9.6: Sumas de Reimann

Última actualización
Guardar como PDF

Page ID: 105927

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Aproximar el área bajo una curva de función sumando un número finito de rectángulos en una suma de Riemann puede producir resultados muy precisos. Intuitivamente, sabemos, sin embargo, que cuantos más sub-intervalos tengamos, mejor será el resultado. Tomando el límite de la suma de Riemann a medida que los subintervalos se hacen más pequeños (el número de rectángulos se hace más grande) debería dar asintóticamente el área verdadera. Para algunas curvas de función, el límite de Riemann se puede evaluar algebraicamente; para curvas complejas, el área solo se puede determinar mediante cálculos numéricos de fuerza bruta de las sumas de Riemann.

Límites y sumas de Reimann

Anteriormente, el área bajo una curva se definió en términos de un límite de sumas:

\[ A = \lim_{n \to +∞} S(P) = \lim_{n \to +∞} T(P) \nonumber\]

donde

\[ S(P) = \sum_1^n m_i(x_i − x_i − 1) = m_1 (x_1−x_0) + m_2(x_2−x_1)+…+ mn(xn−xn−1), \nonumber\]

\[ T(P) = \sum_1^n M_i (x_i−x_i−1)= M_1(x_1−x-0)+M_2(x_2−x_1)+…+M_n(x_n−x_n−1), \nonumber\]

S (P) y T (P) son ejemplos de sumas de Riemann.

En general, las sumas de Riemann son de forma\( \sum_{i=1}^n f ( x_i^∗) △x \nonumber\) donde cada una\( x_i^∗ \nonumber\) es el valor que usamos para encontrar la longitud del rectángulo en el i-ésimo subintervalo. Por ejemplo, el valor máximo de función en cada subintervalo para encontrar las sumas superiores y la función mínima en cada subintervalo para encontrar las sumas inferiores. Pero como la función es continua, podríamos haber usado cualquier punto dentro de los sub-intervalos para encontrar el límite.

Para hacer uso del concepto de límite, hacemos que el ancho de cada rectángulo se acerque a 0, lo que equivale a hacer que el número de rectángulos, n, se acerque al infinito. Al hacerlo, encontramos el área exacta bajo la curva,

\[ limn→∞An=limn→∞∑i=1nf(xi)△x. \nonumber\]

Ahora definimos la situación más general de la siguiente manera:

Si f es continuo en [a, b], y:

El intervalo [a, b] se divide en n subintervalos de igual anchura D x, con D x = b−an, y
Los puntos finales de estos subintervalos son x0=a, x1, x2,... , xn=b, y
x* 1, x* 2,..., x* n son cualquier punto de muestra en estos subintervalos, entonces la integral definida de f de x=a a x=b es

abf (x) dx=limn→∞ i=1nf (x∗i) ¬ x.

siempre que exista el límite.

Si existe el límite anterior, se dice que f es integrable en el intervalo cerrado [a, b] y existe la integral definida.

Tenga en cuenta que el punto de muestra x* i puede ser cualquier punto de muestra en el i-ésimo subintervalo, siendo las opciones comunes correctas, o punto medio, o izquierda.

Por ejemplo, evalúe la suma de Riemann para f (x) =x3 de x=0 a x=3 usando n=6 subintervalos, y tomar los puntos de muestra para ser los puntos medios de los subintervalos.

Si particionamos el intervalo [0, 3] en n=6 subintervalos iguales, entonces cada subintervalo tendrá una longitud 3−06=12. Así que tenemos D x = 12 y