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LibreTexts Español

7.3.1.1: Pruebas inductivas

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    Pruebas inductivas

    Demostrar una teoría puede ser un proceso desalentador. No importa cuántas veces intentes algo con el mismo resultado, ¿cómo puedes estar seguro de que siempre tendrá el mismo resultado, pase lo que pase?

    Por ejemplo, si fueras a ver a alguien llenar un globo de agua con agua helada y sostenerlo por la ventana, probablemente te avergonzarías antes de los gritos de abajo, o mirarías ansiosamente, dependiendo de la situación. En cualquier caso, tu respuesta estaría basada en el hecho de que estarías seguro de que un globo de agua saldría sobre la cabeza de alguien si se dejara caer por la ventana sobre ellos. Tu certeza estaría basada en tu experiencia pasada con globos de agua y aceras, y muy probablemente estarías en lo cierto, pero hasta que el globo realmente llegue al objetivo, no hay forma de estar absolutamente seguro de que se romperá.

    En matemáticas, situaciones como esta ocurren mucho. Con base en la experiencia repetida, puede desarrollar una regla o atajo para ahorrar tiempo o esfuerzo al calcular. Sin embargo, es posible que le preocupe, con razón, usar tales atajos en un examen importante. Después de todo, ¿cómo puedes estar seguro de que el atajo funciona en cada situación?


    Pruebas por Inducción

    En esta lección aprenderás sobre la inducción matemática, un método de prueba que te permitirá probar que una afirmación en particular es cierta para todos los enteros positivos.

    Primero hagamos una suposición a una fórmula que nos dará la suma de todos los enteros positivos de 1 a n para cualquier entero n. Si observamos de cerca la Fórmula de Gauss que usamos en la última lección, donde el joven pudo sumar rápidamente todos los números entre 1 y 100, podemos ver una forma general: había 100 números, de ahí 50 pares. Entonces, si hubiera n números, habría (n /2) pares. El primer y último número fueron 1 y 100. Se sumaron para darnos 101. Este número fue la suma de cada par en la suma general. Entonces, en general, podríamos sumar 1 y n para obtener la suma de cada par. Por lo tanto, podríamos plantear la hipótesis de que la suma de los primeros n enteros positivos es n ((1 + n) /2). Sin embargo, no hemos probado que esta fórmula funcione para todos los enteros positivos n. La inducción matemática nos permitirá hacer esto.

    La idea general de inducción es la siguiente: Supongamos que una declaración es verdadera para algún valor arbitrario de n, y mostrar que si la declaración es verdadera para n = k, también debe ser verdadera para n = k+1. Este proceso se utiliza porque en realidad no podemos demostrar que es cierto para cada valor. Por ejemplo, podrías demostrar que la ecuación anterior es verdadera para n = 100, y luego n = 101, y luego n = 102, pero entonces ¿qué pasa con 103? ¿104? ¿500? ¿Un millón?

    La inducción matemática nos permite demostrar que una afirmación es verdadera en tres pasos:

    Paso 1) El caso base : probar que la afirmación es verdadera para el primer valor de n. En algunos casos, esto podría ser n = 0. En el caso de la fórmula de suma entera anterior, comenzaríamos con n = 1. A menudo con la inducción es posible que desee expandir el primer paso mostrando que la declaración es verdadera para varios valores de n.

    Paso 2) La hipótesis inductiva : supongamos que la afirmación es verdadera para el k-ésimo valor de n. En el caso de la fórmula de suma entera, indicaríamos lo siguiente: la suma de los primeros k enteros positivos es k ((1 + k) /2).

    Paso 3) El paso inductivo : utilizar la hipótesis inductiva para mostrar que la afirmación es verdadera para el paso k + 1 º. En el caso de la fórmula de suma entera, probaríamos lo siguiente: suponiendo que la suma de los primeros k enteros positivos es k ((1 + k) /2), la suma de los primeros k +1 enteros positivos es (( k + 1) (1 + (k + 1) /2).

    Llevar a cabo este tipo de pruebas requiere que realices cada uno de estos pasos., Para el tercer paso en particular debes confiar en tus habilidades de álgebra.


    Ejemplos

    Ejemplo 1

    Anteriormente, te preguntaron cómo podrías estar seguro de que una teoría siempre da como resultado la respuesta correcta.

    Solución

    Situaciones como esta están hechas a medida para pruebas inductivas. Si se te ocurre un atajo en tus matemáticas, y quieres estar absolutamente seguro de que funciona en cada situación, hazlo pasar por la prueba explicada en esta lección. Si pasa todas las pruebas, puedes estar seguro de que funcionará con cualquier número que le des.

    Ejemplo 2

    Probar: La suma de los primeros n enteros positivos es\(\ \frac{n(1+n)}{2}\).

    Solución

    Utilice los tres pasos de la inducción matemática:

    Paso 1) El caso base:

    Si n = 1, toda la secuencia es solo 1 y por lo tanto la suma es 1. Además,\(\ \frac{n(1+n)}{2}=\frac{1(1+1)}{2}=\frac{2}{2}=1\)

    Esto establece el caso base.

    Paso 2) Supongamos que la suma de los primeros enteros\(\ k\) positivos es\(\ \frac{k(1+k)}{2}\).

    En otras palabras, supongamos que\(\ 1+2+3+\cdots+k=\frac{k(1+k)}{2}\).

    Paso 3) Debemos demostrar que la suma de los primeros enteros\(\ k+1\) positivos es\(\ \frac{(k+1)(1+(k+1))}{2}\).

    En otras palabras, debemos demostrar que\(\ 1+2+3+\cdots+k+(k+1)=\frac{(k+1)(1+(k+1))}{2}\)

    Hay dos ideas clave a tener en cuenta al llevar a cabo este paso: (1) recuerda usar la suposición y (2) recordar cómo funcionan las sumas.

    ¿Cómo se relaciona la suma de los primeros k + 1 enteros con la suma de los primeros k enteros? Para obtener la suma de los primeros k + 1 enteros debemos sumar todos los enteros de 1 a k y luego sumar k + 1, ya que la suma de los primeros k + 1 enteros es\(\ 1+2+3+⋯+k+(k+1)\).

    Ahora debemos usar nuestra suposición. Recuerda que estamos asumiendo que

    \(\ 1+2+3+\cdots+k=\frac{k(1+k)}{2}\)

    Sustituir\(\ \frac{k(1+k)}{2}\)\(\ 1+2+3+\cdots+k\) en para en nuestra expresión anterior por la suma de los primeros k + 1 enteros.

    Ahora tenemos la suma de los primeros k + 1 enteros es\(\ \frac{k(1+k)}{2}+(k+1)\).

    Recuerda que estamos tratando de demostrar que la suma de los primeros k + 1 enteros es\(\ \frac{(k+1)(1+(k+1))}{2}\). Con alguna manipulación algebraica, podemos demostrarlo\(\ \frac{k(1+k)}{2}+(k+1)=\frac{(k+1)(1+(k+1))}{2}\).

    Ver abajo:

    \(\ \frac{k(1+k)}{2}+(k+1)\)
    \(\ =\frac{k(k+1)}{2}+\frac{2(k+1)}{2}\) El denominador común es 2 Sumar las fracciones
    \(\ =\frac{k(k+1)+2(k+1)}{2}\) Simplificar el numerador
    \(\ =\frac{k^{2}+k+2 k+2}{2}\)  
    \(\ =\frac{k^{2}+3 k+2}{2}\) Facturar el numerador
    \(\ =\frac{(k+1)(k+2)}{2}\) El término (k+2) es el mismo que ((k+1) +1)
    \(\ =\frac{(k+1)((k+1)+1)}{2}\)

    Hemos demostrado que nuestra fórmula para la suma de los primeros n enteros es verdadera para n = 1. También hemos demostrado que siempre que es cierto para n = k también es cierto para n = k+1. Como sabemos que es cierto para n = 1, por lo tanto debe ser cierto para n = 2. De igual manera, dado que es cierto para n = 2, por lo tanto debe ser cierto para n = 3, y por lo tanto debe ser cierto para n = 4,... Deberías ver que hemos probado que la suma de los primeros n enteros positivos es\(\ \frac{n(1+n)}{2}\) para todos los valores enteros de n. De manera similar podemos probar una fórmula para la suma de los primeros n términos en una serie aritmética.

    Ejemplo 3

    Demostrar que la suma de los primeros n términos de una serie aritmética es\(\ S_{n}=\frac{n\left(a_{1}+a_{n}\right)}{2}\) donde un 1 es el primer término de la serie y un n es el último término.

    Solución

    Recordemos que en una secuencia o serie aritmética, existe una diferencia común, d, entre cada término, y que el término n º es un n =a 1 +d (n−1) Necesitamos tener en cuenta estas ideas para completar la prueba.

    Paso 1) Caso base: si n=1, entonces S1 =a 1

    Usando la fórmula hipotética, tenemos

    \(\ S_{1}=\frac{1\left(a_{1}+a_{1}\right)}{2}=\frac{2 a_{1}}{2}=a_{1}\)

    Paso 2) Supongamos que\(\ S_{k}=\frac{k\left(a_{1}+a_{k}\right)}{2}\)

    Paso 3) Demostrar que si nuestra fórmula para\(\ S_{k}\) es verdadera entonces\(\ S_{k+1}=\frac{(k+1)\left(a_{1}+a_{k+1}\right)}{2}\).

    Podemos pensar en la suma de los primeros k + 1 términos como la suma de los primeros k términos, más el k + 1 término.

    Así que tenemos:

    \(\ S_{k+1}=S_{k}+a_{k+1}\) Agregar el término\(\ k+1\)
    \(\ =\frac{k\left(a_{1}+a_{k}\right)}{2}+a_{k+1}\) Usa la fórmula para\(\ S_{k}\) desde el paso 2
    \(\ =\frac{k\left(a_{1}+a_{k}\right)}{2}+\frac{2 a_{k+1}}{2}\) El denominador común es 2
    \(\ =\frac{k\left(a_{1}+a_{k}\right)+2 a_{k+1}}{2}\) Sumar las fracciones
    \(\ =\frac{k\left(a_{1}+\left(a_{1}+(k-1) d\right)\right)+2\left(a_{1}+k d\right)}{2}\) Sustitución de uso: recuerda eso\(\ a_{m}=a_{1}+(m-1) d\) para cualquier entero positivo\(\ m\). Entonces\(\ a_{k}=a_{1}+(k-1) d\) y\(\ a_{k+1}=a_{1}+(k) d\)
    \(\ =\frac{k\left(a_{1}+a_{1}+k d-d\right)+2 a_{1}+2 k d}{2}\)  
    \(\ =\frac{k a_{1}+k a_{1}+k^{2} d-k d+2 a_{1}+2 k d}{2}\) Distribuir y combinar términos similares
    \(\ =\frac{2 k a_{1}+2 a_{1}+k^{2} d+k d}{2}\) Factor por agrupación
    \(\ =\frac{2 a_{1}(k+1)+k d(k+1)}{2}\)  
    \(\ =\frac{(k+1)\left(2 a_{1}+k d\right)}{2}\)  
    \(\ =\frac{(k+1)\left(a_{1}+a_{1}+k d\right)}{2}\) Nuevamente,\(\ a_{k+1}=a_{1}+(k) d\)
    \(\ =\frac{(k+1)\left(a_{1}+a_{k+1}\right)}{2}\)  
    Ejemplo 1

    Usa la inducción para demostrarlo\(\ 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+n^{2}=\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\).

    Solución

    Paso 1) Caso base:\(\ 1^{2}=1\)

    \(\ \frac{1(1+1)(2(1)+1)}{6}=\frac{2(3)}{6}=1\)

    Paso 2) Hipótesis inductiva:\(\ 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+k^{2}=\frac{k(k+1)(2 k+1)}{6}\)

    Paso 3) Paso inductivo: mostrar que

    \(\ 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+k^{2}+(k+1)^{2}=\frac{(k+1)(k+1+1)(2(k+1)+1)}{6}\)

    Primero, tenga en cuenta que\(\ \frac{(k+1)(k+1+1)(2(k+1)+1)}{6}=\frac{(k+1)(k+2)(2 k+3)}{6}\)

    Ahora tenemos:

    \(\ 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+k^{2}+(k+1)^{2}\)
    \(\ =\frac{k(k+1)(2 k+1)}{6}+(k+1)^{2}\)
    \(\ =\frac{k(k+1)(2 k+1)+6(k+1)^{2}}{6}=\frac{(k+1)[k(2 k+1)+6(k+1)]}{6}\)
    \(\ =\frac{(k+1)\left[2 k^{2}+k+6 k+6\right]}{6}=\frac{(k+1)\left[2 k^{2}+7 k+6\right]}{6}=\frac{(k+1)(2 k+3)(k+2)}{6}\)
    Ejemplo 5

    Usa la inducción para demostrarlo\(\ 1+3+5+\cdots+(2 n-1)=n^{2}\).

    Solución

    Paso 1) Caso base:\(\ 1=1^{2}\)

    Paso 2) Hipótesis inductiva: supongamos que\(\ 1+3+5+\ldots+(2 k-1)=k^{2}\)

    Paso 3) Demostrar que\(\ 1+3+5+\ldots+(2 k-1)+(2 k+1)=(k+1)^{2}\)

    Contamos con:\(\ 1+3+5+\ldots+(2 k-1)+(2 k+1)=k^{2}+(2 k+1)\)

    \(\ =k^{2}+2 k+1\)
    \(\ =(k+1)(k+1)=(k+1)^{2}\)
    Ejemplo 6

    Usa la inducción para demostrarlo\(\ 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3}=\frac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}\).

    Solución

    Paso 1) Caso base:\(\ 1^{3}=1\)

    \(\ \frac{1^{2}(1+1)^{2}}{4}=\frac{2^{2}}{4}=1\)

    Paso 2) Supongamos que\(\ 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+k^{3}=\frac{k^{2}(k+1)^{2}}{4}\)

    Paso 3) Demostrar que\(\ 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+k^{3}+(k+1)^{3}=\frac{(k+1)^{2}((k+1)+1)^{2}}{4}\)

    Primero, tenga en cuenta que\(\ \frac{(k+1)^{2}((k+1)+1)^{2}}{4}=\frac{(k+1)^{2}(k+2)^{2}}{4}\)

    Ahora tenemos:

    \(\ 1^{3}+2^{3}+3^{3}+\ldots+k^{3}+(k+1)^{3}\)
    \(\ =\frac{k^{2}(k+1)^{2}}{4}+(k+1)^{3}\)
    \(\ =\frac{k^{2}(k+1)^{2}+4(k+1)^{3}}{4}\)
    \(\ =\frac{(k+1)^{2}\left[k^{2}+4(k+1)\right]}{4}=\frac{(k+1)^{2}\left[k^{2}+4 k+4\right]}{4}=\frac{(k+1)^{2}(x+2)^{2}}{4}\)

    Revisar

    Utilice la inducción para probar lo siguiente:

    1. \(\ -15-25-35+\ldots-10 k-5=k(-5 k-10)\)
    2. \(\ 1+9+9^{2}+9^{3}+\ldots+9^{k}=\frac{9^{k+1}-1}{9-1}\)
    3. \(\ 4+8+12+\ldots+4 k=2 k(k+1)\)
    4. \(\ 6+8+10+\ldots+2 k+4=k(k+5)\)
    5. \(\ 1+2+3+\ldots+k=\frac{1}{2} k(k+1)\)
    6. \(\ 1+6+6^{2}+6^{3}+\ldots+6^{k}=\frac{6^{k+1}-1}{6-1}\)
    7. \(\ -1-5-9+\ldots-4 k+3=k(-2 k+1)\)
    8. \(\ 1+4+4^{2}+4^{3}+\ldots+4^{k}=\frac{4^{k+1}-1}{4-1}\)
    9. \(\ 3+6+9+\ldots+3 k=\frac{3}{2} k(k+1)\)
    10. \(\ -1-3-5+\ldots-2 k+1=k(-k)\)
    11. \(\ 1+3+3^{2}+3^{3}+\ldots+3^{k}=\frac{3^{k+1}-1}{3-1}\)
    12. \(\ 1+7+7^{2}+7^{3}+\ldots+7^{n}=\frac{7^{n+1}-1}{6}\)
    13. \(\ 4+8+12+\ldots+4 n=2 n(n+1)\)
    14. \(\ 10+18+26+\ldots 8 n+2=n(4 n+6)\)
    15. \(\ 6+12+18+\ldots+6 n=3 n(n+1)\)

    Reseña (Respuestas)

    Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 7.6.


    El vocabulario

    Término Definición
    series aritméticas Una serie aritmética es la suma de una secuencia aritmética, una secuencia con una diferencia común entre cada dos términos consecutivos.
    Estuche Base En una prueba de inducción, la caja base es el escalón de anclaje. Es el primer dominó en caer, creando una cascada y demostrando así que la afirmación es verdadera para cada número mayor que el caso base.
    inducción La inducción es un método de prueba matemática que se usa típicamente para establecer que una declaración dada es verdadera para todos los enteros positivos.
    hipótesis inductiva En una prueba de inducción, la hipótesis inductiva es el paso donde se asume que la afirmación es verdadera para k.
    paso inductivo En una prueba de inducción, el paso inductivo es la prueba. Es cuando se muestra que la declaración es verdadera para k+1 usando solo la hipótesis inductiva y álgebra.
    Inducción matemática La inducción matemática es un método de prueba matemática que se usa típicamente para establecer que una declaración dada es verdadera para todos los enteros positivos.
    n º término El término n º en una serie se refiere comúnmente al último término de una serie, a menudo no especificado.
    prueba Una prueba es una serie de afirmaciones verdaderas que conducen a la aceptación de la verdad de una afirmación más compleja.
    suma de la serie La suma de la serie es la suma total de todos los números de una serie.

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