2.3: Patrones numéricos

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Identificar valores faltantes en patrones numéricos.

Extender patrones numéricos

Nicholas va camino a la nueva casa de su primo. Encontró la calle y solo está buscando la casa. Su primo vive en el número 1644. Nicolás nota que los números de las casas del lado derecho de la calle parecen seguir un patrón:

\(1574, 1584, 1594, … \)

El número 1574 fue la primera casa que Nicolás vio a la derecha. Si asume que el patrón de cómo se numeran las casas continuará, ¿cómo puede Nicholas extender el patrón para averiguar a cuántas casas de distancia está la casa de su primo?

En este concepto, aprenderás a extender patrones numéricos.

Patrones numéricos

Un patrón numérico es una secuencia de números que se ha creado en base a una regla llamada regla de patrón. Las reglas de patrón pueden usar una o más operaciones matemáticas para describir la relación entre números consecutivos en la secuencia.

Conocer la regla del patrón te ayudará a extender el patrón. Extender el patrón significa usar la regla de patrón para escribir los números que vendrían a continuación en la secuencia.

Aquí hay un ejemplo.

Encuentra los dos números siguientes en la siguiente secuencia: 3, 6, 9, 12,\(\underline{\quad}\),\(\underline{\quad}\).

Primero, averiguar la regla del patrón. Este es un patrón ascendente por lo que la regla probablemente implique suma o multiplicación.

A continuación, idear posibles reglas de patrón. Piensa: “¿Qué podrías hacer con 3 para conseguir 6?”

Podrías agregar 3
Podrías multiplicar por 2.
Podrías hacer una combinación de dos o más operaciones.

Ahora, verifique si alguna de estas posibles reglas de patrón funciona con el resto de la secuencia.

Considera 6 y 9.

Si agregas 3 a 6 obtienes 9. Entonces la regla de patrón “agregar 3" parece funcionar.

Asegúrese de que “add 3" funcione a lo largo de toda la secuencia.

“Agregar 3" funciona para toda la secuencia.

Ahora, extiende el patrón. Aplicar la regla de patrón de “agregar 3" al 12 al final del patrón.

El siguiente número en el patrón será 15.

“Agrega 3" una vez más para obtener el sexto número en la secuencia.

La respuesta es que el patrón extendido es 3, 6, 9, 12,\(\underline{15}\), \(\underiline{18}\).

En ocasiones te interesará un término en particular en el patrón. Para averiguar un término en particular, sigue extendiendo el patrón hasta que hayas alcanzado el término que estás buscando.

Veamos un ejemplo.

¿Cuál es el séptimo número en la secuencia:\(1,3,9,27, \ldots\)?

Primero, averiguar la regla del patrón. Este es un patrón ascendente por lo que la regla probablemente implique suma o multiplicación.

A continuación, idear posibles reglas de patrón. Piensa: “¿Qué le podrías hacer al 1 para conseguir 3?”

Se podría agregar 2.
Podrías multiplicar por 3.
Podrías hacer una combinación de dos o más operaciones.

Ahora, verifique si alguna de estas posibles reglas de patrón funciona con el resto de la secuencia.

Considera 1 y 3.

Si agregas 2 a 3 obtienes 5, no 9. Entonces la regla de patrón no es “agregar 2”.
Si multiplicas 3 por 3 obtienes 9. Entonces la regla del patrón “multiplicar por 3" parece funcionar.

Asegúrese de que “multiplicar por 3" funcione a lo largo de toda la secuencia.

“Multiplicar por 3" funciona para toda la secuencia.

Por último, se puede extender el patrón para encontrar el séptimo número. Sigue multiplicando por 3 hasta llegar al séptimo número de la secuencia.

Los primeros siete números de la secuencia son\(1, 3, 9, 27, 81, 243, 729\).

La respuesta es que el séptimo número de la secuencia es 729.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Antes, te dieron un problema sobre Nicholas, quien va a la casa de su primo.

Acaba de pasar la casa número 1574 y notó que los números de las casas parecen seguir un patrón:

\(1574, 1584, 1594\)

Su primo vive en el número 1644. Nicholas quiere extender el patrón para predecir cuántas casas de distancia está la casa de su primo.

Solución

Primero, averiguar la regla del patrón. Este es un patrón ascendente por lo que la regla probablemente implica multiplicación o suma.

A continuación, mira cómo se relacionan los números. La diferencia entre los números es una constante 10. Esto significa que la regla de patrón es “agregar 10”. Verifique que esta regla de patrón funcione para los tres números dados en la secuencia.

La regla de patrón “add 10" funciona para los tres números dados en la secuencia.

Ahora, extiende el patrón. Aplica la regla de patrón “agrega 10" al final del patrón hasta que golpees 1644.

A continuación, escriba la secuencia extendida.

Observe que 1644 es el octavo número de la secuencia.

La respuesta es que Nicolás puede esperar que la casa de su primo sea la octava casa a la derecha.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Encuentra los dos números siguientes en la siguiente secuencia: 24, 14, 9,\(\underline{\quad}\),\(\underline{\quad}\).

Solución

Primero, averiguar la regla del patrón. Este es un patrón descendente por lo que la regla probablemente implique división o resta.

A continuación, mira cómo se relacionan los números. La diferencia entre los números disminuye a medida que te mueves por la secuencia. Para llegar de 24 a 14 hay que restar 10, pero para obtener de 14 a 9 hay que restar 5. Esto significa que la división está involucrada. Como no hay un número entero por el que puedas dividir 24 para obtener 14, la regla de patrón es probablemente la división con suma o resta.

Ahora, considere posibles reglas de patrón que involucren división y suma o resta. Piensa: “¿Qué le podrías hacer a 24 para conseguir 14?”

Podrías dividir por 2 y agregar 2.
Podrías dividir por 3 y sumar 6.
Podrías hacer alguna otra combinación de dos o más operaciones.

A continuación, mira hacia atrás en el resto de la secuencia. Considera 14 y 9.

Si divides 14 por 2 y agregas 2 obtienes 9. Entonces la regla de patrón “dividir por 2 y agregar 2" funciona para los tres números dados en la secuencia.

Ahora, extiende el patrón. Aplicar la regla del patrón de “dividir por 2 y agregar 2" al final del patrón dos veces.

Los dos números siguientes en la secuencia serán 6.5 y 5.25.

La respuesta es que el patrón extendido es 24, 14, 9,\(\underline{6.5}\), \(\underline{5.25}\).

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Encuentra los dos números siguientes en la siguiente secuencia: 9,17,33,\(\underline{\quad}\),\(\underline{\quad}\).

Solución

Primero, averiguar la regla del patrón. Este es un patrón ascendente por lo que la regla probablemente implica multiplicación o suma.

A continuación, mira cómo se relacionan los números. La diferencia entre los números aumenta a medida que te mueves por la secuencia. Esto significa que la multiplicación está involucrada. Como no hay un número entero por el que puedas multiplicar 9 para obtener 17, la regla de patrón es probablemente multiplicación con suma o resta.

Ahora, considere posibles reglas de patrón que involucren multiplicación y suma o resta. Piensa: “¿Qué le podrías hacer al 9 para conseguir 17?”

Podrías multiplicar por 2 y restar 1.
Podrías multiplicar por 3 y restar 10.
Podrías hacer alguna otra combinación de dos o más operaciones.

A continuación, mira hacia atrás en el resto de la secuencia. Considera 17 y 33.

Si multiplicas 17 por 2 y restas 1 obtienes 33. Entonces la regla de patrón multiplicar por 2 y restar 1 funciona para los tres números dados en la secuencia.

Ahora, extiende el patrón. Aplicar la regla del patrón de “multiplicar por 2 y restar 1" al final del patrón dos veces.

Los dos números siguientes en el patrón serán 65 y 129.

La respuesta es que el patrón extendido es 9, 17, 33,\(\underline{65}\),\ (\ subrayado {129}\).

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Encuentra los dos números siguientes en la siguiente secuencia: 3, 10, 31,\(\underline{\quad}\),\(\underline{\quad}\).

Solución

Primero, averiguar la regla del patrón. Este es un patrón ascendente por lo que la regla probablemente implica multiplicación o suma.

A continuación, mira cómo se relacionan los números. La diferencia entre los números aumenta a medida que te mueves por la secuencia. Esto significa que la multiplicación está involucrada. Como no hay un número entero por el que puedas multiplicar 3 para obtener 10, la regla de patrón es probablemente multiplicación con suma o resta.

Ahora, considere posibles reglas de patrón que involucren multiplicación y suma o resta. Piensa: “¿Qué podrías hacer con 3 para conseguir 10?”

Podrías multiplicar por 2 y sumar 4.
Podrías multiplicar por 3 y sumar 1.
Podrías hacer alguna otra combinación de dos o más operaciones.

A continuación, mira hacia atrás en el resto de la secuencia. Considera 10 y 31.

Si multiplicas 10 por 3 y sumas 1 obtienes 31. Entonces la regla de patrón “multiplicar por 3 y sumar 1" funciona para los tres números dados en la secuencia.

Ahora, extiende el patrón. Aplicar la regla de patrón “multiplicar por 3 y sumar 1" al final del patrón dos veces.

Los dos números siguientes en el patrón serán 94 y 283.

La respuesta es que el patrón extendido es 3, 10, 31,\ (\ subrayado {94}\),\ (\ subrayado {283}\).

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Encuentra el sexto número en la siguiente secuencia:\(4, 17, 56, \ldots\)

Solución

Primero, averiguar la regla del patrón. Este es un patrón ascendente por lo que la regla probablemente implica multiplicación o suma.

A continuación, mira cómo se relacionan los números. La diferencia entre los números aumenta a medida que te mueves por la secuencia. Esto significa que la multiplicación está involucrada. Como no hay un número entero por el que puedas multiplicar 4 para obtener 17, la regla de patrón es probablemente multiplicación con suma o resta.

Ahora, considere posibles reglas de patrón que involucren multiplicación y suma o resta. Piensa: “¿Qué podrías hacer a 4 para conseguir 17?”

Podrías multiplicar por 2 y sumar 9.
Podrías multiplicar por 3 y sumar 5.
Podrías multiplicar por 4 y sumar 1.
Podrías hacer alguna otra combinación de dos o más operaciones.

A continuación, mira hacia atrás en el resto de la secuencia. Considera 17 y 56.

Si multiplicas 17 por 3 y sumas 5 obtienes 56. Entonces la regla de patrón “multiplicar por 3 y sumar 5" funciona para los tres números dados en la secuencia.

Ahora, extiende el patrón. Aplicar la regla del patrón de “multiplicar por 3 y sumar 5" al final del patrón tres veces para llegar al sexto número de la secuencia.

El patrón extendido es\(4, 17, 56, 173, 524, 1577\).

La respuesta es que el sexto número de la secuencia es 1577.

Revisar

Extienda cada patrón numérico rellenando los espacios en blanco.

2, 3, 4, 5,\(\underline{\quad}\),\(\underline{\quad}\)
2, 4, 6, 8,\(\underline{\quad}\),\(\underline{\quad}\)
2, 5, 11, 23,\(\underline{\quad}\),\(\underline{\quad}\)
3, 6, 9,\(\underline{\quad}\),\(\underline{\quad}\)
64, 16, 4,\(\underline{\quad}\),\(\underline{\quad}\)
150, 100, 50,\(\underline{\quad}\),\(\underline{\quad}\)
10, 20, 30, 40,\(\underline{\quad}\),\(\underline{\quad}\)
15, 30, 45,\(\underline{\quad}\),\(\underline{\quad}\)
100, 112, 124,\(\underline{\quad}\),\(\underline{\quad}\)
4, 18, 74,\(\underline{\quad}\),\(\underline{\quad}\)
40, 120, 360,\(\underline{\quad}\),\(\underline{\quad}\)
2.5, 6, 13,\(\underline{\quad}\),\(\underline{\quad}\)
50, 25, 12.5,\(\underline{\quad}\),\(\underline{\quad}\)
3, 4.5, 6, 7.5, 9,\(\underline{\quad}\)

Reseña (Respuestas)

Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 1.2.

Recursos adicionales

Elemento Interactivo

Video: Patrones en Secuencias 2

Práctica: Patrones numéricos