4.2: Movimiento Circular y Análisis Dimensional
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La conversión entre unidades es esencial para las matemáticas y las ciencias en general. Los radianes son muy potentes porque proporcionan un vínculo entre la velocidad lineal y la angular. Un radián es un ángulo que siempre corresponde a una longitud de arco de un radio. Esto te permitirá convertir la velocidad a la que pedaleas una bicicleta a la velocidad real que puedas recorrer.
1 revolución\(=2 \pi r\)
El engranaje cerca de los pedales en una bicicleta tiene un radio de 5 pulgadas y gira una vez cada segundo. Está conectado por una cadena a un segundo engranaje que tiene un radio de 3 pulgadas. Si la segunda rueda está conectada a una llanta con un radio de 17 pulgadas, ¿qué tan rápido se mueve la bicicleta en millas por hora?
Movimiento Circular y Análisis Dimensional
El análisis dimensional solo significa convertir de una unidad a otra. En ocasiones se debe hacer en varios pasos en cuyo caso lo mejor es escribir la cantidad original a la izquierda y luego multiplicarla por todas las diferentes conversiones requeridas. Para convertir 3 millas a pulgadas escribe:
\(\frac{3 \text { mile }}{1} \cdot \frac{5280 \text { feet}}{1 \text { mile }} \cdot \frac{12 \text { inches }}{1 \text { foot }}=\frac{3 \cdot 5280 \cdot 12 \text { inches}}{1}=190080\)pulgadas
Observe cómo se pueden usar millas y pies/pie para convertir millas a la unidad deseada de pulgadas. Las unidades, al igual que los números, pueden resolverse a una cuando existen tanto en el numerador como en el denominador\(\left(\frac{3}{3}=1\right.\) y\(\left.\frac{f e e t}{f e e t}=1\right) .\) también observe que cada factor de conversión es la misma distancia en el numerador y denominador, recién escrito con diferentes unidades.
El movimiento circular se refiere al hecho de que en una rueda giratoria los puntos cercanos al centro de la rueda realmente viajan muy lentamente y los puntos cerca del borde de la rueda en realidad viajan mucho más rápido. La velocidad angular es la relación de revoluciones que ocurren por unidad de tiempo y la velocidad lineal es la relación de distancia por unidad de tiempo. Si bien los dos puntos tienen la misma velocidad angular, su velocidad lineal es muy diferente.
Ejemplos
Anteriormente, se le dio la siguiente pregunta: El engranaje cerca de los pedales en la bicicleta tiene un radio de 5 pulgadas y gira una vez cada segundo. Está conectado por una cadena a un segundo engranaje que tiene un radio de 3 pulgadas. Si la segunda rueda está conectada a una llanta con un radio de 17 pulgadas, ¿qué tan rápido se mueve la bicicleta en millas por hora?
Una bicicleta tiene pedales que hacen girar una marcha a una velocidad circular. El engranaje traduce esta velocidad a una velocidad lineal en la cadena. Luego, la cadena mueve una segunda marcha, que es una conversión a velocidad angular para el neumático trasero. Este neumático luego convierte la velocidad angular en velocidad lineal, que es la rapidez con la que se está moviendo. En lugar de hacer todos estos cálculos en un solo paso, es más fácil hacer cada conversión en trozos pequeños.
Primero convierte el engranaje original en la velocidad lineal de la cadena.
\(\frac{1 \text { revolution}}{1 \text { second }} \cdot \frac{2 \pi \cdot 5 \text { inches }}{1 \text { revolution }}=10 \pi \frac{i n}{\sec }\)
Luego convierte la velocidad de la cadena en velocidad angular de la marcha trasera que es la misma que la velocidad angular de la llanta trasera.
\(\frac{10 \pi \text { inches}}{1 \text { second }} \cdot \frac{1 \text { revolution}}{2 \pi \cdot 3 \text { inches}}=\frac{10}{6} \frac{\text {rev}}{\text {sec}}\)
Por último, convierta la velocidad angular de la llanta trasera a la velocidad lineal de la llanta en millas por hora.
\(\frac{10 \mathrm{rev}}{6 \mathrm{sec}} \cdot \frac{2 \pi \cdot 17 \mathrm{in}}{1 \mathrm{rev}} \cdot \frac{1 \mathrm{ft}}{12 \mathrm{in}} \cdot \frac{1 \mathrm{mile}}{5280 \mathrm{ft}} \cdot \frac{60 \mathrm{sec}}{1 \mathrm{~min}} \cdot \frac{60 \mathrm{~min}}{1 \mathrm{hour}}\)
\(=\frac{10 \cdot 2 \cdot \pi \cdot 17 \cdot 60 \cdot 60}{6 \cdot 12 \cdot 5280} \frac{\mathrm{miles}}{\text {hour}}\)
\(\approx 10.1 \frac{\text {miles}}{\text {hour}}\)
Supongamos que Summit High School tiene una pista circular con dos carriles para correr. El carril interior está a 30 metros del centro del círculo y el carril hacia el exterior está a 32 metros del centro del círculo. Si dos personas corren 4 vueltas juntas, ¿cuánto más va la persona de afuera?
Calcula la distancia que corrió cada persona por separado usando 1 vuelta para ser 1 circunferencia y encontrar la diferencia.
\(\frac{4 \text { laps }}{1} \cdot \frac{2 \pi \cdot 30 \text { meters }}{1 \text { lap }} \approx 754\)metros
\(\frac{4 \text { laps }}{1} \cdot \frac{2 \pi \cdot 32 \text { meters }}{1 \text { lap }} \approx 804\) metros
El que corría por el exterior de la pista corrió unos 50 metros más.
Andrés corre en una bicicleta con llantas que tienen un radio de 17 pulgadas. Cuando viaja a una velocidad de 30 pies por segundo, ¿qué tan rápido están girando las ruedas en revoluciones por minuto?
Busque formas de convertir pies en revoluciones y segundos a minutos.
\(\frac{30 \text { feet}}{1 \text { second }} \cdot \frac{60 \text { seconds }}{1 \text { minute }} \cdot \frac{12 \text { inches }}{1 \text { foot }} \cdot \frac{1 \text { revolution }}{2 \pi \cdot 17 \text { inches }}=\frac{30 \cdot 60 \cdot 12 \text { revolutions}}{2 \pi \cdot 17 \text { minute }} \approx 202.2 \frac{\mathrm{rev}}{\min }\)
Cuando un automóvil viaja a 60 millas por hora, ¿qué tan rápido están girando las llantas si tienen 30 pulgadas de diámetro?
\(\frac{60 \text { miles }}{1 \text { hour }} \cdot \frac{5280 \text { feet }}{1 \text { mile }} \cdot \frac{12 \text { inches }}{1 \text { foot }} \cdot \frac{1 \text { revolution }}{2 \pi \cdot 15 \text { inches }} \cdot \frac{1 \text { hour }}{60 \text { minute }}\)
\(=\frac{60 \cdot 5280 \cdot 12 \text { revolutions }}{2 \pi \cdot 15 \cdot 60 \text { minute}} \approx 672.3 \frac{\text { rev }}{\min }\)
Mike monta una bicicleta con llantas que tienen un radio de 15 pulgadas. ¿Cuántas revoluciones debe hacer Mike para recorrer una milla?
\(\frac{1 \mathrm{rev}}{2 \pi \cdot 15 \mathrm{in}} \cdot \frac{12 \mathrm{in}}{1 \mathrm{ft}} \cdot \frac{5280 \mathrm{ft}}{1 \mathrm{mi}} \approx 672.3 \frac{\mathrm{rev}}{\text {mile}}\)
Revisar
Para\(1-10,\) usar los valores dados en cada fila para encontrar el valor desconocido\((x)\) en las unidades especificadas en la fila.
| Número de problema | Radio | Velocidad Angular | Velocidad Lineal |
| 1. | 5 pulgadas | 60 rpm | \(x \frac{i n}{\min }\) |
| 2. | \(x\)pies | 20 rpm | \(2 \frac{i n}{s e c}\) |
| 3. | 15 cm | \(x\)rpm | \(12 \frac{c m}{s e c}\) |
| 4. | \(x\)pies | 40 rpm | \(8 \frac{f t}{\sec }\) |
| 5. | 12 pulgadas | 32 rpm | \(x \frac{i n}{\sec }\) |
| 6. | 8 cm | \(x\)rpm | \(12 \frac{c m}{\min }\) |
| 7. | 18 pies | 4 rpm | \(x \frac{m i}{h r}\) |
| 8. | \(x\)pies | 800 rpm | \(60 \frac{\mathrm{mi}}{\mathrm{hr}}\) |
| 9. | 15 en | \(x\)rpm | \(60 \frac{m i}{h r}\) |
| 10 | 2 en | \(x\)rpm | \(13 \frac{i n}{\sec }\) |
11. Un motor hace girar una rueda con radio de 5 pulgadas a 800 rpm. ¿Qué tan rápido gira esta rueda en millas por hora?
12. Una bicicleta tiene llantas con un radio de 10 pulgadas. ¿Cuántas revoluciones debe hacer la llanta para recorrer una milla?
13. Un motor hace girar una rueda con radio de 6 pulgadas a 600 rpm. ¿Qué tan rápido esta rueda gira en pulgadas por segundo?
14. Bob tiene un auto con llantas que tienen un radio de 15 pulgadas. Cuando viaja a una velocidad de 30 millas por hora, ¿qué tan rápido están girando las ruedas en revoluciones por minuto?
15. Una vía circular tiene dos carriles. El carril interior está a 25 pies del centro del círculo y el carril hacia el exterior está a 30 pies del centro del círculo. Si trotas 6 vueltas, ¿cuánto más vas a trotar en el carril exterior en lugar del carril interior?