¿Cómo responden a los cambios de precios de entrada?
Durante un largo periodo de tiempo, un empresario puede ajustar tanto el capital como la mano de obra utilizada en la planta. Esto permite al empresario maximizar el beneficio con respecto a ambas variables K y L. Utilizaremos una estrella doble, **, para denotar variables en su solución a largo plazo. El enfoque para maximizar el beneficio sobre dos c por separado con respecto a cada variable, obteniendo así las condiciones
\ begin {ecuación} 0=p\ F parcial\ L parcial\ izquierda (K^ {*}, L^ {*}\ derecha) -w\ end {ecuación}
Vemos que, tanto para el capital como para la mano de obra, el valor del producto marginal es igual al precio de compra del insumo.
Es más desafiante realizar ejercicios de estática comparativa con dos variables, y el método general no se desarrollará aquí. Si quieres saber más, el enfoque es organizar las dos ecuaciones como un vector con x = (K, L), z = (r/p, w/p), de manera que 0= F ′ (x**) −z, y luego diferenciar a obtener\(\begin{equation}d x^{* *}=\left(F^{\prime \prime}\left(x^{* *}\right)\right)-1 d z\end{equation}\), que luego se puede resolver para cada estática comparativa. Sin embargo, podemos ilustrar un ejemplo de la siguiente manera.
Ejemplo: La función de producción Cobb-Douglas implica elecciones de capital y mano de obra satisfaciendo las siguientes dos condiciones de primer orden:Es necesario que la solución sea finita y bien definida.\(\begin{equation}a+\beta<1\end{equation}\)
Si bien estas expresiones parecen complicadas, la dependencia del precio de salida p, y los precios de entrada r y w, es bastante sencilla.
¿Cómo responden los valores de equilibrio de capital y mano de obra a un cambio en los precios de los insumos o del precio de salida para la función de producción de Cobb-Douglas? Es útil lanzar estos cambios en términos porcentuales. Es sencillo demostrar que tanto el capital como el trabajo responden a un pequeño cambio porcentual en cualquiera de estas variables con un cambio porcentual constante.
Una visión importante de la maximización de ganancias es que implica la minimización de los costos de producir la producción elegida; es decir, la maximización de ganancias implica una producción eficiente.
La lógica es directa. El beneficio de un empresario son los ingresos menos los costos, y los ingresos son el precio por la producción. Para la producción elegida, entonces, el empresario obtiene los ingresos asociados a la producción, que es fija ya que estamos considerando solo la salida elegida, menos los costos de producir esa producción. Así, para la producción dada, maximizar las ganancias equivale a maximizar una constante (ingresos) menos costos. Dado que maximizar —C equivale a minimizar C, el empresario maximizador de ganancias minimiza los costos. Esto es importante porque la maximización de ganancias implica no ser derrochador en este sentido: Un empresario maximizador de ganancias produce al menos costo.
Figura 9.5 Tangencia e Isocuantes
Figura 9.5 “Tangencia e Isocuantes”. La curva representa un isocuante, que mantiene constante la salida. Las líneas rectas representan líneas de isocosto, que mantienen constante el gasto en insumos. Las líneas de isocosto resuelven el problema\(\begin{equation}rK + wL = constant\end{equation}\) y así tienen pendiente\(\begin{equation}dK dL =− w r \end{equation}\). Las líneas de isocosto son necesariamente paralelas, tienen la misma pendiente. Además, el costo asociado a una línea de isocosto se eleva cuanto más al noreste vamos en la gráfica, o cuanto más lejos del origen.
¿Qué punto de un isocuante minimiza el costo total? La respuesta es el punto asociado con el isocosto más bajo (más suroeste) que se cruza con el isoquante. Este punto será tangente al isoquante y se denota por una estrella. A cualquier costo menor, no es posible producir la cantidad deseada. A cualquier costo mayor, es posible reducir el costo y aún así producir la cantidad.
El hecho de que la minimización de costos requiera una tangencia entre el isocuante y el isocosto tiene una interpretación útil. La pendiente del isocosto es menos la relación de los precios de los insumos. La pendiente del isocuante mide la sustituibilidad de las entradas en la producción de la salida. Los economistas llaman a esta pendiente la tasa marginal de sustitución técnica, que es la cantidad de un insumo necesario para compensar una disminución en otro insumo manteniendo constante la salida. Por lo tanto, una característica de la minimización de costos es que la relación de precio de entrada es igual a la tasa marginal de sustitución técnica.
Claves para llevar
A la larga, todas las entradas se pueden optimizar, lo que conduce a múltiples condiciones de primer orden.
La solución se puede ilustrar gráficamente y computar explícitamente para las funciones de producción de Cobb-Douglas.
Una implicación importante de la maximización de ganancias es la minimización de costos: la producción se produce por los medios más eficientes posibles.
La minimización de costos ocurre donde la relación de los precios de entrada es igual a la pendiente de la curva de isocosto, conocida como tasa marginal de sustitución técnica, que es la cantidad de un insumo necesario para compensar una disminución en otra entrada y mantener constante la salida.
EJERCICIO
Para la función de producción Cobb-Douglas\(\begin{equation}F(K, L)=A K \text { a } L \beta\end{equation}\), mostrar que\(\begin{equation}r L^{* *} \partial L^{* *} \partial r=-\alpha 1-\alpha-\beta\end{equation}\),\(\begin{equation}w L^{* *} \partial L^{* *} \partial w=-1-\alpha 1-\alpha-\beta\end{equation}\),\(\begin{equation}p L^{* *} \partial L^{* *} \partial p=11-\alpha-\beta, r K^{* *} \partial K^{* *} \partial r=-1-\beta 1-\alpha-\beta\end{equation}\),\(\begin{equation}w {K}^* * \partial {K }^* * \partial w=-\beta 1-a-\beta\end{equation}\) y\(\begin{equation}p K^{* *} \partial K^{* *} \partial p=11-\alpha-\beta\end{equation}\).
