6.19: Teorema de las Secantes Intersecantes

Demostrar y utilizar teoremas que involucran líneas que cruzan un círculo en dos puntos.

Segmentos de Secantes

Cuando dos secantes se cruzan fuera de un círculo, el círculo divide las secantes en segmentos que son proporcionales entre sí.

Teorema de dos segmentos de secantes: Si se dibujan dos secantes a partir de un punto común fuera de un círculo y los segmentos se etiquetan como se indica a continuación, entonces\(a(a+b)=c(c+d)\).

Figura\(\PageIndex{1}\)

¿Y si te dieran un círculo con dos secantes que se cruzan fuera del círculo? ¿Cómo podría usar la longitud de algunos de los segmentos formados por su intersección para determinar las longitudes de los segmentos desconocidos?

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Encuentra\(x\). Simplifica cualquier tipo de radicales.

Figura\(\PageIndex{2}\)

Solución

Usa el Teorema de Dos Segmentos Secantes.

\(\begin{aligned} 8(8+x)&=6(6+18) \\ 64+8x&=144 \\ 8x&=80 \\ x&=10\end{aligned}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Encuentra\(x\). Simplifica cualquier tipo de radicales.

Figura\(\PageIndex{3}\)

Solución

Usa el Teorema de Dos Segmentos Secantes.

\(\begin{aligned} 15(15+27)&=x\cdot45 \\ 630&=45x \\ x&=14 \end{aligned}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Encuentra el valor de\(x\).

Figura\(\PageIndex{4}\)

Solución

Usa el Teorema de Dos Segmentos Secantes.

\(\begin{aligned}18\cdot(18+x)&=16\cdot(16+24) \\ 324+18x&=256+384 \\ 18x&=316 \\ x&=17\dfrac{5}{9}\end{aligned}\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Encuentra el valor de\(x\).

Figura\(\PageIndex{5}\)

Solución

Usa el Teorema de Dos Segmentos Secantes.

\(\begin{aligned}x\cdot(x+x)&=9\cdot 32 \\ 2x^2&=288 \\ x^2&=144 \\ x&=12,\: x\neq −12 (\text{length is not negative})\end{aligned}\)

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Verdadero o Falso: Dos secantes siempre se cruzarán fuera de un círculo.

Solución

Falso. Si las dos secantes son paralelas, nunca se cruzarán. También es posible que dos secantes se crucen dentro de un círculo.

Revisar

Rellena los espacios en blanco para cada problema a continuación. Entonces, resuelva para el segmento faltante.

1. 

   Figura\(\PageIndex{6}\)

\(3(\text{______}+\text{______})=2(2+7)\)

2. 

   Figura\(\PageIndex{7}\)

\(x\cdot\text{______}=8(\text{______}+\text{______})\)

Encuentra x en cada diagrama a continuación. Simplifica cualquier tipo de radicales.

3. 

   Figura\(\PageIndex{8}\)

4. 

   Figura\(\PageIndex{9}\)

5. 

   Figura\(\PageIndex{10}\)

6. Rellene los espacios en blanco de la prueba del Teorema de los Segmentos de Dos Secantes.

   

   Figura\(\PageIndex{11}\)

Dado: Secantes\(\overline{PR}\) y\(\overline{RT}\)

Demostrar:\(a(a+b)=c(c+d)\)

Declaración	Razón
1. Secantes\(\overline{PR}\) y\(\overline{RT}\) con segmentos\(a\),\(b\),\(c\), y\(d\).	1. Dado
2. \(\angle R\cong \angle R\)	2. PoC reflexivo
3. \(\angle QPS\cong \angle STQ\)	3. Teorema de Ángulos Congruentes con Inscritos
4. \(\Delta RPS\sim \Delta RTQ\)	4. Postulado de similitud AA
5. \(ac+d=ca+b\)	5. Las partes correspondientes de triángulos similares son proporcionales
6. \(a(a+b)=c(c+d)\)	6. Multiplicación cruzada

Resolver para la variable desconocida.

7. 

   Figura\(\PageIndex{12}\)

8. 

   Figura\(\PageIndex{13}\)

9. 

   Figura\(\PageIndex{14}\)

10. 

    Figura\(\PageIndex{15}\)

11. 

    Figura\(\PageIndex{16}\)

12. 

    Figura\(\PageIndex{17}\)

13. 

    Figura\(\PageIndex{18}\)

14. 

    Figura\(\PageIndex{19}\)

15. 

    Figura\(\PageIndex{12}\)

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 9.10.

El vocabulario

Término	Definición
ángulo central	Un ángulo formado por dos radios y cuyo vértice se encuentra en el centro del círculo.
acorde	Un segmento de línea cuyos extremos están en un círculo.
círculo	El conjunto de todos los puntos que están a la misma distancia de un punto específico, llamado el centro.
diámetro	Un acorde que pasa por el centro del círculo. La longitud de un diámetro es dos veces la longitud de un radio.
Ángulo con Inscritos	Un ángulo inscrito es un ángulo con su vértice en el círculo. La medida de un ángulo inscrito es la mitad de la medida de su arco interceptado.
arco interceptado	El arco que se encuentra dentro de un ángulo inscrito y cuyos extremos están en el ángulo.
punto de tangencia	El punto donde la línea tangente toca el círculo.
radio	La distancia desde el centro hasta el borde exterior de un círculo.
Postulado de similitud AA	Si dos ángulos en un triángulo son congruentes con dos ángulos en otro triángulo, entonces los dos triángulos son similares.
Congruente	Las figuras congruentes son idénticas en tamaño, forma y medida.
Propiedad reflexiva de congruencia	\(\overline{AB}\cong \overline{AB}\)o\(\angle B\cong \angle B\)
Secante	La secante de un ángulo en un triángulo rectángulo es el valor que se encuentra dividiendo la longitud de la hipotenusa por la longitud del lado adyacente al ángulo dado. La relación secante es la recíproca de la relación coseno.
línea secante	Una línea secante es una línea que une dos puntos en una curva.
Línea tangente	Una línea tangente es una línea que “solo toca” una curva en un solo punto y ningún otro.
Teorema de Segmentos de Dos Secantes	El teorema de dos segmentos secantes establece que si se tiene un punto fuera de un círculo y se dibujan dos líneas secantes a partir de él, existe una relación entre los segmentos de línea formados.

Recursos adicionales

Elemento Interactivo

Video: Principios de Segmentos de Secantes - Básicos

Actividades: Segmentos de Secantes Preguntas de Discusión

Ayudas de estudio: Círculos: segmentos y longitudes Guía de estudio

Práctica: Teorema de las Secantes Intersecantes