7.6.1: Encontrar el término n dada la diferencia común y un término

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Secuencias aritméticas y búsqueda del término n dada la diferencia común y un término

El cometa Halley aparece en el cielo aproximadamente cada 76 años. El cometa fue visto por primera vez en el año 1531. ^{Encuentra la regla de término n y el ^décimo término para la secuencia representada por esta situación.}

Secuencia aritmética

En este concepto comenzaremos a observar un tipo específico de secuencia llamada secuencia aritmética. En una secuencia aritmética la diferencia entre dos términos consecutivos cualesquiera es constante. Esta diferencia constante se llama la diferencia común. Podemos generalizar la ecuación para una secuencia aritmética a continuación:

\(\ a_{n}-a_{n-1}=d\), donde\(\ a_{n-1}\) y\(\ a_{n}\) representan dos términos consecutivos y\(\ d\) representa la diferencia común.

Dado que el mismo valor, la diferencia común\(\ d\),, se suma para obtener cada término sucesivo en una secuencia aritmética podemos determinar el valor de cualquier término a partir del primer término y cuántas veces necesitamos sumar\(\ d\) para llegar al término deseado como se ilustra a continuación:

Dada la secuencia:\(\ 22,19,16,13, \ldots\) en que\(\ a_{1}=22\) y\(\ d=-3\)

\ (\\ begin {array} {l}
a_ {1} =22\ text {o} 22+ (1-1) (-3) =22+0=22\\
a_ {2} =19\ text {o} 22+ (2-1) (-3) =22+ (-3) =19\\
a_ {3} =16\ text {o} 22+ (3-1) (-3) =22+ (-6) =16\\
a_ {4} =13\ texto {o} 22+ (4-1) (-3) =22+ (-9) =13\\
\ quad\ vdots\\
a_ {n} =22+ (n-1) (-3)\\
a_ {n} =22-3 n+3\\
a_ {n} =-3 n+25
\ end {array}\)

Ahora podemos generalizar esto en una regla para el\(\ n^{t h}\) término de cualquier secuencia aritmética:\(\ a_{n}=a_{1}+(n-1) d\)

Encontremos la diferencia común y la regla de\(\ n^{t h}\) término para la secuencia aritmética:\(\ 2,5,8,11 \ldots\)

Para encontrar la diferencia común restamos términos consecutivos.

\ (\\ begin {aligned}
&5-2=3\\
&8-5=3,\ text {así la diferencia común es} 3\\
&11-8=3
\ end {alineado}\)

Ahora podemos poner nuestro primer término y diferencia común en el\(\ n^{t h}\) término regla descubierta anteriormente y simplificar la expresión.

\ (\\ begin {aligned}
a_ {n} &=2+ (n-1) (3)\\
&=2+3 n-3\ quad,\ text {so} a_ {n} =3 n-1. \\
&=3 n-1
\ final {alineado}\)

Ahora, vamos a encontrar el\(\ n^{t h}\) término regla y así el\(\ 100^{t h}\) término para la secuencia aritmética en la que\(\ a_{1}=-9\) y\(\ d=2\).

Tenemos lo que necesitamos para enchufar a la regla:

\ (\\ begin {alineado}
a_ {n} &=-9+ (n-1) (2)\\
&=-9+2 n-2\ quad,\ text {así el} n^ {t h}\ text {regla de término es} a_ {n} =2 n-11\\
&=2 n-11
\ end {alineado}\)

Ahora para encontrar el\(\ 100^{t h}\) término podemos usar nuestra regla y reemplazarla\(\ n\) con 100:

\(\ a_{100}=2(100)-11=200-11=189\)

Por último, vamos a encontrar el\(\ n^{t h}\) término regla y así el\(\ 100^{t h}\) término para la secuencia aritmética en la que\(\ a_{3}=8\) y\(\ d=7\).

Este es un poco menos sencillo ya que tendremos que determinar primero el primer término a partir del término que se nos dé. Para ello,\(\ a_{n}\) reemplazaremos por\(\ a_{3}=8\) y usaremos\(\ 3\) para\(\ n\) en la fórmula para determinar el primer término desconocido como se muestra:

\ (\\ begin {alineado}
a_ {1} + (3-1) (7) &=8\\
a_ {1} +2 (7) &=8\\
a_ {1} +14 &=8\\
a_ {1} &=-6
\ end {alineado}\)

Ahora que tenemos el primer término y la diferencia común podemos seguir el mismo proceso utilizado en el ejemplo anterior para completar el problema.

\ (\\ begin {aligned}
a_ {n} &=-6+ (n-1) (7)\\
&=-6+7 n-7\ quad,\ text {así} a_ {n} =7 n-13. \\
&=7 n-13
\ final {alineado}\)

Ahora podemos encontrar el\(\ 100^{t h}\) término:\(\ a_{100}=7(100)-13=687\).

Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le pidió que encontrara el\(\ n^{t h}\) término regla y el\(\ 10^{t h}\) término para la secuencia representada por Halley's Comet, que aparece en el cielo una vez aproximadamente cada 76 años y apareció por primera vez en 1531.

Solución

A partir de la información proporcionada, podemos concluir que\(\ a_{1}=1531\) y\(\ d=76\).

Ahora tenemos lo que necesitamos para enchufar a la regla:

\ (\\ begin {aligned}
&a_ {n} =1531+ (n-1) (76)\\
&=1531+76 n-76\ quad\ text {, así el} n^ {t h}\ text {regla de término es} a_ {n} =76 n+1455
\ end {alineado}\)

Ahora para encontrar el\(\ 10^{t h}\) término podemos usar nuestra regla y reemplazarla\(\ n\) con 10:

\(\ a_{10}=76(10)+1455=760+1455=2215\)

Ejemplo 2

Encuentra la diferencia común y la regla del\(\ n^{t h}\) término para la secuencia:\(\ 5,−3,−11,…\)

Solución

La diferencia común es\(\ −3−5=−8\). Ahora

\(\ a_{n}=5+(n-1)(-8)=5-8 n+8=-8 n+13\)

Ejemplo 3

Escribe el\(\ n^{t h}\) término regla y encuentra el\(\ 45^{t h}\) término para la secuencia aritmética con\(\ a_{10}=1\) y\(\ d=-6\).

Solución

Para encontrar el primer término:

\ (\\ begin {alineado}
a_ {1} + (10-1) (-6) &=1\\
a_ {1} -54 &=1\\
a_ {1} &=55
\ end {alineado}\)

Encuentra el\(\ n^{t h}\) término regla:\(\ a_{n}=55+(n-1)(-6)=55-6 n+6=-6 n+61\).

Por último, el\(\ 45^{t h}\) término:\(\ a_{45}=-6(45)+61=-209\).

Ejemplo 4

Encuentra el\(\ 62^{n d}\) término para la secuencia aritmética con\(\ a_{1}=-7\) y\(\ d=\frac{3}{2}\).

Solución

Esta vez no vamos a simplificar la regla del\(\ n^{t h}\) término, solo usaremos la fórmula para encontrar el\(\ 62^{r d}\) término:

\(\ a_{62}=-7+(62-1)\left(\frac{3}{2}\right)=-7+61\left(\frac{3}{2}\right)=-\frac{14}{2}+\frac{183}{2}=\frac{169}{2}\).

Revisar

Identificar cuál de las siguientes secuencias es aritmética. Si la secuencia es aritmética encuentra el\(\ n^{t h}\) término regla.

2, 3, 4, 5,...
6, 2, −1, −3,...
5, 0, −5, −10,...
1, 2, 4, 8,...
0, 3, 6, 9,...
13, 12, 11, 10,...
4, −3, 2, −1,...
a, a+2, a+4, a+6,...

Escribe la regla del\(\ n^{t h}\) término para cada secuencia aritmética con el término dado y la diferencia común.

\(\ a_{1}=15\)y\(\ d=-8\)
\(\ a_{1}=-10\)y\(\ d=\frac{1}{2}\)
\(\ a_{3}=24\)y\(\ d=-2\)
\(\ a_{5}=-3\)y\(\ d=3\)
\(\ a_{10}=-15\)y\(\ d=-11\)
\(\ a_{7}=32\)y\(\ d=7\)
\(\ a_{n-2}=3 n+2\), encuentra\(\ a_{n}\)

Respuestas para problemas de revisión

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 11.5.

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Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4