8.3.1: Derivadas constantes y la regla del poder

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Derivadas constantes y la regla del poder

La regla del poder es un fantástico “atajo” para encontrar las derivadas de polinomios básicos. Entre la regla de poder y la definición básica de la derivada de una constante, se puede identificar un gran número de derivadas polinómicas con poco esfuerzo, ¡muchas veces en tu cabeza!

Derivadas constantes y la regla del poder

En esta lección, desarrollaremos fórmulas y teoremas que calcularán derivados de formas más eficientes y rápidas. Busque estos teoremas en cajas a lo largo de la lección.

La derivada de una constante

Teorema: Si f (x) =c donde c es una constante, entonces f′ (x) =0.

Prueba:\(\ f^{\prime}(x)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{c-c}{h}=0\).

Teorema: Si\(\ c\) es una constante y\(\ f\) es diferenciable en absoluto\(\ x\), entonces\(\ \frac{d}{d x}[c f(x)]=c \frac{d}{d x}[f(x)]\).

En notación más simple\(\ (cf)^{\prime}=c(f)^{\prime}=cf^{\prime}\)

La regla del poder

Teorema: (La regla de poder) Si n es un entero positivo, entonces para todos los valores reales de x

\(\ \frac{d}{d x}\left[x^{n}\right]=n x^{n-1}\).

Ejemplos

Ejemplo 1

Encuentra\(\ f^{\prime}(x)\) para\(\ f(x)=16\).

Solución

Si\(\ f(x)=16\) para todos x, entonces\(\ f^{\prime}(x)=0\) para todos x.

También podemos escribir\(\ \frac{d}{d x} 16=0\).

Ejemplo 2

Encuentra la derivada de\(\ f(x)=4 x^{3}\).

Solución

\(\ \frac{d}{d x}\left[4 x^{3}\right]\)... Reafirmar la función

\(\ 4 \frac{d}{d x}\left[x^{3}\right]\)... Aplicar la ley conmutativa

\(\ 4\left[3 x^{2}\right]\)... Aplicar la regla de poder

\(\ 12 x^{2}\)... Simplificar

Ejemplo 3

Encuentra la derivada de\(\ f(x)=\frac{-2}{x^{4}}\).

Solución

\(\ \frac{d}{d x}\left[\frac{-2}{x^{4}}\right]\)... Reafirmar

\(\ \frac{d}{d x}\left[-2 x^{-4}\right]\)... Reglas de exponentes

\(\ -2 \frac{d}{d x}\left[x^{-4}\right]\)... Por la ley conmutativa

\(\ -2\left[-4 x^{-4-1}\right]\)... Aplicar la regla de poder

\(\ -2\left[-4 x^{-5}\right]\)... Simplificar

\(\ 8 x^{-5}\)... Simplificar de nuevo

\(\ \frac{8}{x^{5}}\)... Usar reglas de exponentes

Ejemplo 4

Encuentra la derivada de\(\ f(x)=x\).

Solución

Aplicación especial de la regla de poder:

\(\ \frac{d}{d x}[x]=1 x^{1-1}=x^{0}=1\)

Ejemplo 5

Encuentra la derivada de\(\ f(x)=\sqrt{x}\).

Solución

Reafirmar la función:\(\ \frac{d}{d x}[\sqrt{x}]\)

Usando reglas de exponentes (de álgebra):\(\ \frac{d}{d x}\left[x^{1 / 2}\right]\)

Aplicar la regla de poder:\(\ \frac{1}{2} x^{1 / 2-1}\)

Simplificar:\(\ \frac{1}{2} x^{-1 / 2}\)

Reglas de exponentes:\(\ \frac{1}{2 x^{1 / 2}}\)

Simplificar:\(\ \frac{1}{2 \sqrt{x}}\)

Ejemplo 6

Encuentra la derivada de\(\ f(x)=\frac{1}{x^{3}}\).

Solución

Reafirmar la función:\(\ \frac{d}{d x}\left[\frac{1}{x^{3}}\right]\)

Reglas de exponentes:\(\ \frac{d}{d x}\left[x^{-3}\right]\)

Regla de potencia:\(\ -3 x^{-3-1}\)

Simplificar:\(\ -3 x^{-4}\)

Reglas de exponentes:\(\ \frac{-3}{x^{4}}\)

Revisar

Estado la regla del poder.

Encuentra la derivada:

\(\ y=5 x^{7}\)
\(\ y=-3 x\)
\(\ f(x)=\frac{1}{3} x+\frac{4}{3}\)
\(\ y=x^{4}-2 x^{3}-5 \sqrt{x}+10\)
\(\ y=\left(5 x^{2}-3\right)^{2}\)
Dado\(\ y(x)=x^{-4 \pi^{2}}\), encuentra la derivada cuando\(\ x=1\).
\(\ y(x)=5\)
Dado\(\ u(x)=x^{-5 \pi^{3}}\), ¿qué es\(\ u^{\prime}(2)\)?
\(\ y=\frac{1}{5}\)cuando\(\ x=4\)
Dado\(\ d(x)=x^{-0.37}\), ¿qué es\(\ d^{\prime}(1)\)?
\(\ g(x)=x^{-3}\)
\(\ u(x)=x^{0.096}\)
\(\ k(x)=x-0.49\)
\(\ y=x^{-5 \pi^{3}}\)

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 8.9.

El vocabulario

Término	Definición
derivado	La derivada de una función es la pendiente de la línea tangente a la función en un punto dado de la gráfica. Las notaciones para derivados incluyen\(\ f^{\prime}(x), \frac{d y}{dx}, y^{\prime}, \frac{df}{dx}\) y\(\ \frac{df(x)}{dx}\).
prueba	Una prueba es una serie de afirmaciones verdaderas que conducen a la aceptación de la verdad de una afirmación más compleja.
teorema	Un teorema es una afirmación que puede demostrarse verdadera usando postulados, definiciones y otros teoremas que ya han sido probados.