Comprender las relaciones no lineales y cómo se ilustran con curvas no lineales.
Explicar cómo estimar la pendiente en cualquier punto de una curva no lineal.
Explique cómo se pueden utilizar gráficas sin números para comprender la naturaleza de las relaciones entre dos variables.
En esta sección ampliaremos nuestro análisis de las gráficas de dos maneras: primero, exploraremos la naturaleza de las relaciones no lineales; luego veremos las gráficas dibujadas sin números.
Gráficas de relaciones no lineales
En las gráficas que hemos examinado hasta ahora, agregar una unidad a la variable independiente en el eje horizontal siempre tiene el mismo efecto sobre la variable dependiente en el eje vertical. Cuando agregamos un pasajero que viaja en el autobús de esquí, los ingresos del club de esquí siempre suben por el precio de un boleto. La cancelación de un juego más en la temporada 1998—1999 de basquetbol siempre reduciría las ganancias de Shaquille O'Neal en 210.000 dólares. Las pendientes de las curvas que describen las relaciones que hemos estado discutiendo fueron constantes; las relaciones fueron lineales.
Muchas relaciones en economía son no lineales. Una relación no lineal entre dos variables es aquella para la cual la pendiente de la curva que muestra la relación cambia a medida que cambia el valor de una de las variables. Una curva no lineal es una curva cuya pendiente cambia a medida que cambia el valor de una de las variables.
Considera un ejemplo. Supongamos que Felicia Álvarez, propietaria de una panadería, ha registrado la relación entre la producción diaria de pan de su firma y el número de panaderos que emplea. La relación que ha registrado se da en la tabla del Panel (a) de la Figura 21.9. Los puntos correspondientes se trazan en el Panel (b). Claramente, no podemos trazar una línea recta a través de estos puntos. En cambio, tendremos que dibujar una curva no lineal como la que se muestra en el Panel (c).
Figura 21.9 Una curva no lineal
El cuadro del Panel (a) muestra la relación entre el número de panaderos que Felicia Álvarez emplea por día y el número de panes producidos por día. Esta información se traza en el Panel (b). Esta es una relación no lineal; la curva que conecta estos puntos en el Panel (c) (Hoves of bread produced) tiene una pendiente cambiante.
Inspeccionando la curva para las barras de pan producidas, vemos que es de pendiente ascendente, lo que sugiere una relación positiva entre el número de panaderos y la producción de pan. Pero también vemos que la curva se vuelve más plana a medida que viajamos hacia arriba y hacia la derecha a lo largo de ella; es no lineal y describe una relación no lineal.
¿Cómo podemos estimar la pendiente de una curva no lineal? Después de todo, la pendiente de tal curva cambia a medida que viajamos a lo largo de ella. Podemos encarar este problema de dos maneras. Una es considerar dos puntos en la curva y calcular la pendiente entre esos dos puntos. Otra es calcular la pendiente de la curva en un solo punto.
Cuando calculamos la pendiente de una curva entre dos puntos, realmente estamos calculando la pendiente de una línea recta dibujada entre esos dos puntos. En la Figura 21.10, hemos calculado pendientes entre pares de puntos A y B, C y D, y E y F en nuestra curva para panes de pan producidos. Estas pendientes equivalen a 400 panes/panadero, 200 panes/panadero y 50 panes/panadero, respectivamente. Son las pendientes de los segmentos de líneas discontinuas que se muestran. Estos segmentos discontinuos se encuentran cerca de la curva, pero claramente no están en la curva. Después de todo, los segmentos discontinuos son líneas rectas. Nuestra curva que relaciona el número de panaderos con la producción diaria de pan no es una línea recta; la relación entre la producción diaria de pan de la panadería y el número de panaderos es no lineal.
Figura 21.10 Estimación de pendientes para una curva no lineal Podemos estimar la pendiente de una curva no lineal entre dos puntos. Aquí, las pendientes se calculan entre los puntos A y B, C y D, y E y F. Cuando calculamos la pendiente de una curva no lineal entre dos puntos, estamos calculando la pendiente de una línea recta entre esos dos puntos. Aquí las líneas cuyas pendientes se computan son las líneas discontinuas entre los pares de puntos.
Cada punto de una curva no lineal tiene una pendiente diferente. Para obtener una medida precisa de la pendiente de dicha curva, debemos considerar su pendiente en un solo punto. Para ello, dibujamos una línea tangente a la curva en ese punto. Una línea tangente es una línea recta que toca, pero no se cruza, una curva no lineal en un solo punto. La pendiente de una línea tangente es igual a la pendiente de la curva en el punto en el que la línea tangente toca la curva.
Considerar el punto D en el Panel (a) de la Figura 21.11. Hemos dibujado una línea tangente que apenas toca la curva mostrando la producción de pan en este punto. Pasa por puntos etiquetados M y N. El cambio vertical entre estos puntos equivale a 300 panes; el cambio horizontal equivale a dos panaderos. La pendiente de la línea tangente equivale a 150 panes de pan/panadero (300 hoves/2 panaderos). La pendiente de nuestra curva de producción de pan en el punto D es igual a la pendiente de la línea tangente a la curva en este punto. En el Panel (b), hemos esbozado líneas tangentes a la curva para barras de pan producidas en los puntos B, D y F. Observe que estas líneas tangentes se vuelven sucesivamente más planas, sugiriendo nuevamente que la pendiente de la curva está cayendo a medida que viajamos hacia arriba y hacia la derecha a lo largo de ella.
Figura 21.11 Líneas tangentes y pendientes de curvas no lineales Debido a que la pendiente de una curva no lineal es diferente en cada punto de la curva, la manera precisa de calcular la pendiente es dibujar una línea tangente; la pendiente de la línea tangente es igual a la pendiente de la curva en el punto en que la línea tangente toca la curva. En el Panel (a), la pendiente de la línea tangente se calcula para nosotros: equivale a 150 panes/panadero. Generalmente, no tendremos la información para calcular pendientes de líneas tangentes. Los usaremos como en el Panel (b), para observar lo que sucede con la pendiente de una curva no lineal a medida que viajamos a lo largo de ella. Vemos aquí que la pendiente cae (las líneas tangentes se vuelven más planas) a medida que aumenta el número de panaderos.
Observe que no se nos ha dado la información que necesitamos para calcular las pendientes de las líneas tangentes que tocan la curva para las barras de pan producidas en los puntos B y F. En este texto, no tendremos ocasión de computar las pendientes de las líneas tangentes. O se les dará o los usaremos como lo hicimos aquí, para ver qué está pasando con las pendientes de las curvas no lineales.
En el caso de nuestra curva para panes producidos, el hecho de que la pendiente de la curva descienda a medida que aumentamos el número de panaderos sugiere un fenómeno que juega un papel central tanto en el análisis microeconómico como macroeconómico. A medida que sumamos trabajadores (en este caso panaderos), la producción (en este caso panes) sube, pero en cantidades cada vez más pequeñas. Otra forma de describir la relación entre el número de trabajadores y la cantidad de pan producido es decir que a medida que aumenta el número de trabajadores, la producción aumenta a un ritmo decreciente. En el Panel (b) de la Figura 21.11 expresamos esta idea con una gráfica, y podemos obtener esta comprensión observando las líneas tangentes, aunque no tengamos números específicos. En efecto, gran parte de nuestro trabajo con gráficas no requerirá en absoluto de números.
Pasamos a continuación para ver cómo podemos usar gráficas para expresar ideas incluso cuando no tenemos números específicos.
Gráficas sin números
Sabemos que una relación positiva entre dos variables se puede mostrar con una curva inclinada hacia arriba en una gráfica. Se puede mostrar una relación negativa o inversa con una curva inclinada hacia abajo. Algunas relaciones son lineales y otras no lineales. Ilustramos una relación lineal con una curva cuya pendiente es constante; una relación no lineal se ilustra con una curva cuya pendiente cambia. Usando estas ideas básicas, podemos ilustrar hipótesis gráficamente incluso en casos en los que no tenemos números con los que ubicar puntos específicos.
Considere primero una hipótesis sugerida por investigaciones médicas recientes: comer más frutas y verduras cada día aumenta la esperanza de vida. Podemos mostrar esta idea gráficamente. El consumo diario de frutas y hortalizas (medido, digamos, en gramos por día) es la variable independiente; la esperanza de vida (medida en años) es la variable dependiente. El panel (a) de la Figura 21.12 muestra la hipótesis, lo que sugiere una relación positiva entre las dos variables. Observe la intersección vertical en la curva que hemos dibujado; implica que incluso las personas que no comen fruta o verdura pueden esperar vivir al menos un tiempo!
Figura 21.12 Gráficas sin números
A menudo usamos gráficas sin números para sugerir la naturaleza de las relaciones entre variables. Las gráficas de los cuatro paneles corresponden a las relaciones descritas en el texto.
El panel (b) ilustra otra hipótesis que escuchamos a menudo: fumar cigarrillos reduce la esperanza de vida. Aquí el número de cigarrillos fumados por día es la variable independiente; la esperanza de vida es la variable dependiente. La hipótesis sugiere una relación negativa. De ahí que tengamos una curva inclinada hacia abajo.
Consideremos ahora una forma general de la hipótesis sugerida por el ejemplo de la panadería de Felicia Álvarez: aumentar el empleo cada periodo incrementa la producción cada periodo, pero en cantidades cada vez más pequeñas. Como vimos en la Figura 21.9, esta hipótesis sugiere una relación positiva, no lineal. Hemos dibujado una curva en el Panel (c) de la Figura 21.12 que se parece mucho a la curva para la producción de pan en la Figura 21.11. Tiene una pendiente ascendente, y su pendiente disminuye a medida que aumenta el empleo.
Finalmente, consideremos una versión refinada de nuestra hipótesis del tabaquismo. Supongamos que afirmamos que fumar cigarrillos sí reduce la esperanza de vida y que aumentar el número de cigarrillos fumados por día reduce la esperanza de vida en una cantidad cada vez mayor. El panel (d) muestra este caso. Nuevamente, nuestra curva de esperanza de vida desciende. Pero ahora sugiere que fumar solo unos pocos cigarrillos al día reduce la esperanza de vida solo un poco pero que la esperanza de vida disminuye cada vez más a medida que aumenta el número de cigarrillos que se fuman por día.
Hemos esbozado líneas tangentes a la curva en Panel (d). Las pendientes de estas líneas tangentes son negativas, lo que sugiere la relación negativa entre el tabaquismo y la esperanza de vida. También se empinan a medida que aumenta el número de cigarrillos que se fuman por día. Ya sea que una curva sea lineal o no lineal, una curva más pronunciada es aquella para la que el valor absoluto de la pendiente se eleva a medida que aumenta el valor de la variable en el eje horizontal. Cuando hablamos del valor absoluto de un número negativo como −4, ignoramos el signo menos y simplemente decimos que el valor absoluto es 4. El valor absoluto de −8, por ejemplo, es mayor que el valor absoluto de −4, y una curva con una pendiente de −8 es más pronunciada que una curva cuya pendiente es −4.
Hasta el momento nuestro trabajo se ha centrado en gráficas que muestran una relación entre variables. Pasamos finalmente a un examen de gráficas y tablas que muestran valores de una o más variables, ya sea a lo largo de un periodo de tiempo o en un solo punto en el tiempo.
Claves para llevar
La pendiente de una curva no lineal cambia a medida que cambia el valor de una de las variables en la relación mostrada por la curva.
Una curva no lineal puede mostrar una relación positiva o negativa.
La pendiente de una curva que muestra una relación no lineal se puede estimar calculando la pendiente entre dos puntos de la curva. La pendiente en cualquier punto de dicha curva es igual a la pendiente de una línea dibujada tangente a la curva en ese punto.
Podemos ilustrar hipótesis sobre la relación entre dos variables gráficamente, aunque no se nos den números para las relaciones. Solo necesitamos dibujar y etiquetar los ejes y luego dibujar una curva consistente con la hipótesis.
¡Pruébalo!
Considera la siguiente curva dibujada para mostrar la relación entre dos variables, A y B (estaremos usando una curva como esta en el siguiente capítulo). Explicar si la relación entre las dos variables es positiva o negativa, lineal o no lineal. Dibuja dos líneas tangentes a la curva en diferentes puntos de la curva, y explica lo que está sucediendo con la pendiente de la curva.
¡Responde a Pruébalo!
La relación entre la variable A mostrada en el eje vertical y la variable B mostrada en el eje horizontal es negativa. Esto a veces se conoce como una relación inversa. Se dice que las variables que dan una línea recta con pendiente constante tienen una relación lineal. En este caso, sin embargo, la relación es no lineal. La pendiente cambia a lo largo de la curva. En este caso la pendiente se vuelve más pronunciada a medida que nos desplazamos hacia abajo hacia la derecha a lo largo de la curva, como lo muestran las dos líneas tangentes que se han dibujado. A medida que aumenta la cantidad de B, la cantidad de A disminuye a una tasa creciente.
