13.1: Solución Inicial

Recordemos que la columna vertebral de la firma es la función de producción. Los insumos, o factores de producción, típicamente mano de obra (L) y capital (K) se utilizan para hacer salida, o producto (q).

En capítulos anteriores, exploramos los problemas de minimización de costos de entrada y maximización de ganancias de producción de la empresa. Este capítulo vuelve al lado de los insumos y trabaja en el tercer problema de optimización de la empresa: la maximización de ganancias de entrada.

Seguimos trabajando con una empresa perfectamente competitiva (PC), pero extendemos el supuesto de competencia perfecta a los mercados de insumos. Así, no sólo es la firma uno de los muchos vendedores de un producto perfectamente homogéneo con entrada y salida libres, también es uno de los muchos compradores de mano de obra y capital. Nuestra firma es una tomadora de precios de entrada y salida.

Esto significa que nuestra firma de PC solo elige la cantidad de entrada a contratar, no cuánto pagar por ello. Si tiene poder de mercado, entonces la firma no sólo determina cuánto contratar, sino que también consigue elegir el precio de entrada. En este caso, decimos que la firma tiene poder monopsónico.

Si bien seguramente has oído hablar del monopolio, el monopsonio puede ser nuevo para ti. Son similares en que uno está vendiendo (monopolio) y el otro comprando (monopsonio) y eso significa que el precio (salida o insumo) ya no es exógeno. Un ejemplo clásico es el único hospital en un pequeño pueblo que contrata enfermeras. Otro ejemplo es un minorista de caja grande. Walmart es un comprador tan grande que tienen poder monopsónico. Pueden negociar con los proveedores y extraer de ellos precios más baratos. Observe que una firma puede tener tanto monopolio como poder monopsónico.

En un curso de Economía Laboral, estudias cómo las empresas pueden aprovechar la capacidad de establecer precios de insumos para obtener mayores ganancias. Asumimos esta posibilidad de distancia y nos quedamos con una firma de PC que toma la tasa salarial (w) y la tasa de renta de capital (r) según lo dado. Nuestra firma de PC es un comprador tan pequeño que puede contratar tanto L y K como quiera a la marcha w y r.

Configuración del problema

Hay tres partes en cada problema de optimización. Aquí está el marco para una firma de PC.

1. Objetivo: Maximizar las ganancias (\(\pi\)), que equivalen a los ingresos totales menos los costos totales. Para distinguir la entrada del lado de salida, utilizamos los términos producto de ingresos totales (TRP) y costo total de factores (TFACc). La idea es que se utilice mano de obra y capital para hacer producto que se vende por lo que el precio multiplicado por el número de unidades producidas es el TRP.

2. Variables endógenas: trabajo y capital, a la larga; solo L a corto plazo.

3. Variables exógenas: precio (del producto, P), precios de entrada (tasa salarial y tasa de renta de capital) y tecnología (parámetros en la función de producción).

Como es habitual, trabajaremos con una función de producción de Cobb-Douglas\(\alpha >0\), con\(\beta >0\), y\(\alpha + \beta < 1\). \[q=AK^\alpha L^\beta\]Los ingresos son el precio de salida multiplicado por el producto producido,\(TR=Pq\). Sustituimos la función de producción por q en TR para obtener ingresos totales producto:\[TRP=PAK^\alpha L^\beta\] Las unidades de TRP son dólares (al igual que los ingresos totales). El lenguaje “producto de ingresos” indica que estamos considerando la cantidad de ingresos ($) producidos por los insumos.

Los costos son simplemente las cantidades gastadas en mano de obra y capital,\(wL + rK\). A estos se les llama costos totales de los factores.

La firma elige L y K para obtener ganancias máximas. \[\begin{gathered} %star suppresses line # \max\limits_{L,K} \pi = PAK^\alpha L^\beta - (wL+rK)\end{gathered}\]

Encontrar la solución inicial

Primero se resuelve el problema mediante métodos numéricos, y luego se utiliza el enfoque analítico.

PASO Abra el libro de Excel InputProfitMax.xls y lea la hoja de introducción, luego vaya a la hoja de TwoVar para ver el problema implementado en Excel.

La hoja se llama TwoVar porque ambas entradas son variables de elección, lo que significa que este es un problema de maximización de ganancias a largo plazo. Como es habitual, la hoja se organiza en los componentes codificados por colores de un problema de optimización, con células objetivo, endógenas y exógenas.

PASO Lea la descripción de la empresa, una panadería, y desplácese hacia abajo hasta las variables endógenas.

Al abrir, la hoja cuenta con 500 horas de mano de obra contratada y 100 unidades de capital rentadas, lo que arroja una ganancia de 936 dólares. ¿Es esto lo mejor que puede hacer esta firma? Las celdas B48 y B49 muestran el ingreso marginal producto de mano de obra y costo marginal del factor. Al contratar una hora más de mano de obra, los ingresos aumentarían más que los costos, por lo que las ganancias aumentarían. Claramente, por lo tanto, esta panadería no está optimizando.

STEP Ejecute Solver para encontrar la solución inicial. Tu pantalla debería parecerse a la Figura 13.1.

Figura 13.1: La solución óptima inicial.

Fuente: InputProfitMax.xls! TwoVar.

La firma contrata aproximadamente 1,431 horas de mano de obra y alquila 153 máquinas (pero da clic en las celdas B34 y B35 para ver más decimales). Esto arroja una ganancia máxima posible de poco más de $1,900.

Observe que el producto de ingresos marginales y las celdas de costo de factor marginal son ahora exactamente iguales a $20/hora. Esto no es casualidad. La condición equimarginal para la maximización del beneficio de entrada es esa\(MRP=MFC\). Dado que la firma es un tomador de precios de entrada,\(MFC=w\) (al igual que\(P=MR\) para una firma de PC) por lo que también es cierto que\(MRP=w\) en la solución óptima.

Por último, observe el desglose de los ingresos de las firmas en las filas 44 a 46. La participación laboral (wL), la participación de capital (RK) y las ganancias (lo que quede) suman hasta el 100%. Acciones de K y L's, 75% y 20% iguales\(\alpha\) y\(\beta\). ¿Eso es una coincidencia? No, esa es una propiedad de la forma funcional Cobb-Douglas. El exponente te dice la parte de los ingresos que recibirá ese factor.

También podemos resolver este problema a través del enfoque analítico. Conocemos la función objetiva y podemos sustituir en cada uno de los valores de los parámetros. \[\begin{gathered} %star suppresses line # \max\limits_{L,K} \pi = PAK^\alpha L^\beta - (wL+rK)\\ \max\limits_{L,K} \pi = 2*30*K^{0.2} L^{0.75} - (2L+3K)\end{gathered}\]A continuación, tomamos derivadas con respecto a L y K, las establecemos iguales a cero y usamos álgebra para resolver el sistema de dos ecuaciones de condiciones de primer orden.

Podemos mover los 20 y 50 hacia el lado derecho y esto inmediatamente revela las condiciones equimarginales:\(MRP_L = w\) and \(MRP_K = r\).

We solve the first equation for L and substitute it into the second equation to solve for optimal K. We use the rule that \((x^a)^b = x^{ab}\) to solve for L.

Sustituir la expresión por L en la segunda condición de primer orden.

Calcular L óptima a partir de la expresión para L. \[L \mbox{*}=2.25^4K^{0.8}=2.25^4[152.6842]^{0.8}=1431.414\] Compute maximum profits. \[\pi \mbox{*}=2*30*[152.6842]^{0.2}*[1431.414]^{0.75}-2*[1431.414]-3*[152.6842]=\$1908.55\] This analytical solution is extremely close to Excel’s solution. Practically speaking, as we would expect, the two solutions are the same.

The Short Run

A slightly different version of the firm’s input profit maximization problem involves the short run when capital is not variable. By putting a bar over K, we highlight that capital is fixed. \[\max\limits_{L} \pi = PA\bar{K}^\alpha L^\beta - wL-r\bar{K})\] We do the analytical solution first this time and in general form. There is only one derivative (since there is only one choice variable) and one first-order condition.

PASO Para ver la versión numérica de este problema, proceda a la hoja OneVar.

Observe que sólo hay una variable endógena, L. El capital se ha trasladado a la lista exógena porque estamos en el corto plazo.

Observe también que hay dos gráficas. Cada uno puede ser utilizado para representar la solución inicial.

Debajo de las gráficas, se puede ver que el ingreso marginal producto del trabajo no es igual al salario. Como sabes, esto significa que necesitas ejecutar Solver porque la firma no está optimizando.

STEP Ejecute Solver para encontrar la solución inicial. Tu pantalla debería tener el aspecto de la Figura 13.2.

Figura 13.2: La solución óptima inicial a corto plazo.

Fuente: InputProfitMax.xls! OneVar.

El gráfico inferior muestra que el uso óptimo de la mano de obra se puede encontrar donde el producto de ingresos marginales del trabajo (la curva) es igual al salario (a $20/hr). Esta es la gráfica canónica para el problema de maximización de ganancias del lado de entrada. Al igual que\(MR=MC\) en el lado de salida, la intersección de las dos relaciones marginales revela instantáneamente la solución óptima.

El gráfico superior es una forma diferente de ver exactamente el mismo problema. Está utilizando la función de producción como restricción (la curva TRP) y se muestran tres líneas representativas de isobeneficio. Cada línea de isobeneficio muestra la combinación de L y q que da el mismo beneficio. La firma está tratando de obtener la mayor isoganancia (al noroeste) mientras cumple con la restricción. Puede rodar sobre la curva TRP (como rodó sobre el isoquante) hasta que llegue a una línea de isobeneficio que sea tangente al TRP.

El problema de optimización restringida se puede escribir así:\[\begin{gathered} %star suppresses line # \max\limits_{L,q} \pi = Pq - wL-r\bar{K}\\ \textrm{s.t. } q=A\bar{K}^\alpha L^\beta\end{gathered}\] El método Lagrangean podría aplicarse para resolver este problema. Naturalmente, se obtiene exactamente la misma solución si utilizamos el Lagrangean o el enfoque más común de sustituir directamente la restricción (la función de producción) en la función de ingresos.

Supongamos que quisiéramos verificar si los resultados analíticos y numéricos son los mismos. Necesitamos evaluar la expresión de L óptima en los valores de los parámetros en la hoja OneVar.

La expresión es lo suficientemente complicada como para que ingresarla en una celda como la escribirías sea una mala idea. Es probable que los paréntesis causen confusión. Es mejor crear casas para cada parte y luego rellenarlas. Aquí te explicamos cómo.

PASO Vea este breve video sobre cómo ingresar una fórmula complicada en Excel: vimeo.com/415967747.

Ingresar paréntesis como pares, es un buen hábito para desarrollar al trabajar en una hoja de cálculo. Es fácil cometer un error de orden de operaciones u obtener paréntesis que no coinciden si intentas ingresar la fórmula como lo harías en una hoja de papel.

PASO Ingresa la fórmula en la celda M28 (igual que en el video) para practicar la construcción de casas en fórmulas en Excel.

Al hacerlo, usted confirma que los métodos analíticos y numéricos dan sustancialmente la misma respuesta.

Otra función de producción a corto plazo

Una función de producción de Cobb-Douglas tiene muchas ventajas, incluyendo que la suma de exponentes revela si los retornos a escala son crecientes, constantes o decrecientes si son mayores, iguales o menores que uno. Sin embargo, una vez que se establecen los exponentes, la función solo puede exhibir esos retornos a escala.

De igual manera, a corto plazo, con K fijo, nuestra forma funcional Cobb-Douglas mostró la Ley de Retornos Disminutivos porque\(\beta = 0.75\). Una forma funcional más flexible permitiría que la producción tenga rendimientos crecientes y decrecientes a medida que se agregue más mano de obra.

Al igual que el polinomio cúbico que usamos para la función de costo total, una forma funcional cúbica puede darnos una curva TRP en forma de S. \[TRP=aL^3+bL^2+cL\]

PASO Proceda a la hoja Gráficas para ver esta forma funcional implementada en un conjunto de cuatro gráficas que pueden ser utilizadas para representar el problema de maximización de ganancias de entrada de la empresa (Figura 13.3).

Figura 13.3: Cuatro gráficas para la maximización del beneficio de entrada.

Fuente: InputProfitMax.xls! Gráficas.

Llama la atención que estos gráficos reflejen los cuatro gráficos que utilizamos para describir el problema de maximización de ganancias del lado de la salida de la empresa. Los dos gráficos superiores muestran los ingresos totales y el costo total en la parte superior izquierda, junto con las ganancias totales en la parte superior derecha. Las gráficas inferiores muestran una serie de curvas marginales y medias en la parte inferior izquierda y beneficio marginal en la parte inferior derecha.

Si miras con cuidado, notarás que las cosas cambian un poco. En lugar de que el costo total sea una curva (ya que está en el lado de salida), es una línea recta porque el costo total del factor en el lado de entrada en el corto plazo es\(wL+ r\bar{K}\). Por otro lado, el producto de ingresos totales (llamado así para distinguirlo de los ingresos totales en el lado de la salida) es una curva (en lugar de una línea recta).

A diferencia del gráfico canónico de maximización de ganancias del lado de salida con curvas MC, ATC y AVC en forma de U y una\(P = MR\) línea horizontal, la gráfica inferior izquierda tiene una línea MFC horizontal y las funciones MRP y ARP son curvas y están al revés.

Pero también hay similitudes clave. La regla equimarginal está en juego:\(MFC=MRP\) revela el uso laboral que maximiza las ganancias. También, un rectángulo de\((ARP-AFC)L\) da un área que es igual a ganancias. La longitud del rectángulo de ganancias oscila entre cero y la cantidad elegida de mano de obra contratada. La altura es la diferencia entre el producto promedio de ingresos, ARP, y el costo promedio de los factores, AFC. El área de este rectángulo es ganancia porque\(ARP - AFC\) es ganancia por hora por lo que multiplicar por L, medida en horas, arroja ganancias. Otra forma de pensar al respecto es que multiplicar L por ARP arroja ingresos totales (since\(L*TRP/L=TRP\)) y multiplicar L por AFC da costos totales (since\(L*TFacC/L=TFacC\)). Restar el rectángulo de costo total del rectángulo de ingresos totales deja el rectángulo de ganancias.

Otra similitud entre la maximización de ganancias de salida e insumos es que la firma tiene las mismas cuatro posiciones de ganancia.

PASO En la hoja Gráficos, haga clic en el menú desplegable (cerca de la celda P4) y recorra todas las posiciones de ganancias.

Al igual que con el lado de salida, el choque es el precio de salida. A medida que cae, también lo hacen las ganancias máximas.

Las opciones Neg Profits, Cont Prod y Neg Profits, Shutdown muestran que la firma cerrará cuando el\(w>ARP\). Esto es análogo a la Regla de\(P < AVC\) Apagado. Esté atento a las ganancias totales en la gráfica superior derecha para ver que la historia es la mismala firma está decidiendo si la ganancia negativa en el mejor de los niveles positivos de L es mejor que no contratar ninguna L en absoluto.

La conexión entre entrada y salida es simple. La firma cierra cuando\(w > ARP\) lo cual podemos multiplicar por L para dar\(wL > TRP\). Pero wL y TRP son TVC y TR en el lado de salida. Dividir ambos por q y obtenemos\(AVC>P\), que es lo mismo que\(P<AVC\), el lado de salida habitual Regla de Apagado. Además, la\(wL > TRP\) versión de la Regla de Cierre respalda la afirmación de que los ingresos deben cubrir costos variables para que una empresa produzca.

Puntos destacados de maximización de ganancias de entrada

En este punto, podrías estar sufriendo de síndrome de estrés repetitivo, parece que estamos repasando las mismas ideas. Ese es un nivel importante a alcanzar en el dominio de la forma económica de pensar. El cuerpo de conocimientos en economía se fundamenta en una metodología central de optimización y estadística comparativa. El marco se utiliza una y otra y otra vez.

Como todos los problemas de optimización, el problema de maximización de ganancias del lado de entrada se puede organizar en una meta, endógenas y variables exógenas. Este problema tiene una gráfica canónica (con MFC y MRP como elementos clave) y una regla equimarginal\(MFC = MRP\).

Porque la firma es un tomador de precios de entrada,\(MFC=w\). Esto significa que cada hora adicional de mano de obra agrega w al costo total. Si la firma fuera un monopsonio, esto no sería cierto y el problema de optimización sería más complicado.

Finalmente, debido a que el problema de maximización de ganancias de entrada es la otra cara del problema de maximización de ganancias del lado de salida, no debería sorprender que podamos representar la solución inicial con un conjunto de cuatro gráficas. El paralelismo se lleva a través de todo el camino hasta la Regla de Cierre, donde\(w>ARP\) es equivalente a\(P < AVC\). Volveremos a hacer hincapié en las conexiones entre el lado de entrada y salida en el siguiente capítulo.

Ejercicios

1. Utilice la hoja TwoVar para calcular la elasticidad beta a largo plazo\(L \mbox{*}\) de beta = 0.75 a beta = 0.74. Muestre su trabajo.

2. En la hoja de preguntas y respuestas, la pregunta 4 te pide que encuentres elasticidad beta a corto plazo\(L \mbox{*}\) de beta = 0.75 a beta 0.74. El archivo InputProfitMaxA.doc en la carpeta Respuestas muestra que la respuesta es de aproximadamente 28. Explique por qué la elasticidad a corto plazo (que es ciertamente bastante grande) es mucho menor que la elasticidad a largo plazo que computó en la pregunta anterior.

3. Use Excel para configurar y resolver (con Solver, por supuesto) la versión restringida del problema de maximización de ganancias de entrada en la hoja OneVar. Tome una captura de pantalla de su solución (incluida la celda de restricción) y péguela en su documento de Word.

4. En la hoja Gráficos, seleccione el caso Neg Profits, Shutdown. ¿El gráfico superior derecho es compatible con la regla de\(w>ARP\) apagado? Explique.

Referencias

El epígrafe, de John Palmer en thesportseconomist.com/what-is-the-marginal-revenue-product-of-barry-bonds, apunta a dos vías para una lectura posterior: la economía del deporte y los blogs.

Los mundos de la economía y el deporte están cada vez más entrelazados. Hay cursos, conferencias y revistas dedicadas a la economía del deporte. Para un artículo clásico sobre el béisbol, véase “El mercado laboral de los jugadores de béisbol” de Simon Rottenberg, The Journal of Political Economy, Vol. 64, No. 3 (junio de 1956), pp. 242—258, www.jstor.org/stable/1825886.

Hay, por supuesto, muchos blogs dedicados a la economía. Los marginalrevolution.com y cafehayek.com suelen ser informativos y entretenidos. Para macroeconomía, consulte Greg Mankiw en gregmankiw.blogspot.com y Brad DeLong en delong.typepad.com. John Cochrane te dará una perspectiva de libre mercado en johnhcochrane.blogspot.com además, The Grumpy Economist es un gran nombre para un blog.