Hasta este punto, nuestro énfasis ha estado en las decisiones de salida de las empresas. Un objetivo principal ha sido establecer que las decisiones de producción de las empresas responden al precio de mercado según lo predicho por la ley de la oferta. Sin embargo, cuando las empresas eligen salida, deben elegir insumos. Las opciones de entrada también son importantes para maximizar las ganancias. Consideremos brevemente el problema de elegir simultáneamente un nivel de salida y los insumos necesarios para lograrlo. Para ello, primero será necesario introducir la idea de una función de producción. Una función de producción es una representación matemática de la tecnología de producción mediante la cual los insumos se convierten en una salida. Para mantener las cosas simples, considere una tecnología de producción con dos entradas,\(x_{1}\) y\(x_{2}\) que se pueda convertir en una salida,\(q\).
\(q = f(x_{1}, x_{2})\)
La figura\(\PageIndex{1}\) presenta una representación tridimensional de una función de producción. La salida aumenta a medida que aumenta cualquiera de las entradas. Sin embargo, es común en economía asumir que las funciones de producción son cóncavas. Esta es una forma matemática de decir que las funciones de producción exhiben la ley de disminución de la productividad marginal que se describió anteriormente en el capítulo. La función de producción de ejemplo en la Figura\(\PageIndex{1}\) es cóncava ya que la producción aumenta a niveles más altos de entradas\(x_{1}\) y/o\(x_{2}\) pero a una tasa decreciente. La superficie de producción mostrada en la Figura\(\PageIndex{1}\) siempre se inclina hacia arriba (alejándose del origen) pero se vuelve menos pronunciada a medida que se emplean cantidades crecientes de cualquiera de los insumos.
Figura\(\PageIndex{1}\): Renderización tridimensional de una función de producción. La función de producción se muestra en tonos amarillo/naranja. El plano horizontal verde intersecta la función de producción a un nivel fijo de producción. El origen se encuentra en la parte inferior izquierda del diagrama.
Debido a que a menudo es difícil trabajar con tres dimensiones, una función de producción se renderiza típicamente en dos dimensiones usando un mapa isocuante similar al que se muestra a continuación en la Figura\(\PageIndex{2}\). Para ayudarle a visualizar la conexión entre el renderizado tridimensional en Figura\(\PageIndex{1}\) y el renderizado bidimensional en Figura\(\PageIndex{2}\), considere el plano verde que intersecta la función de producción en la Figura\(\PageIndex{1}\) anterior. Los puntos donde este plano intersecta la función representan diferentes combinaciones de\(x_{1}\) y\(x_{2}\) que podrían usarse para obtener un nivel fijo de salida igual a la elevación del plano. Si tuvieras que mirar esta intersección directamente desde arriba, verías un isocuante similar a una de las curvas grises de la Figura\(\PageIndex{2}\) a continuación. En la Figura\(\PageIndex{2}\), cualquier punto en el mismo isocuante representa una manera factible de producir un nivel fijo de salida a partir de las dos entradas. Se podrían obtener diferentes isocuantes de la Figura\(\PageIndex{1}\) elevando o bajando el plano horizontal para corresponder a diferentes niveles de salida. La palabra, isoquant, es una combinación del prefijo “iso”, que significa igual, y la palabra “cantidad”. Así, se puede pensar en los isocuantes como “curvas de cantidad igual”. Por ejemplo, los Puntos D y E en la Figura\(\PageIndex{2}\) producirían cada uno el mismo nivel de salida. El punto D utiliza más de la\(x_{2}\) entrada y menos de la\(x_{1}\) entrada que el punto E. Sin embargo, cada punto representa un plan de producción que alcanzará el mismo nivel de producción. Usando una orientación geográfica convencional a la Figura\(\PageIndex{2}\), se puede observar que los isocuantes en dirección noreste indican mayores niveles de producción.
Figura\(\PageIndex{2}\): Renderización bidimensional de la función de producción con el plan de producción maximizador de ganancias representado por el punto B. Los superíndices se utilizan para indicar diferentes niveles de producción y no son exponentes.
La figura\(\PageIndex{2}\) también muestra líneas de isocosto. Nuevamente como su nombre lo indica, una línea de isocosto traza planes de producción que cuestan lo mismo. El costo de producción se puede expresar en términos de insumos de la siguiente manera:
\(c = W_{1}x_{2}\)
donde\(W_{1}\) y\(W_{2}\) son los precios de los insumos 1 y 2, respectivamente. Resolver esta expresión algebraicamente para\(x_{2}\) proporciona las líneas de isocosto representadas en la Figura\(\PageIndex{2}\). Estos son de la forma
Dos líneas de isocosto se representan en la Figura\(\PageIndex{2}\). Uno mapea todos los planes que proporcionan un nivel de costo de\(c = c*\). Al noreste de esta hay otra línea de isocosto que mapea todos los planes proporcionando un mayor nivel de costos de\(c = \tilde{c})\). En la Figura\(\PageIndex{2}\), los planes de producción representados por los puntos A y D cuestan ambos\(c = \tilde{c} )\) porque están cada uno en la línea de isocosto a pesar de que se produce más producción a D que a A (D se encuentra en un isoquante que está al noreste de A).
Con estos preliminares, la Figura\(\PageIndex{2}\) puede ser utilizada para visualizar el problema de maximización de ganancias de la firma. Supongamos que a los precios predominantes de la producción y de los insumos, la opción de maximización de ganancias de la empresa es establecer su producción en\(q = q*\). Esto está representado por el isoquante azul en la Figura\(\PageIndex{2}\). La firma debe elegir un plan de producción que produzca\(q*\) al menor costo posible. El plan de producción maximizador de ganancias está representado por el punto B de la Figura\(\PageIndex{2}\). Para ver por qué el punto B es el plan de producción maximizador de ganancias, considere un plan de producción alternativo como el punto A. Este plan también resultaría en una producción de\(q*\), pero el plan en sí no sería maximizador de ganancias porque el costo en el punto A es mayor (\(\tilde{c}\)a diferencia de\(c*\)). En el punto A, la empresa podría obtener un costo menor al usar menos de la\(x_{2}\) entrada y más de la\(x_{1}\) entrada. Se puede saber que el plan de producción en el punto B cumple con el criterio de minimización de costos porque es tangente a la isocuante de la salida maximizadora de ganancias. En el punto B, no es posible encontrar otro plan de producción que siga produciendo el beneficio maximizando el nivel de producción de\(q*\) pero a una línea de isocosto menor (suroeste).
El hecho de que el plan de producción de maximización de ganancias ocurre donde la línea de isocosto es tangente a la isocuante para la producción maximizadora de ganancias proporciona cierta intuición económica importante. Vuelva a mirar la expresión matemática para la línea de isocosto y observe que tiene una pendiente que es igual a\(-\dfrac{W_{1}}{W_{2}}\). Esto es simplemente lo negativo de la relación de los precios de los insumos determinados por el mercado y es la tasa a la que la economía está dispuesta a intercambiar insumos\(x_{2}\) por insumos\(x_{1}\). La pendiente del isocuante muestra la velocidad a la que la firma puede reemplazar\(x_{2}\) con\(x_{1}\) mientras se mantiene constante la salida. Así, se produce un plan de producción maximizador de ganancias donde la tasa de compensación entre los dos insumos dentro de la empresa se equipara a la tasa que la economía negociará entre los dos insumos. La pendiente del isocuante varía desde ser empinada en niveles bajos\(x_{1}\) hasta ser bastante plana en niveles altos de\(x_{1}\). La pendiente del isocuante viene dada por\(-\dfrac{MP_{1}}{MP_{2}}\), donde\(MP_{1}\) y\(MP_{2}\) son los productos marginales de\(x_{1}\) y\(x_{2}\), respectivamente. En un punto como A en Figura\(\PageIndex{2}\), se está\(x_{2}\) usando mucho pero no mucho\(x_{1}\). Debido a la ley de disminución de la productividad marginal, el producto marginal de\(x_{1}\) será grande en relación con el producto marginal de\(x_{2}\), provocando así que la pendiente del isocuante en el punto A sea pronunciada (grande en valor absoluto).
Ya estamos listos para discutir la demanda de insumos. La ecuación de demanda de un insumo dependerá de su propio precio, del precio de otros insumos y del precio del producto que se esté produciendo. Dada la tecnología de producción en las cifras anteriores, la demanda de la firma\(x_{1}\) podría expresarse generalmente como
\(x_{1} = f(W_{1}, W_{2}, P)\).
En el jerga del Capítulo 1, el horario de demanda de la firma para el primer insumo sería la relación entre\(x_{1}\) y\(W_{1}\). Este horario cambiaría si el precio de salida\(P\), o el precio del otro insumo\(W_{2}\), cambiara.
La demostración se\(\PageIndex{1}\) utilizará para ayudarle a entender la demanda de insumos. El panel superior de la demostración presenta un mapa isocuante muy similar al mostrado arriba en la Figura\(\PageIndex{2}\), el panel inferior muestra la curva de demanda de esta firma para la entrada\(x_{1}\). Al usar esta demostración, tenga en cuenta que el plan de producción de maximización de ganancias siempre ocurre en un punto donde la isocuante es tangente a la línea de isocosto. Esto refleja el hecho de que la firma está eligiendo simultáneamente sus insumos para minimizar el costo de obtener la salida deseada. Da un paso a través de esta demostración haciendo cada una de las siguientes acciones:
Concéntrese primero en el panel superior de la demostración. Incrementar solo el precio de salida de “línea base” a “alto”. Notarás que la cantidad maximizadora de ganancias cambia en dirección noreste a una isocuante superior cuando haces esto. Ahora, disminuir el precio de salida de nuevo a la línea de base y luego a baja. Se ve el cambio isoquante en dirección suroeste a niveles más bajos de producción. Lo que estás viendo en el panel superior es simplemente la ley del suministro. El plan de producción de maximización de ganancias de la empresa implica más producción a un precio de producción más alto que a un precio de producción más bajo.
Establecer el precio de salida y el precio y el precio del insumo 2 a “línea base”. Establecer el precio de entrada 1 en “alto”. Ahora, gradualmente baja el precio del insumo 1 a través de cada nivel de precio hasta llegar a “bajo”. Al hacerlo, preste atención a la relación entre el panel superior y la curva de demanda de entrada en el panel inferior. La curva de demanda de entrada en el panel inferior simplemente refleja los planes de producción de maximización de ganancias desde el panel superior. Así, se ve que la demanda del insumo se deriva del comportamiento maximizador de ganancias de la firma. Obsérvese que esta demanda de insumos satisface la ley de demanda tal como se presenta en el Capítulo 1. A precios de insumos más bajos se demanda más y viceversa.
Devolver todos los valores a su nivel basal. Ahora cambiar el precio de salida de alto a bajo. ¿Qué pasa con el horario de demanda\(x_{1}\)? Deberías verlo cambiar. De igual manera, aumentar y disminuir el precio del insumo 2. De igual manera verá un turno en el horario de demanda para\(x_{1}\). La conclusión aquí es que los cambios en el precio de salida o el precio de otros insumos desplazarán la demanda de un insumo. Un incremento en el precio de salida siempre incrementará la demanda de un insumo, todo lo demás igual. En este ejemplo particular, un incremento (decremento) en el precio del insumo 2, desplaza la demanda del insumo 1 hacia adentro (hacia afuera).
Finalmente, devolver todos los valores de la demostración a sus niveles basales. Ahora establece el precio del insumo 1 a “bajo” y el precio del insumo 2 a “moderadamente alto”. Comparar el plan de producción resultante con el plan de referencia, denotado por el punto B en el panel superior de la demostración. Observe que el nuevo plan de producción implica un gran incremento en\(x_{1}\) relación con la línea base. El punto a hacer aquí es que el plan de producción óptimo favorecerá insumos de menor precio. Debió haber notado que la pendiente de la línea de isocosto se volvió más plana, lo que desplazó puntos de tangencia hacia la derecha a favor de\(x_{1}\).
Demostración\(\PageIndex{1}\): Derivar el cronograma de demanda inversa para un insumo a partir del comportamiento maximizador de ganancias de una empresa.
Capital e intensidad de trabajo en la agricultura: un ejemplo de caso
La figura\(\PageIndex{3}\) muestra dos métodos de recolección de arroz. La foto de la izquierda es de Bután la foto de la derecha es de Estados Unidos. El método que se utiliza en Bután es intensivo en mano de obra. El método que se utiliza en California es intensivo en capital. ¿Cuál método es el mejor?
Figura\(\PageIndex{3}\): Métodos intensivos en mano de obra y capital para cosechar arroz.
Foto a la izquierda de Steve Evans de Ciudadano del Mundo (Bután) CC BY 2.0, vía Wikimedia Commons. Foto a la derecha de Gary Kramer cortesía del Servicio de Conservación de Recursos Naturales del USDA., vía Wikimedia Commons.
Dados los conceptos anteriores, se puede argumentar que cada método es probablemente mejor dados los precios de los dos insumos (mano de obra y capital) en Bután y Estados Unidos. En Bután la mano de obra es barata en relación con el capital. En Estados Unidos, lo contrario es cierto. Esto se puede representar en el mapa de isocuantes/isocostos en la Figura 6. El plan óptimo de producción en Bután ocurriría en un punto como B, donde la pendiente del isocuante es relativamente plana para igualar la relación pequeña mano de obra a precio de capital. La línea de isocostos en Estados Unidos es mucho más pronunciada. En consecuencia, un plan óptimo de producción para la cosecha de arroz estadounidense ocurriría en un punto donde el isoquante es igualmente empinado, como el punto A de la Figura\(\PageIndex{4}\).
Figura\(\PageIndex{6}\): Planes de producción intensiva en mano de obra y capital.
