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# 8.3.1: Derivadas constantes y la regla del poder

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## Derivadas constantes y la regla del poder

La regla del poder es un fantástico “atajo” para encontrar las derivadas de polinomios básicos. Entre la regla de poder y la definición básica de la derivada de una constante, se puede identificar un gran número de derivadas polinómicas con poco esfuerzo, ¡muchas veces en tu cabeza!

## Derivadas constantes y la regla del poder

En esta lección, desarrollaremos fórmulas y teoremas que calcularán derivados de formas más eficientes y rápidas. Busque estos teoremas en cajas a lo largo de la lección.

### La derivada de una constante

Teorema: Si f (x) =c donde c es una constante, entonces f′ (x) =0.

Prueba:$$\ f^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{c-c}{h}=0$$.

Teorema: Si$$\ c$$ es una constante y$$\ f$$ es diferenciable en absoluto$$\ x$$, entonces$$\ \frac{d}{d x}[c f(x)]=c \frac{d}{d x}[f(x)]$$.

En notación más simple$$\ (cf)^{\prime}=c(f)^{\prime}=cf^{\prime}$$

### La regla del poder

Teorema: (La regla de poder) Si n es un entero positivo, entonces para todos los valores reales de x

$$\ \frac{d}{d x}\left[x^{n}\right]=n x^{n-1}$$.

## Ejemplos

###### Ejemplo 1

Encuentra$$\ f^{\prime}(x)$$ para$$\ f(x)=16$$.

Solución

Si$$\ f(x)=16$$ para todos x, entonces$$\ f^{\prime}(x)=0$$ para todos x.

También podemos escribir$$\ \frac{d}{d x} 16=0$$.

###### Ejemplo 2

Encuentra la derivada de$$\ f(x)=4 x^{3}$$.

Solución

$$\ \frac{d}{d x}\left[4 x^{3}\right]$$... Reafirmar la función

$$\ 4 \frac{d}{d x}\left[x^{3}\right]$$... Aplicar la ley conmutativa

$$\ 4\left[3 x^{2}\right]$$... Aplicar la regla de poder

$$\ 12 x^{2}$$... Simplificar

###### Ejemplo 3

Encuentra la derivada de$$\ f(x)=\frac{-2}{x^{4}}$$.

Solución

$$\ \frac{d}{d x}\left[\frac{-2}{x^{4}}\right]$$... Reafirmar

$$\ \frac{d}{d x}\left[-2 x^{-4}\right]$$... Reglas de exponentes

$$\ -2 \frac{d}{d x}\left[x^{-4}\right]$$... Por la ley conmutativa

$$\ -2\left[-4 x^{-4-1}\right]$$... Aplicar la regla de poder

$$\ -2\left[-4 x^{-5}\right]$$... Simplificar

$$\ 8 x^{-5}$$... Simplificar de nuevo

$$\ \frac{8}{x^{5}}$$... Usar reglas de exponentes

###### Ejemplo 4

Encuentra la derivada de$$\ f(x)=x$$.

Solución

Aplicación especial de la regla de poder:

$$\ \frac{d}{d x}[x]=1 x^{1-1}=x^{0}=1$$

###### Ejemplo 5

Encuentra la derivada de$$\ f(x)=\sqrt{x}$$.

Solución

Reafirmar la función:$$\ \frac{d}{d x}[\sqrt{x}]$$

Usando reglas de exponentes (de álgebra):$$\ \frac{d}{d x}\left[x^{1 / 2}\right]$$

Aplicar la regla de poder:$$\ \frac{1}{2} x^{1 / 2-1}$$

Simplificar:$$\ \frac{1}{2} x^{-1 / 2}$$

Reglas de exponentes:$$\ \frac{1}{2 x^{1 / 2}}$$

Simplificar:$$\ \frac{1}{2 \sqrt{x}}$$

###### Ejemplo 6

Encuentra la derivada de$$\ f(x)=\frac{1}{x^{3}}$$.

Solución

Reafirmar la función:$$\ \frac{d}{d x}\left[\frac{1}{x^{3}}\right]$$

Reglas de exponentes:$$\ \frac{d}{d x}\left[x^{-3}\right]$$

Regla de potencia:$$\ -3 x^{-3-1}$$

Simplificar:$$\ -3 x^{-4}$$

Reglas de exponentes:$$\ \frac{-3}{x^{4}}$$

## Revisar

1. Estado la regla del poder.

1. $$\ y=5 x^{7}$$
2. $$\ y=-3 x$$
3. $$\ f(x)=\frac{1}{3} x+\frac{4}{3}$$
4. $$\ y=x^{4}-2 x^{3}-5 \sqrt{x}+10$$
5. $$\ y=\left(5 x^{2}-3\right)^{2}$$
6. Dado$$\ y(x)=x^{-4 \pi^{2}}$$, encuentra la derivada cuando$$\ x=1$$.
7. $$\ y(x)=5$$
8. Dado$$\ u(x)=x^{-5 \pi^{3}}$$, ¿qué es$$\ u^{\prime}(2)$$?
9. $$\ y=\frac{1}{5}$$cuando$$\ x=4$$
10. Dado$$\ d(x)=x^{-0.37}$$, ¿qué es$$\ d^{\prime}(1)$$?
11. $$\ g(x)=x^{-3}$$
12. $$\ u(x)=x^{0.096}$$
13. $$\ k(x)=x-0.49$$
14. $$\ y=x^{-5 \pi^{3}}$$

## Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 8.9.

## El vocabulario

Término Definición
derivado La derivada de una función es la pendiente de la línea tangente a la función en un punto dado de la gráfica. Las notaciones para derivados incluyen$$\ f^{\prime}(x), \frac{d y}{dx}, y^{\prime}, \frac{df}{dx}$$ y$$\ \frac{df(x)}{dx}$$.
prueba Una prueba es una serie de afirmaciones verdaderas que conducen a la aceptación de la verdad de una afirmación más compleja.
teorema Un teorema es una afirmación que puede demostrarse verdadera usando postulados, definiciones y otros teoremas que ya han sido probados.

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