7.1: Búsqueda de muestra fija

La Teoría del Comportamiento del Consumidor se basa en la idea de que los compradores eligen cuánto comprar en función de sus preferencias, ingresos y precios dados. Sabemos, sin embargo, que los compradores no se enfrentan a un solo preciohay una distribución de precios y los vendedores cambian sus precios con frecuencia.

Uno pensaría que los consumidores serían incapaces de elegir en ese ambiente. Después de todo, ¿cómo pueden conocer la restricción presupuestal sin precios? La respuesta es que buscan o, en otras palabras, van de compras, y luego usan los precios más bajos encontrados para resolver su problema de maximización de utilidad restringida.

Search Theory es una aplicación del enfoque económico al problema de cuánto tiempo comprar en un mundo de muchos precios. La búsqueda es una actividad productiva porque permite encontrar precios más bajos, pero es costosa. Uno puede buscar muy poco, terminar pagando un precio alto, o buscar demasiadopasar horas para encontrar un precio que sea unos centavos más bajo no tiene mucho sentido.

Este capítulo introduce el problema de optimización de búsqueda del consumidor y se basa en la idea de que los consumidores deciden de antemano cuántas cotizaciones de precios obtener, de acuerdo con una regla de búsqueda óptima. Este tipo de procedimiento de búsqueda se conoce como búsqueda de muestra fija.

Describir el problema de optimización de búsqueda

Suponemos que los consumidores desconocen los precios que cobra cada firma. Simplificamos el problema asumiendo que el producto en diferentes tiendas es idéntico (es decir, homogéneo) por lo que el consumidor solo quiere comprar al precio más bajo. Desafortunadamente, encontrar ese precio más bajo es costoso por lo que el comprador tiene que decidir cuánto tiempo debe buscar.

PASO Abra el libro de trabajo FixedSampleSearch.xls y lea la hoja de introducción, luego proceda a la hoja de configuración.

La primera tarea es crear la distribución de los precios que enfrenta el consumidor. Suponemos que los precios permanecen fijos durante el proceso de búsqueda.

PASO Haga clic en el botón.

Se le harán una serie de preguntas que establecerán los precios cobrados por todos los vendedores. Esta es la población. La idea es que el consumidor muestrea (extraerá) de la población. Esto es de compras.

PASO Presiona OK cuando se le pide el número de tiendas que venden el producto para aceptar el número predeterminado de 1000 (sin separador de comas al ingresar números en Excel). Elija Uniforme para la distribución y luego presione OK para aceptar 5 cuando se le solicite el número de tiendas. Acepte los valores predeterminados de 0 y 1 para los precios mínimo y máximo.

Después de presionar Enter, verás una columna de números rojos en la columna A que representan los precios cobrados por cada una de las 1,000 tiendas que venden el producto. El consumidor sabe que las tiendas cobran precios diferentes, pero no puede ver de inmediato el precio de cada tienda individual. No pueden ver las tiendas de menor y mayor precio en las celdas B2 y B3.

PASO Desplázate hacia abajo para ver los precios que se cobran en cada tienda y confirma que la tienda de precio mínimo, que se muestra en la celda F2, es correcta.

Es difícil de ver simplemente desplazándose hacia abajo y mirando los precios, pero la distribución uniforme que utilizó significa que los precios están dispersos por igual de cero a uno. La distribución normal, en cambio, concentraría los precios cerca de la media, con menos precios bajos y altos (como una curva en forma de campana). El log-normal es el más realista de los tresprecios tienen una larga cola derecha (con algunas tiendas cobrando precios muy altos). La principal ventaja de la distribución uniforme es que es la más fácil de trabajar analíticamente.

La Figura 7.1 muestra un histograma de 1,000 precios de U [0,1]. Esta notación significa que incluimos los puntos finales por lo que tenemos una distribución uniforme con un mínimo cero y un máximo de uno (dando un promedio de 0.5 y una SD de 0.2887).

Figura 7.1: Un ejemplo de distribución uniforme de los precios.

Los precios no se distribuyen exactamente de manera uniforme en el intervalo de cero a uno. Se extraen de una distribución uniforme en el intervalo 0 a 1, pero cada realización de 1,000 precios se desvía de una distribución puramente rectangular debido a la aleatoriedad en el muestreo de la distribución uniforme. Cuantas más tiendas incluyas en la población, más cerca se acercará la Figura 7.1 a una distribución suave y rectangular. Puedes ver un histograma de los precios de tu población desplazándote a la columna AA de la hoja de Configuración.

Los consumidores conocen la distribución de los precios, pero desconocen qué firma está cobrando qué precio, por lo que no pueden acudir inmediatamente a la firma que tiene el precio más bajo. En cambio, el modelo de búsqueda de muestra fijo dice que el consumidor elige una serie de precios para muestrear (que estableces como 5) y luego elige el más bajo de los precios observados.

PASO Haga clic en el botón. Aparecerá un precio en la columna de muestra, y un cuadro emergente te indica de dónde vino ese precio. Presiona OK cada vez que aparezca la pantalla. Golpearás OK cinco veces porque elegiste probar en cinco tiendas.

El consumidor elige entre las mil tiendas al azar y termina con cinco precios observados. La columna L reporta el precio promedio muestral, el DE de los precios muestreados y el precio mínimo en la muestra (en la celda L7). El consumidor adquirirá el producto al precio mínimo observado en la muestra.

¿Por qué el consumidor no visita todas las tiendas y luego elige el precio más bajo? Porque es costoso obtener información de precios, como se muestra en la celda L11. Cada viaje de compras (para cobrar un precio) cuesta 4 centavos. Tomar muestras de las mil tiendas le costaría al consumidor 40 dólares exorbitantes. En promedio, el consumidor pagaría $0.54 (el promedio de la distribución de precios más el costo de obtener un precio) comprando el producto en la primera tienda visitada. Claramente, es mejor comprar inmediatamente, n = 1, que muestrear cada tienda, n = 1,000, pero ¿qué pasa con otros tamaños de muestra fijos? ¿Cuánto pagará el consumidor, en promedio, al muestrear cinco tiendas?

PASO Pulsa el botón repetidamente para dibujar más muestras de talla cinco. Mantenga su ojo en el precio total pagado en la celda L22.

Cada vez que obtienes una nueva muestra, obtienes un nuevo precio total (compuesto por el precio mínimo en muestra más 20 centavos). No hay duda al respectoel precio total que el consumidor termina pagando es una variable aleatoria. Esto dificulta este problema porque necesitamos averiguar qué puede esperar pagar el consumidor de manera habitual o típica. Queremos saber el precio promedio total. En la siguiente sección se muestra cómo.

Simulación Montecarlo

El plan es alterar la hoja de cálculo para que se pueda dibujar una nueva muestra simplemente recalculando la hoja, lo que se hace presionando la tecla F9. Luego podemos instalar el complemento de simulación Monte Carlo y usarlo para dibujar repetidamente nuevas muestras, rastreando el precio más bajo en cada muestra.

PASO Seleccione el rango de celdas J2:J6. Deberías tener cinco celdas resaltadas. En la barra de fórmulas, ingrese la siguiente fórmula:

=DRAWSAMPLEARRAY ()

y luego presione Ctrl + Shift + Enter (mantenga presionada y continúe manteniendo presionada la tecla Ctrl, luego mantenga presionada y continúe manteniendo presionada la tecla Mayús y luego presione la tecla Enter). Tu muestra de cinco precios aparecerá en la columna de muestra.

Después de seleccionar las celdas, no simplemente presione la tecla Enter. Esto pondrá la fórmula sólo en la primera celda. Desea la fórmula en las cinco celdas que seleccionó. Tienes que presionar Ctrl + Mayús + Intro simultáneamente.

Ha utilizado una función de matriz (integrada en el libro de trabajo) que abarca las cinco celdas que seleccionó. No se pueden editar individualmente las celdas. Si intentas hacerlo por error y te atascas, presiona la tecla esc (escape) para volver a la hoja de cálculo.

Al usar esta función de matriz, puede mostrar #VALUE. Simplemente presione la tecla F9 cuando esto suceda para refrescar la función. Si eso no funciona, recrear a la población.

Al usar la función DRAWSAMPLEARRAY (), debe estar seguro de establecer el número de sorteos en la celda C15 para que corresponda al número de celdas seleccionadas y utilizadas por la función. Si hay alguna discrepancia, se mostrará una advertencia.

PASO Golpea F9 varias veces y vigila las celdas L7, el precio mínimo, y L22, el precio total pagado.

Estas celdas se actualizan cada vez que golpeas F9. Se extrae una nueva muestra de cinco precios y se recalcula el precio mínimo y el precio total pagado para la nueva muestra.

La función DRAWSAMPLEARRAY () permite a Excel mostrar la variable aleatoria de precio mínimo (mejor), pero necesitamos calcular el precio mínimo promedio cuando se obtienen cinco cotizaciones de precios. Esto se puede hacer remuestreando y rastreando repetidamente cada resultado, esto se llama simulación de Monte Carlo.

PASO Instale el complemento Excel de simulación Montecarlo, McSim.xla, disponible gratuitamente desde www3.wabash.edu/econometrics y el archivo MicroExcel (en la misma carpeta que el libro de Excel para esta sección). La documentación completa está disponible en este sitio web. Este potente complemento permite simulaciones sofisticadas con solo hacer clic en un botón.

Recuerde que la instalación de un complemento requiere el uso del Administrador de complementos. No simplemente abra el archivo McSim.xla.

Una vez instalado, puede utilizar el complemento para determinar el precio mínimo promedio y el precio total pagado por el producto cuando se muestrean cinco precios.

PASO Ejecute el complemento de simulación Monte Carlo en las celdas L7 y L22 con 10,000 repeticiones.

El cuadro de diálogo del complemento McSim debería tener el aspecto de la Figura 7.2. Haga clic en el botón para ejecutar la simulación.

Figura 7.2: Configuración del cuadro de diálogo McSim.

Los resultados de tu simulación se parecerán a la Figura 7.3, pero sus resultados serán ligeramente diferentes. El promedio de la distribución mínima de precios debe estar cerca de 0.17 (1/6). Así, el consumidor suele pagar alrededor de $0.37 (sumando los 20 centavos en costo de búsqueda) por el producto. El precio total pagado es una versión desplazada del mejor precio.

Figura 7.3: Resultados de simulación de Monte Carlo con n = 5.

Fuente: FixedSampleSearch.xls! McSim

Entonces ahora sabemos que el consumidor puede esperar pagar alrededor de $0.37 al buscar cinco tiendas. Esto es mejor que comprar en la primera tienda visitada, que fue de $0.54. En comparación con la compra en la primera tienda, la ganancia marginal esperada de comprar en cinco tiendas, en términos de un precio mínimo esperado menor, es\(\$0.50 - \$0.17 = \$0.33\). El costo adicional de buscar cinco precios en lugar de uno es de 0.16 dólares. El beneficio adicional es mayor que el costo adicional es otra forma de saber que cinco tiendas es mejor que una tienda.

Pero queremos saber más que solo que buscar cinco tiendas es mejor que comprar en la primera tienda; queremos encontrar el mejor tamaño de muestra, el que da el precio total más bajo pagado.

PASO Pulsa el botón. Cambiar el número de sorteos en la celda C15 a 10. Seleccione el rango de celdas J2:J11 y luego escriba en la barra de fórmulas: =DRAWSAMPLEARRAY (). Luego presione la combinación Ctrl + Shift + Enter para ingresar la fórmula de matriz. Tu muestra de 10 precios aparecerá en la columna J.

Golpea F9 algunas veces y mira lo que le pasa a la celda L7, el precio mínimo. Rebota, pero con 10 precios en lugar de cinco, rebota alrededor de una media diferente, más baja.

PASO Para encontrar el precio típico que el consumidor puede esperar pagar, ejecute una simulación Monte Carlo del precio mínimo y total cuando se visiten 10 tiendas.

La Figura 7.4 muestra el mejor precio promedio exacto y el precio total promedio en función del tamaño de muestra para la distribución de precios U [0,1]. Tus resultados de simulación para el mejor precio para n = 10 deben estar cerca de $0.0909.

Figura 7.4: Búsqueda Óptima con una Distribución Uniforme en el intervalo [0,1].

Fuente: FixedSampleSearch.xls! Resumen

El mejor precio típico de $0.0909 cuando se obtienen 10 precios es menor que cuando compramos en cinco tiendas, pero fíjate que no vale la pena. El costo de obtener 10 precios ($0.40) es tan alto que el precio total pagado es mayor que obtener solo cinco precios. De hecho, obtener cuatro precios es el tamaño óptimo de la muestra.

Métodos Analíticos

El problema óptimo de optimización de búsqueda se puede resolver a través de métodos analíticos. Para la distribución uniforme de precios en el intervalo de cero a uno, el precio mínimo promedio en manos de los consumidores después de visitar n firmas es\[AverageP_{min}=\frac{1}{n+1}\] La ecuación para el precio mínimo promedio muestra que va disminuyendo a medida que n sube y lo hace a una tasa decreciente. En otras palabras, hay rendimientos decrecientes a la búsqueda de precios bajos.

El problema de optimización del consumidor es minimizar el costo total esperado de adquirir el producto, donde\(P(n)\) representa el precio mínimo esperado que sabemos que es una función cuántos precios se recaudan: También\[\min\limits_{n}TC=P(n)q +cn\] sabemos que para U [0,1],\(P(n)=\frac{1}{n+1}\) por lo que tenemos: \[\min\limits_{n}TC=\frac{1}{n+1}q +cn\]Para encontrar n óptimo, tomar la derivada con respecto a n y establecerla igual a cero:\[\frac{dTC}{dn}=-\frac{1}{(n+1)^2}q +c =0\]\[\frac{1}{(n+1)^2}q = c\] Esta condición equimarginal dice que el tamaño óptimo de la muestra se encuentra donde el ahorro marginal de la búsqueda adicional equivale al costo marginal. Siempre y cuando el ahorro de la búsqueda de una tienda adicional supere el costo de cobrar un precio más, el consumidor seguirá buscando. El ahorro marginal es solo la caída en el precio esperado, multiplicado por el número de unidades que el consumidor quiere comprar.

A partir de la condición equimarginal, podemos resolver para n óptima para obtener una solución de forma reducida. \[\frac{1}{(n+1)^2}q = c \rightarrow q=c(n+1)^2 \rightarrow \sqrt{\frac{q}{c}}=n+1 \rightarrow \sqrt{\frac{q}{c}}-1=n \mbox{*}\]Con q = 1 y c = $0.04, tenemos la misma solución que encontramos anteriormente:\[n \mbox{*}=\sqrt{\frac{q}{c}}-1=\sqrt{\frac{1}{0.04}}-1=4\]

Estática comparada

La expresión de forma reducida hace que el análisis estadístico comparativo sea sencillo. Es obvio que mayor c, costo de búsqueda, conduce a un menor tamaño óptimo de la muestra, como se muestra en la Figura 7.5.

Figura 7.5: Búsqueda óptima con cambio de costo de búsqueda para q = 1.

El costo de búsqueda no es el mismo para cada consumidor. El tiempo es un elemento importante del costo de búsqueda. Aquellos con más tiempo valioso y, por lo tanto, mayor costo de búsqueda se optimizarán al obtener menos cotizaciones de precios.

La disponibilidad de información es otro componente del costo de búsqueda. La publicidad informativa es la forma en que las empresas hacen saber a los consumidores dónde están y qué precios se están cobrando. Podemos modelar este tipo de publicidad como una disminución en los costos de búsquedadía, todo lo que tiene que hacer el consumidor es conectarse a Internet para ver qué precios se están ofreciendo. Los costos de búsqueda siguen siendo positivos (los consumidores no saben, por ejemplo, si todas las firmas anuncian o solo algunas), pero menores que sin publicidad. Los consumidores obtienen el producto por un precio total menor cuando la publicidad disminuye los costos de búsqueda.

Si permitimos múltiples compras, es decir, un valor de q\(> 1\), entonces los retornos a buscar aumentan y, otras cosas iguales, aumenta el número óptimo de búsquedas. El efecto de aumentar q en la relación entre el costo de búsqueda y el número óptimo de búsquedas se muestra en la Figura 7.6.

Figura 7.6: Búsqueda óptima con cambio de n y q.

Por ejemplo, el conductor de una camioneta de 18 ruedas que lleva dos tanques diésel de 200 galones va a buscar más que alguien que busca llenar su auto de gasolina. Pero este ejemplo nos lleva al siguiente capítulo, donde introducimos un modelo de búsqueda diferente.

Resultados de la búsqueda de muestras fijas

La información incompleta de los precios conduce a un problema de optimización completamente nuevo. Debido a que los consumidores no buscarán en todas las tiendas, ya que eso es demasiado caro, vemos dispersión de precios. Este es un resultado importante de la teoría de búsquedas y merece una mayor explicación.

Se pensaría que la competencia tendería a igualar los precios del mismo producto. Esto se conoce como la Ley de un Precio. Pero esto sólo se aplica a un mundo donde los consumidores pueden recoger precios sin costo.

Es decir, la Ley de un Precio no se mantendrá siempre que sea costoso recopilar datos de precios. Esto es cierto en el mundo real, donde algunos consumidores terminarán pagando precios más altos que otros porque el precio mínimo en su conjunto de información particular es diferente al precio mínimo en el conjunto de otro consumidor.

Debido a que los menores costos de búsqueda inducen más búsqueda, una reducción en los costos de búsqueda tendría el efecto de reducir (pero no eliminar) la dispersión de precios. Debido a que la optimización de los consumidores optará por no buscar precios en todas las tiendas siempre y cuando la búsqueda sea costosa, existirá dispersión de precios. Este es el resultado clave del modelo de búsqueda de muestra fijo.

Los economistas se han interesado en la teoría de las búsquedas desde hace décadas. Internet prometía una gran disminución en el costo de búsqueda y bien pudo haber entregado eso, pero más recientemente, la tecnología realmente ha volcado la teoría de las búsquedas. Hoy en día, su comportamiento de búsqueda en línea es monitoreado y sus clics influyen en los precios que ve.

Los modelos de búsqueda de siguiente nivel no tratan a la población de precios como se dan y no permiten al consumidor muestrear aleatoriamente sin cambiar la distribución de precios. Los consumidores aún tienen un problema de optimización que resolver, pero también lo hacen las firmas.

Ejercicios

Supongamos que la distribución de precios de 1,000 firmas es uniforme, con un precio promedio de $50 y una SD de $28.87. El costo de búsqueda, c, es de $1 por precio.

1. ¿En qué intervalo (del mínimo al máximo) son igualmente propensos a caer los precios?

2. Implemente este problema en la hoja de configuración y ejecute una simulación de Monte Carlo con un tamaño de muestra de 20. Toma una foto de tus resultados (como la Figura 7.3) y pégala en un documento de Word. ¿Qué tiene de bueno obtener 20 precios? ¿Qué es malo?

3. Utilice la ecuación para el precio mínimo promedio en función de n para esta distribución,\(AverageP_{min}=\frac{100}{n+1}\), para encontrar el tamaño muestral óptimo. Muestra tu trabajo.

4. Encuentra la elasticidad c de n at\(q = c = 1\). Muestra tu trabajo.

Referencias

El epígrafe es de la página 214 de George J. Stigler, “La economía de la información”, The Journal of Political Economy, Vol. 69, núm. 3 (junio de 1961), pp. 213—225, www.jstor.org/stable/1829263. Este trabajo es reconocido como el inicio de la economía de la búsqueda.

Stigler estaba tratando de explicar la dispersión de precios, pero la teoría de las búsquedas se ha expandido mucho más allá de esto y es especialmente importante en la economía laboral. Un consumidor que compra un producto de bajo precio es lo mismo que un trabajador que busca un trabajo de alto salario o una firma que busca un empleado de alta calidad. Véase Richard Rogerson, Robert Shimer, y Randall Wright, “Buscar-Theoretic Models of the Labor Market: A Survey”, Journal of Economic Literature, Vol. 43, núm. 4 (diciembre de 2005), pp. 959—988, www.jstor.org/stable/4129380.