constante, y la elasticidad es igual a η. Un caso especial de esta forma es el suministro lineal, que ocurre cuando la elasticidad es igual a uno.

Claves para llevar

• La elasticidad de la demanda es la disminución porcentual en la cantidad que resulta de un pequeño incremento porcentual en el precio, que generalmente se denota con la letra griega épsilon, ε.
• El cambio porcentual de los ingresos totales resultante de un cambio de 1% en el precio es uno menos la elasticidad de la demanda.
• Una elasticidad de demanda que es menor que una se define como una demanda inelástica. En este caso, el aumento del precio incrementa los ingresos totales.
• Un incremento de precios disminuirá los ingresos totales cuando la elasticidad de la demanda sea mayor a una, la cual se define como una demanda elástica.
• El caso de elasticidad igual a uno se llama elasticidad unitaria, y los ingresos totales no cambian por un pequeño cambio de precio.
• Si la demanda toma la forma x (p) = a * p ^−ε, entonces la demanda tiene elasticidad constante, y la elasticidad es igual a ε.
• La elasticidad de la oferta se define como el incremento porcentual en la cantidad suministrada resultante de un pequeño incremento porcentual en el precio.
• Si el suministro toma la forma s (p) = a * p ^η, entonces el suministro tiene elasticidad constante, y la elasticidad es igual a η.

EJERCICIOS

1. Supongamos que un consumidor tiene una elasticidad constante de demanda ε, y la demanda es elástica\(\begin{equation}(ε > 1)\end{equation}\). Mostrar que el gasto aumenta a medida que disminuye el precio.
2. Supongamos que un consumidor tiene una elasticidad constante de demanda ε, y la demanda es inelástica\(\begin{equation}(ε < 1)\end{equation}\). ¿Qué precio hace que el gasto sea el mayor?
3. Para un consumidor con constante elasticidad de demanda\(\begin{equation}(ε > 1)\end{equation}\), computar el excedente del consumidor.
4. Para un productor con constante elasticidad de suministro, computar las ganancias del productor.