7.4.2: Sumas de series geométricas infinitas

Sumas de series geométricas infinitas

La mamá de Sayber le dijo que limpiara su habitación el sábado por la mañana.

“¡Pero, mamá! ¡Va a llevar una eternidad!” dijo Sayber.

“Oh, no seas demasiado dramático”, dijo mamá.

“¡NO estoy siendo dramático!” Dijo Sayber.

“Si empiezo ahora mismo, me va a llevar al MENOS una hora limpiar esta mitad sola, entonces tardará otra media hora en limpiar la mitad del resto, y 15 minutos para limpiar la mitad de ESE resto... ya que siempre me quedará la mitad, ¡nunca voy a terminar!”

¿Estás de acuerdo con Sayber? ¿Sayber se quedará atascado con un vacío en la mano para siempre? Sintonice la próxima semana...

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Sumas de series geométricas infinitas

Volvamos a la situación en la introducción: El pobre Sayber está atascado limpiando su habitación. Limpia la mitad de la habitación en 60 minutos. Después limpia la mitad de lo que queda, 30 minutos más, la mitad otra vez por 15 más. Si sigue limpiando la mitad del área restante, ¿cómo va a terminar la habitación?

Sabemos que las piezas tienen que sumar algún periodo de tiempo finito (no importa lo que se sienta, Sayber PUEDE limpiar la habitación), pero ¿cómo es posible que la suma de un número infinito de términos sea un número finito?

Para encontrar la suma de un número infinito de términos, debemos considerar algunas sumas parciales. Tres sumas parciales, relativamente tempranas en la serie, podrían ser:\(\ S_{2}=90\),\(\ S_{3}=105\), y\(\ S_{6}=118.125\) o\(\ 118 \frac{1}{8}\)

Ahora veamos valores más grandes de\(\ n\):

\(\ S_{7}\)	\(\ =\frac{60\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{7}\right)}{1-\frac{1}{2}} \approx 119.06 \text { minutes }\)
\(\ S_{8}\)	\(\ =\frac{60\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{8}\right)}{1-\frac{1}{2}} \approx 119.5 \text { minutes }\)
\(\ S_{10}\)	\(\ =\frac{60\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{10}\right)}{1-\frac{1}{2}} \approx 119.9 \text { minutes }\)

A medida que n se acerca al infinito, el valor de S _n parece acercarse a los 120 minutos. En términos de las sumas reales, lo que está sucediendo es esto: a medida que n aumenta, ^el término n se hace cada vez más pequeño, y así ^el término n contribuye cada vez menos al valor de S _n. Decimos que la serie converge, y podemos escribir esto con un límite:

\(\ \lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}\)	\(\ =\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{60\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right)}{1-\frac{1}{2}}\right)\)
	\(\ =\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{60\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right)}{\frac{1}{2}}\right)\)
	\(\ =\lim _{n \rightarrow \infty}\left(120\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right)\right)\)

A medida que n se acerca al infinito, el valor de\(\ \left(\frac{1}{2}\right)^{n}\) se hace cada vez más pequeño. Es decir, el valor de esta expresión se acerca a 0. Por lo tanto, el valor de\(\ 1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\) los enfoques 1, y\(\ 120\left(1-\left(\frac{1}{2}\right)^{n}\right)\) enfoques\(\ 120(1)=120\).

Por lo tanto, no importa cuánto tiempo continúe el proceso, Sayber no pasará más de 2hrs limpiando la habitación. Por supuesto, ¡puede parecer mucho más!

Podemos hacer el mismo análisis para el caso general de una serie geométrica, siempre y cuando los términos sean cada vez más pequeños. Esto significa que la relación común debe ser un número entre -1 y 1: |r| < 1.

\(\ \lim _{n \rightarrow \infty} S_{n}\)	\(\ =\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{a_{1}\left(1-r^{n}\right)}{1-r}\right)\)
	\(\ =\frac{a_{1}}{1-r}, \text { as }\left(1-r^{n}\right) \rightarrow 1\)

Por lo tanto, podemos encontrar la suma de una serie geométrica infinita usando la fórmula\(\ S=\frac{a_{1}}{1-r}\).

Cuando una suma infinita tiene un valor finito, decimos que la suma converge . De lo contrario, la suma diverge . Una suma converge sólo cuando los términos se acercan a 0 después de cada paso, pero eso por sí solo no es un criterio suficiente para la convergencia. Por ejemplo, la suma\(\ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots\) no converge.

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Ejemplos

Ejemplo 1

Encuentra la suma de la serie convergente:\(\ 40+-20+10+-5+\ldots\)

Solución

La proporción común es\(\ \frac{-1}{2}\). Por lo tanto, la suma converge para:

\(\ \frac{40}{1-\left(\frac{-1}{2}\right)}=\frac{40}{\frac{3}{2}}=40\left(\frac{2}{3}\right)=\frac{80}{3}\)

Ejemplo 2

Determinar si la serie converge. Si converge, encuentra la suma.

a.\(\ 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\ldots\)	b.\(\ 3+-6+12+-24+\ldots\)

Solución

1. \(\ 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{9}+\frac{1}{27}+\ldots\)converge. La relación común es (1/3). Por lo tanto, la suma converge para:

   \(\ \frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}\)

2. La serie 3 + -6 + 12 + -24 +... no converge, ya que la relación común es -2.

   Recordemos que la idea de una suma infinita se introdujo en el contexto de una situación realista, aunque paradójica. De hecho, podemos usar series geométricas infinitas para modelar otras situaciones realistas. Aquí veremos otro ejemplo: la distancia vertical total recorrida por una pelota que rebota.

Ejemplo 3

Se cae una pelota desde una altura de 20 pies. Cada vez que rebota, alcanza el 50% de su altura anterior. ¿Cuál es la distancia vertical total que recorre la pelota?

Solución

Podemos pensar en la distancia total como la distancia que recorre la pelota hacia abajo + la distancia que recorre la pelota hacia arriba. Los rebotes hacia abajo forman una serie geométrica:

20 + 10 + 5 +...

Los rebotes ascendentes forman la misma serie, salvo que el primer término es 10.

Entonces la distancia total es:\(\ \sum_{n=1}^{\infty} 20\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}+\sum_{n=1}^{\infty} 10\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\).

Cada suma converge, ya que la relación común es (1/2). Por lo tanto, la distancia total es:

\(\ \frac{20}{1-\frac{1}{2}}+\frac{10}{1-\frac{1}{2}}=\frac{20}{\frac{1}{2}}+\frac{10}{\frac{1}{2}}=40+20=60\)

Por lo que la pelota recorre una distancia vertical total de 60 pies.

Ejemplo 4

Determinar si las siguientes series convergen o divergen. Si converge, encuentra la suma.

240 + 60 + 15 +...

Solución

La suma converge. S = 320.

Ejemplo 5

En esta lección, probamos la fórmula para la suma de una serie geométrica,\(\ S_{n}=\frac{a_{1}\left(1-r^{n}\right)}{1-r}\) mediante inducción.

Demuestre esta fórmula sin inducción:

Solución

Paso 1: Dejar\(\ S_{n}=a_{1}+a_{1} r+a_{1} r^{2}+\ldots+a_{1} r^{n-1}\)

\(\ S_{n}=a_{1}+a_{1} r+a_{1} r^{2}+\ldots+a_{1} r^{n-1}\)

Paso 2: Multiplicar\(\ S_{n}\) por\(\ r\) para obtener una segunda ecuación

\(\ r S_{n}=a_{1} r+a_{1} r^{2}+a_{1} r^{3}+\ldots+a_{1} r^{n}\)

Paso 3: Restar las ecuaciones y resolver para\(\ S_{n}\).

\ (\\ begin {array} {l}
S_ {n} -r S_ {n} =a_ {1} -a_ {1} r^ {n}\\
\ Rightarrow S_ {n} (1-r) =a\ izquierda (1-r^ {n}\ derecha)\
\ Rightarrow S_ {n} =\ frac {a\ izquierda (1-r^ {n}}\ derecha)} {(1-r)}
\ end {array}\)

Ejemplo 6

Se deja caer una pelota desde una altura de 40 pies, y cada vez que rebota, alcanza el 25% de su altura anterior.

1. Encuentra la distancia vertical total que recorre la pelota, usando el método utilizado en la lección.
2. Encuentra la distancia vertical total que recorre la pelota usando una sola serie.

Solución

1. \(\ \sum_{n=1}^{\infty} 40\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}+\sum_{n=1}^{\infty} 20\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}=66 \frac{2}{3}\)
2. \(\ \sum_{n=1}^{\infty} 50\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1}=66 \frac{2}{3}\)

(Pista: escribe varios términos para cada rebote. Por ejemplo, el primer rebote es: 40 pies abajo + 10 pies arriba = 50 pies recorridos).

Ejemplo 7

A continuación se presentan dos series infinitas que no son geométricas. Utilice una calculadora gráfica para examinar sumas parciales. ¿Converge alguna serie?

1. \(\ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots\)
2. \(\ 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\ldots\)

Solución

1. Esta serie no converge.
2. Esta serie converge alrededor de 1.65. (La suma real es\(\ \frac{\pi^{2}}{6}\))

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Revisar

1. Encuentra la suma de los primeros 10 términos del\(\ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{5}\right)^{n}\) uso de una calculadora gráfica.
2. Encuentra la suma de los primeros 20 términos de\(\ \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{5}\right)^{n}\) usar una calculadora gráfica.
3. Conjeturas sobre la posible convergencia de la serie en las preguntas 1 y 2.

Evaluar la suma infinita de cada una de las siguientes series geométricas:

4. \(\ -2+1-\frac{1}{2}+\ldots\)
5. \(\ -6+\frac{24}{5}-\frac{96}{25}+\ldots\)
6. \(\ 3+\frac{3}{2}-\frac{3}{4}+\ldots\)
7. \(\ -6+4-\frac{8}{3}+\ldots\)
8. \(\ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\ldots\)

Evaluar la suma infinita de cada una de las siguientes series geométricas:

9. \(\ \sum_{n=1}^{\infty}-3\left(\frac{1}{2}\right)^{(n-1)}\)
10. \(\ \sum_{n=1}^{\infty}-2\left(\frac{4}{7}\right)^{(n-1)}\)
11. \(\ \sum_{n=1}^{\infty} 7\left(\frac{-4}{5}\right)^{(n-1)}\)
12. \(\ \sum_{n=1}^{\infty}-9\left(\frac{-1}{5}\right)^{(n-1)}\)
13. \(\ \sum_{n=1}^{\infty} 5\left(\frac{-5}{7}\right)^{(n-1)}\)
14. \(\ \sum_{n=1}^{\infty} 6\left(\frac{1}{5}\right)^{(n-1)}\)

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Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 7.10.

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El vocabulario

Término	Definición
convergen	Si una serie tiene un límite, y el límite existe, la serie converge.
convergente	Si una serie tiene un límite, y el límite existe, la serie es convergente.
divergente	Si una serie no tiene límite, o el límite es infinito, entonces la serie es divergente.
diverge	Si una serie no tiene límite, o el límite es infinito, entonces la serie diverge.
secuencia geométrica	Una secuencia geométrica es una secuencia con una relación constante entre términos sucesivos. Las secuencias geométricas también se conocen como progresiones geométricas.
serie geométrica	Una serie geométrica es una secuencia geométrica escrita como una suma de términos no calculada.
sumas parciales	Una suma parcial es la suma de los primeros términos “n” en una serie infinita, donde “n” es algún número entero positivo.