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LibreTexts Español

7.6.1: Encontrar el término n dada la diferencia común y un término

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\)

Secuencias aritméticas y búsqueda del término n dada la diferencia común y un término

El cometa Halley aparece en el cielo aproximadamente cada 76 años. El cometa fue visto por primera vez en el año 1531. Encuentra la regla de término n y el décimo término para la secuencia representada por esta situación.


Secuencia aritmética

En este concepto comenzaremos a observar un tipo específico de secuencia llamada secuencia aritmética. En una secuencia aritmética la diferencia entre dos términos consecutivos cualesquiera es constante. Esta diferencia constante se llama la diferencia común. Podemos generalizar la ecuación para una secuencia aritmética a continuación:

 anan1=d, donde an1 y an representan dos términos consecutivos y d representa la diferencia común.

Dado que el mismo valor, la diferencia común d,, se suma para obtener cada término sucesivo en una secuencia aritmética podemos determinar el valor de cualquier término a partir del primer término y cuántas veces necesitamos sumar d para llegar al término deseado como se ilustra a continuación:

Dada la secuencia: 22,19,16,13, en que a1=22 y d=3

\ (\\ begin {array} {l}
a_ {1} =22\ text {o} 22+ (1-1) (-3) =22+0=22\\
a_ {2} =19\ text {o} 22+ (2-1) (-3) =22+ (-3) =19\\
a_ {3} =16\ text {o} 22+ (3-1) (-3) =22+ (-6) =16\\
a_ {4} =13\ texto {o} 22+ (4-1) (-3) =22+ (-9) =13\\
\ quad\ vdots\\
a_ {n} =22+ (n-1) (-3)\\
a_ {n} =22-3 n+3\\
a_ {n} =-3 n+25
\ end {array}\)

Ahora podemos generalizar esto en una regla para el nth término de cualquier secuencia aritmética: an=a1+(n1)d

Encontremos la diferencia común y la regla de nth término para la secuencia aritmética: 2,5,8,11

Para encontrar la diferencia común restamos términos consecutivos.

\ (\\ begin {aligned}
&5-2=3\\
&8-5=3,\ text {así la diferencia común es} 3\\
&11-8=3
\ end {alineado}\)

Ahora podemos poner nuestro primer término y diferencia común en el nth término regla descubierta anteriormente y simplificar la expresión.

\ (\\ begin {aligned}
a_ {n} &=2+ (n-1) (3)\\
&=2+3 n-3\ quad,\ text {so} a_ {n} =3 n-1. \\
&=3 n-1
\ final {alineado}\)

Ahora, vamos a encontrar el nth término regla y así el 100th término para la secuencia aritmética en la que a1=9 y d=2.

Tenemos lo que necesitamos para enchufar a la regla:

\ (\\ begin {alineado}
a_ {n} &=-9+ (n-1) (2)\\
&=-9+2 n-2\ quad,\ text {así el} n^ {t h}\ text {regla de término es} a_ {n} =2 n-11\\
&=2 n-11
\ end {alineado}\)

Ahora para encontrar el 100th término podemos usar nuestra regla y reemplazarla n con 100:

 a100=2(100)11=20011=189

Por último, vamos a encontrar el nth término regla y así el 100th término para la secuencia aritmética en la que a3=8 y d=7.

Este es un poco menos sencillo ya que tendremos que determinar primero el primer término a partir del término que se nos dé. Para ello, an reemplazaremos por a3=8 y usaremos 3 para n en la fórmula para determinar el primer término desconocido como se muestra:

\ (\\ begin {alineado}
a_ {1} + (3-1) (7) &=8\\
a_ {1} +2 (7) &=8\\
a_ {1} +14 &=8\\
a_ {1} &=-6
\ end {alineado}\)

Ahora que tenemos el primer término y la diferencia común podemos seguir el mismo proceso utilizado en el ejemplo anterior para completar el problema.

\ (\\ begin {aligned}
a_ {n} &=-6+ (n-1) (7)\\
&=-6+7 n-7\ quad,\ text {así} a_ {n} =7 n-13. \\
&=7 n-13
\ final {alineado}\)

Ahora podemos encontrar el 100th término: a100=7(100)13=687.


Ejemplos

Ejemplo 1

Anteriormente, se le pidió que encontrara el nth término regla y el 10th término para la secuencia representada por Halley's Comet, que aparece en el cielo una vez aproximadamente cada 76 años y apareció por primera vez en 1531.

Solución

A partir de la información proporcionada, podemos concluir que a1=1531 y d=76.

Ahora tenemos lo que necesitamos para enchufar a la regla:

\ (\\ begin {aligned}
&a_ {n} =1531+ (n-1) (76)\\
&=1531+76 n-76\ quad\ text {, así el} n^ {t h}\ text {regla de término es} a_ {n} =76 n+1455
\ end {alineado}\)

Ahora para encontrar el 10th término podemos usar nuestra regla y reemplazarla n con 10:

 a10=76(10)+1455=760+1455=2215

Ejemplo 2

Encuentra la diferencia común y la regla del nth término para la secuencia: 5,3,11,

Solución

La diferencia común es 35=8. Ahora

 an=5+(n1)(8)=58n+8=8n+13

Ejemplo 3

Escribe el nth término regla y encuentra el 45th término para la secuencia aritmética con a10=1 y d=6.

Solución

Para encontrar el primer término:

\ (\\ begin {alineado}
a_ {1} + (10-1) (-6) &=1\\
a_ {1} -54 &=1\\
a_ {1} &=55
\ end {alineado}\)

Encuentra el nth término regla: an=55+(n1)(6)=556n+6=6n+61.

Por último, el 45th término: a45=6(45)+61=209.

Ejemplo 4

Encuentra el 62nd término para la secuencia aritmética con a1=7 y d=32.

Solución

Esta vez no vamos a simplificar la regla del nth término, solo usaremos la fórmula para encontrar el 62rd término:

 a62=7+(621)(32)=7+61(32)=142+1832=1692.


Revisar

Identificar cuál de las siguientes secuencias es aritmética. Si la secuencia es aritmética encuentra el nth término regla.

  1. 2, 3, 4, 5,...
  2. 6, 2, −1, −3,...
  3. 5, 0, −5, −10,...
  4. 1, 2, 4, 8,...
  5. 0, 3, 6, 9,...
  6. 13, 12, 11, 10,...
  7. 4, −3, 2, −1,...
  8. a, a+2, a+4, a+6,...

Escribe la regla del nth término para cada secuencia aritmética con el término dado y la diferencia común.

  1.  a1=15y d=8
  2.  a1=10y d=12
  3.  a3=24y d=2
  4.  a5=3y d=3
  5.  a10=15y d=11
  6.  a7=32y d=7
  7.  an2=3n+2, encuentra an

Respuestas para problemas de revisión

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 11.5.


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