1.6: Propiedades de Límite
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Estás familiarizado con la idea de un límite de una función, y que algunos límites se computan usando métodos numéricos y gráficos. Los límites también se pueden evaluar usando las propiedades de los límites. ¿Cómo encontrarías
sin usar una gráfica o usar una tabla de valores?
Propiedades de Límites
Comencemos con algunas observaciones sobre los límites de algunas funciones simples. Considere los siguientes problemas de límite:
Observamos que cada una de estas funciones está definida para todos los números reales. Si aplicamos nuestra intuición para encontrar los límites concluimos correctamente que:
Los resultados anteriores se pueden encapsular en las siguientes propiedades límite:
Propiedades de Límite Básico:
Muchas funciones pueden expresarse como las sumas, diferencias, productos, cocientes, poderes y raíces de otras funciones más simples. Las siguientes propiedades también son útiles para evaluar límites:
Más propiedades de límite básico:
Conocer estas propiedades, permite evaluar los límites de una amplia gama de funciones.
Toma el problema:
Con base en las propiedades anteriores, el límite se puede evaluar en los siguientes pasos:
Por lo tanto:
Obsérvese que la aplicación de las propiedades límite básicas da como resultado, en este caso, un valor límite que es lo mismo que la sustitución directa de x=2 en la función.
Ahora, evalúe
Con base en las propiedades de los límites, el límite se puede evaluar en los siguientes pasos:
Por lo tanto:
Nuevamente, tenga en cuenta que la aplicación de las propiedades límite básicas da como resultado, en este caso, un valor límite que es lo mismo que la sustitución directa de x=2 en la función.
Ejemplos
Ejemplo 1
Anteriormente, se le pidió que encontrara
sin usar una gráfica o una tabla de valores. Este es un caso donde la sustitución directa para evaluar el límite da la forma indeterminada 0/0. Pero, reduciendo la fracción y luego aplicando las propiedades básicas del límite anterior, podemos evaluar el límite:
Ejemplo 2
Evaluar
donde f (x) es la función racional
Ejemplo 3
Encuentre el siguiente límite si existe:
Apliquemos la regla básica del cociente para evaluar este límite.
Por lo tanto:
Nuevamente, el resultado límite es el mismo que usar la sustitución directa de x=−4 en la función.
Revisar
Reseña (Respuestas)
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El vocabulario
| Término | Definición |
|---|---|
| indeterminado | En matemáticas, una expresión es indeterminada si no se define con precisión. Hay siete formas indeterminadas: 0/0 ,0∞, ∞, ∞, ∞ −∞, ∞ 0, ∞ 0, ∞ 0 y 1 ∞. |
| límite | Un límite es el valor que la salida de una función se acerca a medida que la entrada de la función se acerca a un valor dado. |
Recursos adicionales
Práctica: Propiedades de los límites