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Geometría
6: Círculos
6.17: Ángulos fuera de un círculo

6.17: Ángulos fuera de un círculo

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Page ID: 107322

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Ángulos formados por tangentes y/o secantes.

Un ángulo está fuera de un círculo si su vértice está fuera del círculo y sus lados son tangentes o secantes. Las posibilidades son: un ángulo formado por dos tangentes, un ángulo formado por una tangente y una secante, y un ángulo formado por dos secantes.

Teorema del ángulo exterior: La medida de un ángulo formado por dos secantes, dos tangentes, o una secante y una tangente desde un punto fuera del círculo es la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados.

f-d_dc68b26d59aed9d2b06b2108488cb8a0470a72367e8d9437bae3503d+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{1}\)

\(m\angle D=\dfrac{m\widehat{EF}−m\widehat{GH}}{2}\),\(m\angle L=\dfrac{m\widehat{MPN}−m\widehat{MN}}{2}\),\(m\angle Q=\dfrac{m\widehat{RS}−m\widehat{RT}}{2}\)

¿Y si te dieran un círculo con dos secantes, dos tangentes, o una de cada una que comparten un punto común fuera del círculo? ¿Cómo podrías usar la medida de los arcos formados por esas partes del círculo para encontrar la medida del ángulo que hacen fuera del círculo?

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Encuentra la medida de\(x\).

f-d_ef74ef004d0e57715b1ea59776dd836f3e4a72a35270a83031ada232+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{2}\)

Solución

Usa el Teorema del Ángulo Exterior.

\(x=\dfrac{125^{\circ} −27^{\circ}}{2}=\dfrac{98^{\circ}}{2}=49^{\circ}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Encuentra la medida de\(x\).

f-d_d910ae948fa7ac80862d5c4a7bae35204e456457871f68052b5aa41b+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{3}\)

Solución

Usa el Teorema del Ángulo Exterior.

\(40^{\circ}\)no es el arco interceptado. El arco interceptado es\(120^{\circ}\),\((360^{\circ} −200^{\circ} −40^{\circ})\). \(x=\dfrac{200^{\circ} −120^{\circ} }{2}=\dfrac{80^{\circ} }{2}=40^{\circ}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Encuentra el valor de\(x\).

f-d_1863c92a65103991377f12167c3e08119787ce710c9ba77dbe368d0a+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{4}\)

Solución

\(x=\dfrac{72^{\circ} −22^{\circ} }{2}=\dfrac{50^{\circ} }{2}=25^{\circ}\).

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Encuentra el valor de\(x\).

f-d_b8fd7cf4cc1483e43b1c055717b8d1cbe01fa58aab50c3f3eacee2e0+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{5}\)

Solución

\(x=\dfrac{120^{\circ} −32^{\circ}}{2}=\dfrac{88^{\circ} }{2}=44^{\circ}\).

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Encuentra el valor de\(x\).

f-d_c0ed93b22a2b3da1049289b3e010f3e72a124b8903231d529c84f5e0+image_tiny+imagen_tiny.png — Figura\(\PageIndex{6}\)

Solución

Primero tenga en cuenta que el arco faltante por ángulo\(x\) mide\(32^{\circ}\) porque el círculo completo debe hacer\(360^{\circ}\). Entonces,\(x=\dfrac{141^{\circ} −32^{\circ}}{2}=\dfrac{109^{\circ}}{2}=54.5^{\circ}\).

Revisar

Encuentra el valor de la (s) variable (s) faltante (s)

Figura\(\PageIndex{7}\)
Figura\(\PageIndex{8}\)
Figura\(\PageIndex{9}\)
Figura\(\PageIndex{10}\)
Figura\(\PageIndex{11}\)
Figura\(\PageIndex{12}\)
Figura\(\PageIndex{13}\)

Resolver para\(x\).

Figura\(\PageIndex{14}\)
Figura\(\PageIndex{15}\)
Rellenar los espacios en blanco de la prueba para el Teorema del Ángulo Exterior

F-d_4f27a4fc6bc357f53bd119cd62bc2346de5c968f044ab199d05d2c88+image_tiny+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{16}\)

Dado: Rayos secantes\(\overrightarrow{AB}\) y\(\overrightarrow{AC}\)

Demostrar:\(m\angle a=12(m\widehat{BC}−m\widehat{DE})\)

*Declaración*	*Razón*
1. Secantes que se cruzan\(\overrightarrow{AB}\) y\(\overrightarrow{AC}\).	1.
2. Empate\(\overline{BE}\). Figura\(\PageIndex{17}\)	2. Construcción
3. \(m\angle BEC=\dfrac{1}{2}m\widehat{BC}\) \(m\angle DBE=\dfrac{1}{2}m\widehat{DE}\)	3.
4. \(m\angle a+m\angle DBE=m\angle BEC\)	4.
5.	5. Resta PoE
6.	6. Sustitución
7. \(m\angle a=\dfrac{1}{2}(m\widehat{BC}−m\widehat{DE})\)	7.

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 9.8.

El vocabulario

Término	Definición
ángulo central	Un ángulo formado por dos radios y cuyo vértice se encuentra en el centro del círculo.
acorde	Un segmento de línea cuyos extremos están en un círculo.
círculo	El conjunto de todos los puntos que están a la misma distancia de un punto específico, llamado el *centro*.
diámetro	Un acorde que pasa por el centro del círculo. La longitud de un diámetro es dos veces la longitud de un radio.
ángulo inscrito	Un ángulo con su vértice en el círculo y cuyos lados son acordes.
arco interceptado	El arco que se encuentra dentro de un ángulo inscrito y cuyos extremos están en el ángulo.
punto de tangencia	El punto donde la línea tangente toca el círculo.
radio	La distancia desde el centro hasta el borde exterior de un círculo.
Secante	La secante de un ángulo en un triángulo rectángulo es el valor que se encuentra dividiendo la longitud de la hipotenusa por la longitud del lado adyacente al ángulo dado. La relación secante es la recíproca de la relación coseno.
Tangente	La tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo es un valor que se encuentra dividiendo la longitud del lado opuesto al ángulo dado por la longitud del lado adyacente al ángulo dado.
Teorema de ángulos exteriores	El teorema de los ángulos exteriores establece que la medida de un ángulo formado por dos secantes, dos tangentes, o una secante y una tangente desde un punto fuera del círculo es la mitad de la diferencia de las medidas de los arcos interceptados.

Recursos adicionales

Elemento Interactivo

Video: Principios de ángulos fuera de un círculo - Básico

Actividades: Ángulos fuera de un círculo Preguntas de discusión

Ayudas de estudio: Guía de estudio de arcos y ángulos

Práctica: Ángulos fuera de un círculo