5.1: Introducción al Modelo de Dotación

Este capítulo introduce una arruga al modelo estándar de teoría del consumidor que mejora enormemente su aplicabilidad. En lugar de tratar los ingresos como un monto en efectivo dado, modelamos al consumidor como que tiene una dotación inicial dada de bienes que pueden ser comercializados por otros bienes. Esto transforma al consumidor en una combinación de consumidor y vendedor.

Si bien el poder de este enfoque puede no ser inmediatamente obvio, veremos que con esta modificación se pueden manejar una amplia variedad de ejemplos como el ahorro/endeudamiento, la donación caritativa y mucho más.

La restricción presupuestaria en un modelo de dotación

En lugar de la variable ingreso habitual (m), un Modelo de Dotación se caracteriza por una restricción presupuestal que equipara gastos e ingresos por ventas fuera de la dotación inicial. \[p_1x_1 + p_2x_2 = p_1 \omega _1 + p_2 \omega _2\]El término del lado derecho dice que el consumidor tiene una cantidad dada de cada bien,\(\omega _1\) y\(\omega _2\) (esta es la letra griega omega así que tenemos omega-uno y omega-dos). Porque se dan las cantidades iniciales de cada bien,\(\omega _1\) y\(\omega _2\) son variables exógenas.

La cantidad inicial de cada bien, el par de coordenadas\(\omega _1\)\(\omega _2\),, se llama dotación inicial. Si multiplicamos el monto inicial de cada bien por el precio de ese bien, como se hace en el lado derecho de la ecuación de restricción presupuestal, obtenemos una cantidad valorada en dólares que representa el ingreso total que se puede obtener vendiendo la totalidad de la dotación.

Así, la restricción presupuestal dice que el gasto (del lado izquierdo) debe ser igual al valor de los activos del consumidor (en el lado derecho).

El ejemplo clásico para ilustrar a alguien que opera con una restricción de modelo de dotación es un agricultor que va al mercado con su cosecha. Vende sus productos y, con los ingresos obtenidos por la venta, compra otros bienes. La idea central es que el agricultor sea un comprador y un vendedor.

Quizás un ejemplo más moderno es eBay. La gente vende todo tipo de productos y da la vuelta y compra diferentes productos. Es una comunidad masiva de venta de garajes en línea. Una vez más, la idea central es que los eBayers vendan y compren.

En un Modelo de Dotación, lo que el agente puede comprar depende de la cantidad de ingresos generados por las ventas. Los altos precios de los bienes a vender son algo bueno desde el punto de vista del agente porque generan muchos ingresos con los que comprar otros bienes.

Debido a que los Modelos de Dotación transforman al consumidor en un agente combinado de compra-venta, podemos obtener resultados diferentes a los que vimos en el Modelo Estándar. Una diferencia crítica es que los aumentos de precios conducen a disminuciones en la cantidad demandada (asumiendo que el bien es normal), como de costumbre, pero a medida que el precio sigue subiendo, ¡podemos cruzar la barrera del cero y obtener la cantidad demandada negativa! Veremos que el agente pasa de ser comprador a ser vendedor. Esta es una idea clave.

Pongamos estas ideas abstractas en ejemplos concretos para que podamos entender lo que está pasando con el Modelo de Dotación.

PASO Abra el libro de Excel EndowmentIntro.xls, lea la hoja de introducción, luego vaya a la hoja MovingAround. Siga las instrucciones de la hoja para aprender cómo podemos crear una línea de presupuesto a partir de un solo punto.

Al igual que el Modelo Estándar, el agente se enfrenta a una frontera de posibilidades de consumo, también conocida como la línea presupuestal, que muestra las combinaciones factibles. Los paquetes más allá de la línea son inalcanzables.

PASO Proceder a la hoja Propiedades.

Observe cómo podemos usar el valor de la dotación para medir los “ingresos” del agente. A partir de 35,10 y\(p_1 = 2, p_2 = 3\), el valor de la dotación es de $100 ($70 desde\(x_1\) y $30 desde\(x_2\)). Lo máximo que puede tener\(x_2\) el agente es\(33 \frac{1}{3}\), la intercepción y y la máxima\(x_1\), la intercepción x, es 50.

El círculo resaltado en la gráfica (reproducido como Figura 5.1) representa la dotación inicial. A partir de la asignación inicial de 35,10, el agente puede desplazarse hacia el noroeste, vendiendo\(x_1\) y comprando\(x_2\). O bien, el agente puede decidir adquirir aún más\(x_1\) vendiendo\(x_2\) y comprando\(x_1\), lo que significa viajar en dirección sureste. La pendiente de la restricción es la relación de precios habitual.

Figura 5.1: Restricción presupuestal del Modelo de Dotación.

Fuente: EndowmentIntro.xls! Propiedades

¿Qué hará el consumidor en términos de compra y venta? Es decir, ¿dónde terminará el agente en la línea presupuestal? No lo sabemos porque no tenemos ninguna información sobre las preferencias de este agente. Antes de abordar ese problema, sin embargo, necesitamos ver cómo cambia la restricción presupuestaria cuando se conmociona una variable exógena.

PASO Proceder a la hoja de cambios. Cambio\(p_1\) (en K9) de 2 a 5.

Esto es diferente a antes. En lugar de que la restricción presupuestaria gire alrededor de la intercepción y (como en el modelo estándar de ingresos en efectivo), su pantalla debería verse como Figura 5.2. La restricción presupuestal ha girado o girado como lo hacía antes, pero la rotación es alrededor de la dotación inicial. Esta es una diferencia crítica.

Figura 5.2:\(p_1\) Aumento del Modelo de Dotación.

Fuente: EndowmentIntro.xls! Cambios

La forma en que ha cambiado la restricción presupuestaria revela información importante. El incremento de precios ha mejorado las posibilidades de consumo de la agente si planea viajar al noroeste sobre la restricción. Esto tiene sentido porque ella sería una vendedora de bien 1 y, con el precio más alto, tendría más dinero con el que comprar bien 2.

Por otro lado, si es compradora, entonces obtenemos el resultado habitual de que la línea presupuestal ha rotado y reducido las posibilidades de consumo.

PASO Haga clic en el botón y cambie\(p_1\) (en K9) de 2 a 1.

Observe cómo la línea presupuestaria ha girado de nuevo alrededor de la dotación, pero esta vez la agente está peor si es vendedora y mejor si es compradora.

PASO Haga clic en el botón y cambie\(p_2\) (en K10) de 3 a 6. El resultado es exactamente el mismo que cuando cambiaste\(p_1\) (en K9) de 2 a 1.

Esto revela una lección: Todo lo que importa en el Modelo de Dotación son los precios relativos,\(\frac{p_1}{p_2}\). Entonces\(p_1=1, p_2=3\) es lo mismo que\(p_1=2, p_2=6\) y\(p_1=10, p_2=30\) y cualquiera\(p_1\) y\(p_2\) cuya\(p_1/p_2\) proporción es\(\frac{1}{3}\).

Por último, consideramos los cambios en la restricción presupuestal. No podemos desplazar m (ingresos en efectivo) como lo hicimos en el Modelo Estándar, pero podemos impactar las cantidades iniciales de bienes de dotación y esto actúa como un cambio en los ingresos.

PASO Haga clic en el botón y cambie\(\omega _1\) (en K13) de 35 a 50.

El gráfico ahora parece el incremento habitual de ingresos en el Modelo Estándar.

PASO Haga clic en el botón y cambie\(\omega _2\) (en K14) de 10 a 2.

Esto genera un cambio a la baja en la restricción presupuestal. Por lo tanto, los cambios de precios provocan rotaciones (o pivotes o pivotes) y los choques de dotación producen cambios.

La restricción presupuestaria en un Modelo de Dotación juega el mismo papel que la restricción presupuestaria en el Modelo Estándar. Describe las posibilidades de consumo del agente. Sin embargo, a diferencia del Modelo Estándar, donde los cambios de precio causaron la rotación alrededor de la intercepción x o y, los choques de precios en el Modelo de Dotación conducen a girar alrededor de la dotación inicial. Tiene sentido que la dotación inicial va a seguir siendo la misma ya que los precios cambian porque el agente no está comprando ni vendiendo en la dotación inicial por lo que el precio no importa en ese momento.

Para obtener turnos en la restricción presupuestal, tendremos que cambiar cualquiera\(\omega _1\) o\(\omega _2\). Esto cambia el punto de dotación inicial y permite al agente comprar y vender desde el nuevo punto de dotación, creando una nueva línea presupuestaria.

Ahora que entiende la restricción presupuestaria, estamos listos para resolver el problema de maximización de utilidades restringidas del agente con el Modelo de Dotación.

La solución inicial

El lado de utilidad del Modelo de Dotación es el mismo que el Modelo Estándar. Las preferencias del agente se muestran mediante curvas de indiferencia representadas matemáticamente por una función de utilidad.

El agente busca maximizar la utilidad dada la restricción presupuestal. Como es habitual, podemos resolver este problema numérica y analíticamente.

PASO Proceda a la hoja OptimalChoice. La Figura 5.3 muestra cómo se ve esta hoja cuando la abres por primera vez.

Figura 5.3: La vista inicial del problema de optimización.

Fuente: EndowmentIntro.xls! OptimalChoice

Observe cómo la organización es la misma que el Modelo Estándar. Hay una meta, variables endógenas (en azul) y variables exógenas (en verde). El agente busca maximizar la utilidad, representada por una forma funcional Cobb-Douglas, eligiendo las cantidades de\(x_1\) y\(x_2\) consumir, sujeto a la restricción presupuestal.

La gráfica también es similar, con la adición del punto E, que representa la dotación inicial. Hay tres curvas de indiferencia representativas (hay una infinidad de tales curvas, una a través de cada punto del cuadrante).

Aunque mucho es familiar, la Figura 5.3 y la pantalla de su computadora sí tienen algunas innovaciones notables. Las células B18 y B19 se han agregado a la lista de variables exógenas. Representan la dotación inicial dada. La celda B20 tiene una fórmula que calcula m, la cual no está en negrilla para indicar que se deriva de otras variables exógenas.

Además, las celdas C11:E12 son nuevas. Averiguemos lo que nos dicen.

PASO Haga clic en D11 para ver su fórmula, = x1_ - w1_.

El guión bajo (_) se utiliza para distinguir los nombres, x1 y w1, de las direcciones de celda, X1 y W1. W minúscula es el carácter inglés más cercano a\(\omega\).

De manera más sustantiva, la fórmula calcula la demanda neta, cuánto quiere comprar o vender el consumidor. Se necesita demanda bruta, la cantidad óptima del bien que el agente desea terminar, es decir, los valores de\(x_1\)\(x_2\) y y resta los montos iniciales de dotación. Hay una demanda bruta y neta por cada bien.

Al abrir, la demanda neta de\(x_1\) es cero debido a que B11 se fija en 35, lo que es igual a la dotación inicial del agente del bien 1. Supongamos que el agente decidió comprar tres unidades de buena 1.

PASO Cambiar B11 a 38.

La demanda neta para el bien 1 es ahora más tres. Eso tiene sentido porque el consumidor comenzó con 35 unidades de buena 1, pero quiere tener 38, por lo que se deben comprar tres más.

Por supuesto, la combinación 38,10 es inalcanzable. El consumidor debe vender algunos\(x_2\) para poder comprar tres unidades de\(x_1\). ¿Cuánto se necesita vender? Dos unidades.

PASO Cambiar B12 a 8.

El agente está de vuelta en la línea presupuestaria y la demanda neta de buenos 2 es negativa. Celular E12 informa que el agente es vendedor de bien 2. Al hacer clic en la celda E12 se revela una fórmula IF que muestra al Comprador o al Vendedor dependiendo de si la demanda neta es positiva o negativa.

Compara el MRS en tu pantalla con el MRS en la posición inicial de la Figura 5.3. ¿Estaba comprando tres unidades de buena 1 con las ganancias de la venta de dos unidades de buena 2 una mudanza inteligente?

No. El MRS en 38,8 está más lejos de la relación precio que el MRS en 35,10. La gráfica revela que pasamos a una curva de indiferencia inferior cuando pasamos a 38,8.

Tenemos que ir hacia el otro lado. El agente necesita viajar arriba de la línea de presupuesto, hacia el noroeste, vendiendo bien 1 y comprando bueno 2. ¿Cuánto se debe vender y comprar?

STEP Ejecute Solver para encontrar la solución inicial.

La utilidad se maximiza cuando las demandas brutas son 25 y\(16 \frac{2}{3}\) de bienes 1 y 2, respectivamente. Las demandas netas son\(- 10\) y\(6 \frac{2}{3}\). Esto significa que el agente vende 10 unidades de bien 1 y utiliza los $20 en ingresos para comprar\(6 \frac{2}{3}\) unidades de bien 2.

Esta es la misma solución que en el Modelo Estándar con\(m = \$100.\) Eso tiene sentido, ya que el valor de la dotación inicial es de $100.

Podemos confirmar este resultado con métodos analíticos. Seguimos la receta del método lagrangeo para resolver problemas de optimización restringidos.

Trabajaremos en una forma general de este problema, dejando todas las variables exógenas como letras para obtener una expresión de forma reducida que podamos evaluar para cualquier combinación de valores exógenos. Reescribimos la restricción para que sea igual a cero y formamos el Lagrangean.

El tercer paso es tomar derivadas con respecto a cada variable de elección y en el paso final establecemos las tres derivadas iguales a cero para obtener las condiciones de primer orden, que necesitamos resolver para\(x_1 \mbox{*}, x_2 \mbox{*}\), y\(\lambda \mbox{*}\).

Nuestra estrategia de solución consiste en mover los términos lambda hacia el lado derecho y dividir la primera ecuación por la segunda para cancelar lambda (y dar la\(\frac{p_1}{p_2}\) condición familiar MRS =). Esta ecuación puede entonces ser resuelta para óptima\(x_2\) como una función de óptima\(x_1\).

A pesar de que lo parezca, esta no es la respuesta\(x_2\) porque tiene\(x_1\) en ella. La solución de forma reducida debe ser una función solo de variables exógenas. Sustituir esta expresión por\(x_2\) en la tercera condición de primer orden (la restricción presupuestal) y resolver para óptima\(x_1\).

Esta expresión puede ser evaluada para cualquier combinación de valores de variables exógenas. Por ejemplo, si usamos los valores de los parámetros en la hoja OptimalChoice, podemos calcular ese óptimo\(x_1\) = 25. Esto concuerda perfectamente con el enfoque numérico.

Además, esta expresión muestra la cantidad demandada\(p_1\) en un ceteris paribus dado, por lo que se puede utilizar para mostrar una curva de demanda para\(x_1\). Hay, por supuesto, una expresión similar para bien 2.

En el Modelo Estándar, la solución de forma reducida fue\(x_1 \mbox{*} = (\frac{c}{c+d})\frac{m}{p_1}\). La solución del Modelo de Dotación es la misma, excepto que en vez de m en el numerador, tenemos\(p_1\omega _1 + p_2\omega _2\). Esto tiene sentido ya que el valor de la dotación inicial es\(p_1\omega _1 + p_2\omega _2\).

Con un Modelo de Dotación, podemos restar la cantidad inicial del bien 1 para obtener una curva de demanda neta.

Estáticas Comparadas con el Modelo de Dotación

Podemos realizar análisis estadísticos comparativos analítica o numéricamente. La expresión de forma reducida puede ser utilizada para explorar la tasa de cambio de óptima\(x_1\) con respecto a cualquier variable exógena. Por ejemplo, podemos tomar la derivada con respecto a\(p_1\).

Esto es más complicado de lo habitual porque\(p_1\) aparece en dos lugares. Podríamos usar la Regla del Producto, pero es más fácil hacer algunas reorganizaciones y simplificar las cosas antes de tomar la derivada.

Primero, nos movemos\(p_1\) del denominador. Esto nos permitirá utilizar nuestra regla derivada habitual. \[x_1 \mbox{*} = (\frac{c}{c+d})\frac{p_1 \omega_1+p_2 \omega_2}{p_1}=(\frac{c}{c+d})(p_1 \omega_1+p_2 \omega_2)p_1^{-1}\]Pero también podemos multiplicar\(p_1\) a través para cancelar el\(p_1\) en el\(p_1 \omega_1\) término. \[x_1 \mbox{*} = (\frac{c}{c+d})(p_1 \omega_1+p_2 \omega_2)p_1^{-1} = (\frac{c}{c+d})(\omega_1+p_1^{-1}p_2 \omega_2)\]Entonces podemos expandirnos para dejar\(p_1\) aislados en un solo término para que la derivada con respecto a\(p_1\) sea directa. \[x_1 \mbox{*} = (\frac{c}{c+d})(\omega_1+p_1^{-1}p_2 \omega_2) = (\frac{c}{c+d})\omega_1+(\frac{c}{c+d})p_1^{-1}p_2 \omega_2\]Ahora, cuando tomamos la derivada con respecto a\(p_1\), aplicamos nuestra regla derivada habitual y bajamos al exponente y restamos uno del segundo término. El primer término tiene una derivada con respecto a\(p_1\) de cero ya que no contiene\(p_1\). \[\frac{dx_1 \mbox{*}}{dp_1} = (-1)(\frac{c}{c+d})p_1^{-2}p_2 \omega_2\]Podemos evaluar esta expresión en los valores iniciales de las variables exógenas para obtener una tasa instantánea de cambio óptima\(x_1\) como\(p_1\) cambios. Conectando\(c = d = 1, p_1=2, p_2=3\), y\(\omega _2=10\) da\(- 3.75\). Esto significa que un aumento infinitesimalmente pequeño en\(p_1\)\(x_1\) disminuiría 3,75 veces.

Pero, ¿qué nos dice ese número? ¿Es mucho en el sentido de una gran respuesta a un choque de precios? La pendiente no da respuesta a esta pregunta. Necesitamos cambios porcentuales elasticidadpara responder a esta pregunta.

Podemos multiplicar la pendiente por la relación inicial de\(\frac{p_1}{x_1 \mbox{*}}\) para calcular la\(p_1\) elasticidad de\(x_1 \mbox{*}\).

\[\frac{dx_1 \mbox{*}}{dp_1}\frac{p_1}{x_1 \mbox{*}} = ((-1)(\frac{c}{c+d})p_1^{-2}p_2 \omega_2)(\frac{p_1}{x_1 \mbox{*}})\]Evaluamos esta expresión en\(p_1 = 2\) (y los valores iniciales de las otras variables exógenas). \[\frac{dx_1 \mbox{*}}{dp_1}\frac{p_1}{x_1 \mbox{*}} = ((-1)(\frac{c}{c+d})p_1^{-2}p_2 \omega_2)(\frac{p_1}{x_1 \mbox{*}})=-3.75(\frac{2}{25}) \approx -0.3\]La elasticidad sí nos dice que la cantidad demandada de\(x_1\) es bastante insensible al precio en la solución inicial. Se dice que una elasticidad menor a uno (en valor absoluto) es inelástica y cuanto más cerca de cero, menor es la capacidad de respuesta.

A diferencia del Modelo Estándar, donde una función de utilidad Cobb-Douglas da una elasticidad de precio unitario, aquí obtenemos una elasticidad no unitaria porque un cambio en\(p_1\) aparece en el denominador y el numerador en la forma reducida. En el numerador, el cambio en el precio está afectando el valor de la dotación del agente mientras que en el Modelo Estándar, el ingreso es fijo.

También podemos utilizar métodos numéricos para explorar las propiedades estáticas comparativas de un cambio de precio propio.

PASO Utilice el Asistente de Estática Comparativa para disminuir\(p_1\) en 0.1 (10 centavos) para 15 choques (de 2 a 0.5). Asegúrese de realizar un seguimiento de las demandas netas y la posición de comprador/vendedor en las variables endógenas usando la tecla ctrl para seleccionar celdas no contiguas, como se muestra en la Figura 5.4. Desea rastrear las celdas B11:B12 y D11:E12.

Figura 5.4: Selección de variables endógenas con CSwIz.

La hoja CSP1 muestra cómo deberían ser tus resultados. Hay varios resultados notables.

Cuando el precio bajó de 90 centavos a 80 centavos, el agente pasó de vender\(x_1\) y comprar\(x_2\) a comprar\(x_1\) y vender\(x_2\). El precio de\(x_1\) se puso tan bajo que a pesar de que el agente empieza con mucho\(x_1\) (comparado con\(x_2\)), es mejor comprar más\(x_1\). La línea presupuestaria se vuelve más plana a medida que\(p_1\) cae, lo que hace que comprar sea\(x_1\) una mejor opción que venderla.

Observe el comportamiento de máxima utilidad (columna B) a medida que baja el precio. El agente era vendedor al principio por lo que la caída de los precios dolió. Por debajo de los 90 centavos, sin embargo, el agente es comprador de\(x_1\) y al caer\(p_1\) aumenta la utilidad.

La hoja CSP1 también muestra cálculos de pendiente y elasticidad. Desde\(p_1\) $2/unidad hasta $1.90, las medidas de pendiente (fondo amarillo) y elasticidad (fondo naranja) son cercanas, pero diferentes a at\(p_1=2\) (usando la derivada). Esto se debe a que óptimo\(x_1\) es no lineal en\(p_1\). En otras palabras, no\(x_1 \mbox{*} = f(p_1)\) es una línea, sino una curva (como se muestra claramente en el gráfico debajo de los datos).

El modelo de dotación extiende el modelo estándar

El Modelo de Dotación es el Modelo Estándar de la Teoría del Comportamiento del Consumidor con una dotación inicial de bienes en lugar de ingresos en efectivo. Esto transforma al consumidor en el doble rol de vendedor y comprador de bienes. La fuerza impulsora en la toma de decisiones del agente sigue siendo la maximización de la utilidad. Muchas de las ideas detrás del Modelo Estándar (como equiparar el MRS y la relación precio) se trasladan al Modelo de Dotación. Por supuesto, el marco para presentar y entender el modelo, el análisis estadístico comparativo, sigue siendo el mismo.

Puede parecer que reemplazar los ingresos por una dotación inicial es un giro menor, pero veremos que el Modelo de Dotación permite analizar una amplia gama de problemas de elección.

Ejercicios

1. Realizar un análisis estadístico comparativo de c, el exponente en\(x_1\), utilizando el Asistente de Estadística Comparativa. Use incrementos en c de 0.1. Indicar el efecto de cambiar c. en\(x_1 \mbox{*}\). Describa su procedimiento y tome capturas de pantalla de sus resultados según sea necesario.

2. Utilice sus resultados estadísticos comparativos para encontrar la elasticidad c\(x_1 \mbox{*}\) de 1 a 1.1. Muestra tu trabajo.

3. Utilice la expresión de forma reducida en este capítulo para encontrar la elasticidad c de\(x_1 \mbox{*}\). Muestra tu trabajo.

4. Compara tus respuestas de las preguntas 2 y 3. Explique por qué son iguales o difieren.

Referencias

El epígrafe es de la página 188 de David M. Kreps Un Curso de Teoría Microeconómica (1990). Si estás interesado en estudios de posgrado en economía, vale la pena navegar por este libro. En el prefacio, Kreps dice (p. xv),

El objetivo principal de este libro es un estudiante de posgrado de primer año que busca una introducción a la teoría microeconómica que vaya más allá de los modelos tradicionales del consumidor, la firma y el mercado.

Kreps permite que pueda ser utilizado para carreras de pregrado tomando un curso de “teoría avanzada” o “estudiantes matemáticamente sofisticados”, pero advierte que, “El libro presume, sin embargo, que el lector ha sobrevivido al curso estándar de microeconomía intermedia”.

El Modelo de Dotación nos está acercando al siguiente nivel de la teoría microeconómica. Google “posgrado micro teoría” para micro libros más avanzados.

Para obtener más información sobre los programas de maestría y doctorado en economía, busque “rankings de posgrado en economía” y asegúrese de visitar el sitio web de la Asociación Americana de Economía en www.aeaweb.org/resources/students/grad-prep.