22.1: El álgebra del equilibrio

Supongamos que una economía puede ser representada por las siguientes ecuaciones:

Ecuación\(\ref{36.1}\)

\[C = C_a + bY_d \label{36.1}\]

Ecuación\(\ref{36.2}\)

\[T = T_a + tY \label{36.2}\]

Ecuación\(\ref{36.3}\)

\[I_p = I_a \label{36.3}\]

Ecuación\(\ref{36.4}\)

\[G = G_a \label{36.4}\]

Ecuación\(\ref{36.5}\)

\[X_n = X_{n_{a}} \label{36.5}\]

_{Como en nuestro ejemplo específico en el capítulo, la función de consumo dada en Ecuación\(\ref{36.1}\) tiene un componente autónomo (C a) y un componente inducido (bY d), donde b es la propensión marginal al consumo (MPC).} En el ejemplo del capítulo, C a era _de 300 mil millones de dólares y el MPC, o b, era de 0.8. \(\ref{36.2}\)_{La ecuación muestra que los impuestos totales, T, incluyen un componente autónomo T a (por ejemplo, impuestos predial, licencias, tasas y cualquier otro impuesto que no varíe con el nivel de ingresos) y un componente inducido que es una fracción del PIB real, Y.} Esa fracción es la tasa impositiva, t. El ingreso personal disponible es solo la diferencia entre el PIB real y los impuestos totales:

Ecuación\(\ref{36.6}\)

\[Y_a = Y - T \label{36.6}\]

En Ecuación\(\ref{36.3}\)\(\ref{36.4}\), Ecuación y Ecuación\(\ref{36.5}\), I _a, G _a, y\(X_{n_{a}}\) son valores específicos para los demás componentes de los gastos agregados: inversión (I _p), compras gubernamentales (G), y exportaciones netas (X _n). En este modelo, se asume que las inversiones planificadas, las compras gubernamentales y las exportaciones netas son autónomas. Por ello, agregamos el subíndice “a” a cada uno de ellos.

Utilizamos las ecuaciones que describen cada uno de los componentes como gastos agregados para resolver el nivel de equilibrio del PIB real. La condición de equilibrio en el modelo de gastos agregados requiere que los gastos agregados para un período sean iguales al PIB real en el periodo. Especificamos esa condición algebraicamente:

Ecuación\(\ref{36.7}\)

\[Y = AE \label{36.7}\]

Los gastos agregados AE consisten en consumo más inversión planificada más compras gubernamentales más exportaciones netas. Por lo tanto, reemplazamos el lado derecho de la ecuación\(\ref{36.7}\) con esos términos para obtener

Ecuación\(\ref{36.8}\)

\[Y = C + I_p + G + X_n \label{36.8}\]

El consumo viene dado por Ecuación\(\ref{36.1}\) y los demás componentes de los gastos agregados por Ecuación\(\ref{36.3}\)\(\ref{36.4}\), Ecuación y Ecuación\(\ref{36.5}\). Insertando estas ecuaciones en la ecuación\(\ref{36.8}\), tenemos

Ecuación\(\ref{36.9}\)

\[Y = C_a + bY_d + I_a + G_a + X_{n_{a}} \label{36.9}\]

Tenemos una ecuación con dos incógnitas, Y e Y _d. Por lo tanto, necesitamos expresar Y _d en términos de Y. A partir de Ecuación\(\ref{36.2}\) y Ecuación\(\ref{36.6}\), podemos escribir

\[Y_d = Y - (T_a - tY)\nonumber\]

Y quitar los paréntesis para obtener

Ecuación\(\ref{36.10}\)

\[Y_d = Y - T_a - tY \label{36.10}\]

Luego factorizamos el término Y en el lado derecho para obtener

Ecuación\(\ref{36.11}\)

\[Y_d = (1 - t)Y - T_a \label{36.11}\]

Ahora sustituimos esta expresión por Y _d en Ecuación\(\ref{36.9}\) para obtener

\[Y = C_a + b [(1 - t)Y - T_a] + I_a + G_a + X_{n_{a}}\nonumber\]

Ecuación\(\ref{36.12}\)

\[Y = C_a - bT_a + b(1 - t)Y + I_a + G_a + X_{n_{a}} \label{36.12}\]

Los dos primeros términos (C _a − bT _a) muestran que la porción autónoma del consumo se ve reducida por la propensión marginal a consumir veces impuestos autónomos. Por ejemplo, supongamos que T _a es 10 mil millones de dólares. Si la propensión marginal al consumo es 0.8, entonces el consumo es 8 mil millones de dólares menos de lo que hubiera sido si T _a fuera cero.

Combinando los términos autónomos\(\ref{36.12}\) en Ecuación entre paréntesis, tenemos

Ecuación\(\ref{36.13}\)

\[Y = [C_a - b(T_a) + I_a + G_a + X_{n_{a}}] + b(1 - t)(Y) \label{36.13}\]

Dejando\(\bar{A}\) representar todos los términos entre paréntesis, podemos simplificar la ecuación\(\ref{36.13}\):

Ecuación\(\ref{36.14}\)

\[Y = \bar{A} + b(1 - t)Y \label{36.14}\]

El coeficiente del PIB real (Y) del lado derecho de la Ecuación\(\ref{36.14}\), b (1 − t), da la fracción de un dólar adicional del PIB real que se gastará para el consumo: es la pendiente de la función de gastos agregados para esta representación del economía. La función de gasto agregado para la economía simplificada que presentamos en el capítulo tiene una pendiente que fue simplemente la propensión marginal al consumo; no hubo impuestos en ese modelo, y se asumió que el ingreso personal disponible y el PIB real eran los mismos. Observe que al usar esta función de gastos agregados más realista, la pendiente es menor por un factor de (1 − t).

Resolvemos Ecuación\(\ref{36.14}\) para Y:

\[Y - b(1 - t)(Y) = \bar{A}\nonumber\]

 

\[Y[1 - b(1 - t)] = \bar{A}\nonumber\]

Ecuación\(\ref{36.15}\)

\[Y = \frac{1}{1 - b(1 - t)}(\bar{A}) \label{36.15}\]

En la Ecuación\(\ref{36.15}\), 1/ [1 − b (1 − t)] es el multiplicador. El PIB real de equilibrio se logra a un nivel de ingresos igual al multiplicador multiplicado por la cantidad de gasto autónomo. Observe que debido a que la pendiente de la función de gastos agregados es menor de lo que sería en una economía sin impuestos inducidos, el valor del multiplicador también es menor, todas las demás cosas iguales. En esta representación de la economía, el valor del multiplicador depende de la propensión marginal al consumo y de la tasa impositiva. Cuanto mayor sea la tasa impositiva, menor será el multiplicador; cuanto menor sea la tasa impositiva, mayor será el multiplicador.

Por ejemplo, supongamos que la propensión marginal al consumo es de 0.8. Si la tasa impositiva fuera 0, entonces el multiplicador sería 5. Si la tasa impositiva fuera 0.25, entonces el multiplicador sería 2.5.