OBJETIVOS DE APRENDIZAJE
- ¿Qué sucede en un equilibrio general cuando hay más de dos personas comprando más de dos bienes?
- ¿El caso Cobb-Douglas proporciona información?
Ilustraremos el equilibrio general para el caso cuando todos los consumidores tengan la utilidad Cobb-Douglas en una economía cambiaria. Una economía cambiaria es una economía donde la oferta de cada bien es solo la dotación total de ese bien, y no hay producción. Supongamos que hay N personas, indexadas por\(\begin{equation}n = 1, 2, … , N\end{equation}\) Hay bienes G, indexados por\(\begin{equation}g=1,2, \ldots, G\end{equation}\). Persona n tiene utilidad Cobb-Douglas, que podemos representar usando exponentes α (n, g), de manera que la utilidad de la persona n se pueda representar como\(\begin{equation}\Pi g=1 G \times(n, g) a(n, g)\end{equation}\), donde x (n, g) es el consumo de la persona n del bien g. Supongamos que\(\begin{equation}a(n, g) \geq 0\end{equation}\) para todos n y g, lo que equivale a asumir que los productos son, de hecho, bienes. Sin ninguna pérdida de generalidad, podemos requerir\(\begin{equation}\sum g=1 G a(n, g)=1\end{equation}\) para cada n. (Para ver esto, tenga en cuenta que maximizar la función U es equivalente a maximizar la función U β para cualquier β positivo.)
Que y (n, g) sea la dotación de la persona n del bien g. El objetivo del equilibrio general es encontrar precios p 1, p 2,..., p G para los bienes de tal manera que la demanda de cada bien iguale exactamente la oferta del bien. El suministro de g bueno es solo la suma de las dotaciones de ese bien. Los precios arrojan una riqueza para la persona n igual a W n = σ g=1 G p g y (n, g).
Supondremos que\(\begin{equation}\Sigma \mathrm{n}=1 \mathrm{N} \mathrm{a}(\mathrm{n}, \mathrm{g}) \mathrm{y}(\mathrm{n}, \mathrm{i})>0\end{equation}\) por cada par de bienes g e i. Esta suposición establece que para cualquier par de bienes, hay al menos un agente que valora bien g y tiene una dotación de bien i. La suposición asegura que siempre hay alguien que esté dispuesto y capaz de comerciar si el precio es suficientemente atractivo. El supuesto es mucho más fuerte de lo necesario pero útil para la exposición. El supuesto también asegura que la dotación de cada bien sea positiva.
La utilidad Cobb-Douglas simplifica el análisis por una característica que ya encontramos en el caso de dos bienes, que sostiene, en general, que la participación de la riqueza para un consumidor n en buena g es igual al exponente α (n, g). Así, la demanda total de g buena es\(\begin{equation}\mathrm{X} \mathrm{g}=\Sigma \mathrm{n}=1 \mathrm{N} \mathrm{a}(\mathrm{n}, \mathrm{g}) \mathrm{W} \mathrm{n} \mathrm{p} \mathrm{g}\end{equation}\).
Las condiciones de equilibrio, entonces, se pueden expresar diciendo que la oferta (suma de las dotaciones) equivale a la demanda; o, por cada bien g,\(\begin{equation}\mathrm{X} \mathrm{g}=\Sigma \mathrm{n}=1 \mathrm{N} \mathrm{a}(\mathrm{n}, \mathrm{g}) \mathrm{W} \mathrm{n} \mathrm{p} \mathrm{g}\end{equation}\)
Podemos reescribir esta expresión, siempre que p g > 0 (y debe ser, porque de lo contrario la demanda es infinita), para ser
\ start {ecuación} p g-\ Sigma i=1 G p i\ Sigma n=1 N y (n, i) a (n, g)\ Sigma n=1 N y (n, g) =0\ final {ecuación}
Sea B la matriz G × G cuyo término (g, i) es b\(\begin{equation}g i=\sum n=1 N y(n, i) a(n, g) \sum n=1 N y(n, g)\end{equation}\)
Que p sea el vector de precios. Entonces podemos escribir las condiciones de equilibrio como (I — B) p = 0, donde 0 es el vector cero. Así, para que exista un equilibrio (distinto de p = 0), B debe tener un valor propio igual a 1 y un vector propio correspondiente p que sea positivo en cada componente. Además, si existe tal par eigenvector-eigenvalue, es un equilibrio, porque la demanda es igual a la oferta para cada bien.
El vector precio real no está completamente identificado porque si p es un vector de precios de equilibrio, entonces también lo es cualquier escalar positivo veces p. Escalar los precios no cambia el equilibrio porque tanto los precios como la riqueza (que se basa en las dotaciones) suben por el factor escalar. Por lo general, los economistas asignan un bien para ser numerario, lo que significa que todos los demás bienes están indexados en términos de ese bien; y el precio del numerario se establece artificialmente en 1. Trataremos cualquier escala de un vector de precio como el mismo vector.
El teorema relevante es el teorema de Perron-Frobenius .Oskar Perron (1880—1975) y Georg Frobenius (1849—1917). Afirma que si B es una matriz positiva (cada componente positivo), entonces hay un valor propio λ > 0 y un vector propio positivo asociado p; y, además, λ es el vector propio más grande (en valor absoluto) de B .El teorema de Perron-Frobenius, como se suele afirmar, solo asume que B no es negativo y que B es irreducible. Resulta que una matriz estrictamente positiva es irreducible, por lo que esta condición es suficiente para invocar el teorema. Además, todavía podemos aplicar el teorema aun cuando B tenga algunos ceros en él, siempre que sea irreducible. La irreductibilidad significa que la economía no se puede dividir en dos economías, donde la gente en una economía no puede comprarle a la gente de la segunda economía porque no está dotada de nada que valore la gente de la primera economía. Si B no es irreducible, entonces algunas personas pueden terminar consumiendo cero de las cosas que valoran. Esta conclusión hace la mayor parte del trabajo de demostrar la existencia de un equilibrio. La única condición restante para verificar es que el valor propio sea de hecho 1, de manera que (I — B) p = 0.
Supongamos que el valor propio es λ. Entonces λ p = Bp. Así por cada g,
\ start {ecuación} λ p g = i=1 G n=1 N α (n, g) y (n, i) m=1 N y (m, g) p i\ final {ecuación}
o
\ begin {ecuación} λ p g m=1 N y (m, g) = i=1 G n=1 N α (n, g) y (n, i) p i. \ end {ecuación}
Sumando ambos lados sobre g,
\ begin {ecuación} λ g=1 G p g m=1 N y (m, g) = g=1 G i=1 G n=1 N α (n, g) y (n, i) p i= i=1 G n=1 N g=1 G σ g=1 G α (n, g) y (n, i) p i = i=1 G n=1 N y (n, i) p i. \ end {ecuación}
Así, λ = 1 según se desee.
El teorema de Perron-Frobenius en realidad proporciona dos conclusiones más útiles. Primero, el equilibrio es único. Esta es una característica de la utilidad Cobb-Douglas y no necesariamente ocurre para otras funciones de utilidad. Además, el equilibrio se aproxima fácilmente. Denote por B t el producto de B consigo mismo t veces. Entonces para cualquier vector positivo v,\(\begin{equation}\lim t \rightarrow \infty \text { B } t v=p\end{equation}\). Si bien las aproximaciones son muy útiles para sistemas grandes (grandes cantidades de bienes), el sistema puede calcularse fácilmente exactamente con pequeñas cantidades de bienes, incluso con un gran número de individuos. Además, la aproximación puede interpretarse de una manera potencialmente útil. Sea v un candidato para un vector de precios de equilibrio. Utilizar v para permitir que las personas calculen su riqueza, que para la persona n es\(\begin{equation}\mathrm{W} \mathrm{n}=\Sigma \mathrm{i}=1 \mathrm{G} \mathrm{v} \text { i } \mathrm{y}(\mathrm{n}, \mathrm{i})\end{equation}\). Dados los niveles de riqueza, ¿qué precios despejan el mercado? La demanda de g buena es\(\begin{equation}x g (v)= ∑ n=1 N α(n,g) W n = ∑ i=1 G v i ∑ n=1 N α(n,g)y(n,i) \end{equation}\), y el mercado despeja, dados los niveles de riqueza, si\(\begin{equation}p g = ∑ i=1 G v i ∑ n=1 N α(n,g)y(n,i) ∑ n=1 N y(n,g)\end{equation}\), que equivale a p = Bv. Esto define un proceso iterativo. Comienza con un vector de precios arbitrario, calcula los niveles de riqueza y luego calcula el vector de precios que despeja el mercado para los niveles de riqueza dados. Utilice este precio para recalcular los niveles de riqueza y luego computar un nuevo vector de precios de compensación de mercado para los nuevos niveles de riqueza. Este proceso puede ser iterado y, de hecho, converge al vector del precio de equilibrio desde cualquier punto de partida.
Terminamos esta sección considerando tres casos especiales. Si hay dos bienes, podemos dejar α n = αα (n, 1), y luego concluir que α (n, 2) = 1 — an. Entonces deja que Y g = n=1 N y (n, g) sea la dotación de g buena, entonces la matriz B es
\ comenzar {ecuación} B= (1 Y 1 n=1 N y (n,1) a n 1 Y 1 n=1 N y (n,2) a n 1 Y 2 n=1 N y (n,1) (1− a n) 1 Y 2 n=1 N y (n,2) (1− a n)) = (1 Y 1 n=1 N y (n,1) a n 1 Y 1 n=1 N y (n,2) a n 1 Y 2 (Y 1 − σ n=1 N y (n,1) a n) 1− 1 Y 2 n=1 N y (n,2) a n). \ end {ecuación}
El vector propio relevante de B es\(\begin{equation}p=( ∑ n=1 N y(n,2) a n ∑ n=1 N y(n,1)(1− a n ) ) .\end{equation}\)
El nivel general de precios no está fijado hacia abajo, cualquier múltiplo escalar de p también es un precio de equilibrio, por lo que el término relevante es la relación precio, que es el precio de Bueno 1 en términos de Bueno 2, o
\ begin {ecuación} p 1 p 2 = n=1 N y (n,2) a n n=1 N y (n,1) (1− a n). \ end {ecuación}
Podemos ver fácilmente que un incremento en la oferta del Bien 1, o una disminución en la oferta del Bien 2, disminuye la relación precio. Un incremento en la preferencia por Bueno 1 aumenta el precio del Bien 1. Cuando las personas que valoran el Bien 1 relativamente alto están dotadas de mucho Bien 2, la correlación entre la preferencia por el Bien 1, an, y la dotación del Bien 2 es mayor. Cuanto mayor sea la correlación, mayor es la relación precio. Intuitivamente, si la gente que tiene mucho Good 2 quiere mucho Good 1, el precio de Good 1 va a ser mayor. De igual manera, si la gente que tiene mucho Bueno 1 quiere mucho Bueno 2, el precio de Bueno 1 va a ser más bajo. Así, la correlación entre dotaciones y preferencias también importa a la relación precio.
En nuestro segundo caso especial, consideramos a personas con las mismas preferencias pero que comienzan con diferentes dotaciones. La hipótesis de preferencias idénticas deja de lado la correlación entre dotaciones y preferencias encontradas en el caso de dos buenos. Dado que las personas son iguales, α (n, g) = Ag para todos n. En este caso\(\begin{equation} b gi = ∑ n=1 N y(n,i)α(n,g) ∑ n=1 N y(n,g) = A g Y i Y g\end{equation}\),, mientras que antes\(\begin{equation}Y g = ∑ n=1 N y(n,g)\end{equation}\) es la dotación total de g buena. La matriz B tiene una estructura especial, y en este caso,\(\begin{equation}p g=A g Y g\end{equation}\) es el vector de precios de equilibrio. Los precios son proporcionales a la preferencia por el bien dividido por la dotación total para ese bien.
Consideremos ahora un tercer caso especial, donde no se impone una estructura común a las preferencias, sino que las dotaciones son proporcionales entre sí; es decir, la dotación de persona n es una fracción wn de la dotación total. Esto implica que podemos escribir\(\begin{equation}\mathrm{y}(\mathrm{n}, \mathrm{g})=\mathrm{w}_{\mathrm{n}} \mathrm{Y}_{\mathrm{g}}\end{equation}\), una ecuación que se supone que sostiene para todas las personas n y bienes g. Obsérvese que por construcción\(\begin{equation}∑ n=1 N w n =1\end{equation}\),, ya que el valor wn representa la participación de n de la dotación total. En este caso, tenemos
\ start {ecuación} b gi = n=1 N y (n, i) α (n, g) n=1 N y (n, g) = Y i Y g n=1 N w n α (n, g)\ final {ecuación}
Estas matrices también tienen una estructura especial, y se verifica fácilmente que el vector de precios de equilibrio satisface\(\begin{equation}p g = 1 Y g ∑ n=1 N w n α(n,g) .\end{equation}\)
Esta fórmula recibe una interpretación similar: el precio del bien g es la fuerza de preferencia por el g bueno, donde la fuerza de preferencia es un promedio ponderado por la riqueza de la preferencia individual, dividido por la dotación del bien. Tal interpretación está garantizada por el supuesto de preferencias Cobb-Douglas, ya que éstas implican que los individuos gastan una proporción constante de su riqueza en cada bien. También generaliza la conclusión encontrada en el caso de los dos buenos a más bienes, pero con la restricción de que la correlación es ahora entre riqueza y preferencias. El caso especial tiene la virtud de que la riqueza individual, que es endógena porque depende de los precios, puede determinarse fácilmente.
