9.6: Sumas de Reimann
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Límites y sumas de Reimann
Anteriormente, el área bajo una curva se definió en términos de un límite de sumas:
\[ A = \lim_{n \to +∞} S(P) = \lim_{n \to +∞} T(P) \nonumber\]
donde
\[ S(P) = \sum_1^n m_i(x_i − x_i − 1) = m_1 (x_1−x_0) + m_2(x_2−x_1)+…+ mn(xn−xn−1), \nonumber\]
\[ T(P) = \sum_1^n M_i (x_i−x_i−1)= M_1(x_1−x-0)+M_2(x_2−x_1)+…+M_n(x_n−x_n−1), \nonumber\]
S (P) y T (P) son ejemplos de sumas de Riemann.
En general, las sumas de Riemann son de forma\( \sum_{i=1}^n f ( x_i^∗) △x \nonumber\) donde cada una\( x_i^∗ \nonumber\) es el valor que usamos para encontrar la longitud del rectángulo en el i-ésimo subintervalo. Por ejemplo, el valor máximo de función en cada subintervalo para encontrar las sumas superiores y la función mínima en cada subintervalo para encontrar las sumas inferiores. Pero como la función es continua, podríamos haber usado cualquier punto dentro de los sub-intervalos para encontrar el límite.
Para hacer uso del concepto de límite, hacemos que el ancho de cada rectángulo se acerque a 0, lo que equivale a hacer que el número de rectángulos, n, se acerque al infinito. Al hacerlo, encontramos el área exacta bajo la curva,
\[ limn→∞An=limn→∞∑i=1nf(xi)△x. \nonumber\]
Ahora definimos la situación más general de la siguiente manera:
Si f es continuo en [a, b], y:
- El intervalo [a, b] se divide en n subintervalos de igual anchura D x, con D x = b−an, y
- Los puntos finales de estos subintervalos son x0=a, x1, x2,... , xn=b, y
- x* 1, x* 2,..., x* n son cualquier punto de muestra en estos subintervalos, entonces la integral definida de f de x=a a x=b es
abf (x) dx=limn→∞ i=1nf (x∗i) ¬ x.
siempre que exista el límite.
Si existe el límite anterior, se dice que f es integrable en el intervalo cerrado [a, b] y existe la integral definida.
Tenga en cuenta que el punto de muestra x* i puede ser cualquier punto de muestra en el i-ésimo subintervalo, siendo las opciones comunes correctas, o punto medio, o izquierda.
Por ejemplo, evalúe la suma de Riemann para f (x) =x3 de x=0 a x=3 usando n=6 subintervalos, y tomar los puntos de muestra para ser los puntos medios de los subintervalos.
Si particionamos el intervalo [0, 3] en n=6 subintervalos iguales, entonces cada subintervalo tendrá una longitud 3−06=12. Así que tenemos D x = 12 y