2.8: Tablas de la Verdad

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Hasta ahora conocemos estos símbolos para la lógica:

\(\sim\)no (negación)
\(\rightarrow\)si-entonces
\(\therefore\)por lo tanto

Dos símbolos más son:

\(\wedge\)y
\(\lor\)o

Escribiríamos “\(p\)y\(q\)” como\(p\wedge q\) y “\(p\)o\(q\)” como\(p\lor q\).

Las tablas de verdad utilizan estos símbolos y son otra forma de analizar la lógica. Primero, relacionemos p y\ sim p. para que sea más fácil, establezca p como: Un número par. Por lo tanto,\ sim p es Un número impar. Haz una tabla de la verdad para saber si ambos son verdaderos. Empezar con todas las “verdades” de p, verdadero (T) o falso (F).

p
T
F

A continuación escribimos los valores de verdad correspondientes para\(\sim p\). \(\sim p\)tiene los valores de verdad opuestos de\(p\). Entonces, si\(p\) es cierto, entonces\(\sim p\) es falso y viceversa.

p	\ sim
T	F
F	T

Para recapitular:

Inicia tablas de verdad con todas las combinaciones posibles de verdades. Para 2 variables hay 4 combinaciones para 3 variables hay 8. Siempre comienzas una tabla de la verdad de esta manera.
Hacer cualquier negación sobre cualquiera de las variables.
Haga cualquier combinación entre paréntesis.
Terminar con completar lo que el problema estaba pidiendo.

Dibujando una Mesa de Verdad

1. Dibuja una mesa de verdad para\(p\),\(q\) y\(p \wedge q\).

Primero, haz columnas para p y q. Llena las columnas con todas las posibles combinaciones true y false para las dos.

p	q
T	T
T	F
F	T
F	F

Observe todas las combinaciones de p y q. Siempre que tengamos tablas de verdad con dos variables, así es siempre como llenamos las dos primeras columnas.

A continuación, necesitamos averiguar cuándo\(p\wedge q\) es verdadero, basado en las dos primeras columnas. p\ wedge q solo puede ser verdadero si AMBOS p y q son verdaderos. Entonces, la tabla terminada se ve así:

f-d_b2b66563e17a9e7be0769a81e23555c42f9447ac8b6afba5c59a0c06+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{1}\)

Es así como siempre se llena una tabla de verdad con dos variables y su columna “y”.

2. Dibuja una mesa de verdad para\(p\),\(q\) y\(p \lor q\).

Primero, hacer columnas para\(p \lor q\) y\(q\), al igual que el Ejemplo A.

p	q
T	T
T	F
F	T
F	F

A continuación, tenemos que averiguar cuándo\(p \lor q\) es verdad, con base en las dos primeras columnas. \(p \lor q\)es cierto si\(p\) OR\(q\) son verdaderas, o ambas son verdaderas. Entonces, la tabla terminada se ve así:

f-d_f8b2daef3a483387836765fa06a98a5efcfc397b752608ef4f947790+image_tiny+image_tiny.png — Figura\(\PageIndex{2}\)

La diferencia entre\(p \wedge q\) y\(p \lor q\) es la segunda y tercera fila. Para “y” ambos\(p\) y\(q\) tienen que ser verdad, pero para “o” sólo uno tiene que ser verdad.

Determinar las verdades de las variables

Determinar las verdades para\(p \wedge(\sim q \lor r)\).

Primero, hay tres variables, así que vamos a necesitar todas las combinaciones de sus verdades. Para tres variables, siempre hay 8 combinaciones posibles.

\(p\)	\(q\)	\(r\)
\ (p\) ">T	\ (q\) ">T	\ (r\) ">T
\ (p\) ">T	\ (q\) ">T	\ (r\) ">F
\ (p\) ">T	\ (q\) ">F	\ (r\) ">T
\ (p\) ">T	\ (q\) ">F	\ (r\) ">F
\ (p\) ">F	\ (q\) ">T	\ (r\) ">T
\ (p\) ">F	\ (q\) ">T	\ (r\) ">F
\ (p\) ">F	\ (q\) ">F	\ (r\) ">T
\ (p\) ">F	\ (q\) ">F	\ (r\) ">F

A continuación, dirija el\(\sim q\). Simplemente serán los opuestos de la\(q\) columna.

\(p\)	\(q\)	\(r\)	\(\sim q\)
\ (p\) ">T	\ (q\) ">T	\ (r\) ">T	\ (\ sim q\) ">F
\ (p\) ">T	\ (q\) ">T	\ (r\) ">F	\ (\ sim q\) ">F
\ (p\) ">T	\ (q\) ">F	\ (r\) ">T	\ (\ sim q\) ">T
\ (p\) ">T	\ (q\) ">F	\ (r\) ">F	\ (\ sim q\) ">T
\ (p\) ">F	\ (q\) ">T	\ (r\) ">T	\ (\ sim q\) ">F
\ (p\) ">F	\ (q\) ">T	\ (r\) ">F	\ (\ sim q\) ">F
\ (p\) ">F	\ (q\) ">F	\ (r\) ">T	\ (\ sim q\) ">T
\ (p\) ">F	\ (q\) ">F	\ (r\) ">F	\ (\ sim q\) ">T

Ahora, hagamos lo que hay entre paréntesis,\(\sim q\lor r\). Recuerda, porque “o” solo\(\sim q\) OR\(r\) tiene que ser verdad. Utilice únicamente las\(r\) columnas\(\sim q\) y para determinar los valores de esta columna.

\(p\)	\(q\)	\(r\)	\(\sim q\)	\(\sim q\lor r\)
\ (p\) ">T	\ (q\) ">T	\ (r\) ">T	\ (\ sim q\) ">F	\ (\ sim q\ lor r\) ">T
\ (p\) ">T	\ (q\) ">T	\ (r\) ">F	\ (\ sim q\) ">F	\ (\ sim q\ lor r\) ">F
\ (p\) ">T	\ (q\) ">F	\ (r\) ">T	\ (\ sim q\) ">T	\ (\ sim q\ lor r\) ">T
\ (p\) ">T	\ (q\) ">F	\ (r\) ">F	\ (\ sim q\) ">T	\ (\ sim q\ lor r\) ">T
\ (p\) ">F	\ (q\) ">T	\ (r\) ">T	\ (\ sim q\) ">F	\ (\ sim q\ lor r\) ">T
\ (p\) ">F	\ (q\) ">T	\ (r\) ">F	\ (\ sim q\) ">F	\ (\ sim q\ lor r\) ">F
\ (p\) ">F	\ (q\) ">F	\ (r\) ">T	\ (\ sim q\) ">T	\ (\ sim q\ lor r\) ">T
\ (p\) ">F	\ (q\) ">F	\ (r\) ">F	\ (\ sim q\) ">T	\ (\ sim q\ lor r\) ">T

Por último, podemos abordar todo el problema,\(p \wedge(\sim q \lor r)\). Utilice el\(p\) y\(\sim q\lor r\) para determinar los valores. Recuerda, para “y” ambos\(p\) y\(\sim q\lor r\) debe ser cierto.

\(p\)	\(q\)	\(r\)	\(\sim q\)	\(\sim q\lor r\)	\(p \wedge(\sim q \lor r)\)
\ (p\) ">T	\ (q\) ">T	\ (r\) ">T	\ (\ sim q\) ">F	\ (\ sim q\ lor r\) ">T	\ (p\ cuña (\ sim q\ lor r)\) ">T
\ (p\) ">T	\ (q\) ">T	\ (r\) ">F	\ (\ sim q\) ">F	\ (\ sim q\ lor r\) ">F	\ (p\ cuña (\ sim q\ lor r)\) ">F
\ (p\) ">T	\ (q\) ">F	\ (r\) ">T	\ (\ sim q\) ">T	\ (\ sim q\ lor r\) ">T	\ (p\ cuña (\ sim q\ lor r)\) ">T
\ (p\) ">T	\ (q\) ">F	\ (r\) ">F	\ (\ sim q\) ">T	\ (\ sim q\ lor r\) ">T	\ (p\ cuña (\ sim q\ lor r)\) ">T
\ (p\) ">F	\ (q\) ">T	\ (r\) ">T	\ (\ sim q\) ">F	\ (\ sim q\ lor r\) ">T	\ (p\ cuña (\ sim q\ lor r)\) ">F
\ (p\) ">F	\ (q\) ">T	\ (r\) ">F	\ (\ sim q\) ">F	\ (\ sim q\ lor r\) ">F	\ (p\ cuña (\ sim q\ lor r)\) ">F
\ (p\) ">F	\ (q\) ">F	\ (r\) ">T	\ (\ sim q\) ">T	\ (\ sim q\ lor r\) ">T	\ (p\ cuña (\ sim q\ lor r)\) ">F
\ (p\) ">F	\ (q\) ">F	\ (r\) ">F	\ (\ sim q\) ">T	\ (\ sim q\ lor r\) ">T	\ (p\ cuña (\ sim q\ lor r)\) ">F

Escribe una tabla de verdad para las siguientes variables.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

\(p \wedge \sim p\)

Solución

Primero, haga columnas para\(p\), luego agregue\(\sim p\) y finalmente, evalúe\(p \wedge \sim p\).

\(p\)	\(\sim p\)	\(p \wedge \sim p\)
\ (p\) ">T	\ (\ sim p\) ">F	\ (p\ cuña\ sim p\) ">F
\ (p\) ">F	\ (\ sim p\) ">T	\ (p\ cuña\ sim p\) ">F

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

\(\sim p \lor \sim q\)

Solución

Primero, haga columnas para\(p\) y\(q\), luego agregue\(\sim p\) y\(\sim q\). Por último, evaluar\(\sim p \lor \sim q\).

\(p\)	\(q\)	\(\sim p\)	\(\sim q\)	\(\sim p \lor \sim q\)
\ (p\) ">\(p \lor \sim q\)	\ (q\) ">T	\ (\ sim p\) ">F	\ (\ sim q\) ">F	\ (\ sim p\ lor\ sim q\) ">F
\ (p\) ">T	\ (q\) ">F	\ (\ sim p\) ">F	\ (\ sim q\) ">T	\ (\ sim p\ lor\ sim q\) ">T
\ (p\) ">F	\ (q\) ">T	\ (\ sim p\) ">T	\ (\ sim q\) ">F	\ (\ sim p\ lor\ sim q\) ">T
\ (p\) ">F	\ (q\) ">F	\ (\ sim p\) ">T	\ (\ sim q\) ">T	\ (\ sim p\ lor\ sim q\) ">T

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

\(p \wedge (q\lor \sim q)\)

Solución

Primero, haz columnas para p y q, luego agrega\(\sim q\) y\(q\lor \sim q\). Por último, evaluar\(p\wedge (q\lor \sim q)\).

\(p\)	\(q\)	\(\sim q\)	\(q\lor \sim q\)	\(p\wedge (q\lor \sim q)\)
\ (p\) ">T	\ (q\) ">T	\ (\ sim q\) ">F	\ (q\ lor\ sim q\) ">T	\ (p\ cuña (q\ lor\ sim q)\) ">T
\ (p\) ">T	\ (q\) ">F	\ (\ sim q\) ">T	\ (q\ lor\ sim q\) ">T	\ (p\ cuña (q\ lor\ sim q)\) ">T
\ (p\) ">F	\ (q\) ">T	\ (\ sim q\) ">F	\ (q\ lor\ sim q\) ">T	\ (p\ cuña (q\ lor\ sim q)\) ">F
\ (p\) ">F	\ (q\) ">F	\ (\ sim q\) ">T	\ (q\ lor\ sim q\) ">T	\ (p\ cuña (q\ lor\ sim q)\) ">F

Revisar

Escribe una tabla de verdad para las siguientes variables.

\((p \wedge q)\lor \sim r\)
\(p \lor ( \sim q \lor r)\)
\(p \wedge (q \lor \sim r)\)
La única diferencia entre #1 y #3 es la colocación del paréntesis. ¿En qué se diferencian las tablas de verdad?
¿Cuándo es\(p \lor q \lor r\) verdad?
\(p \lor q \lor r\)
\((p \lor q) \lor \sim r\)
\(( \sim p \wedge \sim q) \wedge r\)
\(( \sim p \lor \sim q) \wedge r\)

¿Es válido el siguiente argumento? Si es así, ¿qué ley se está utilizando? HINTA: Las declaraciones podrían estar fuera de orden.

\(p \rightarrow q\)

\(r \rightarrow p\)

\(\therefore r \rightarrow q\)

\(p \rightarrow q\)

\(r \rightarrow q\)

\(\therefore p \rightarrow r\)

\(p \rightarrow \sim r\)

\(r \)

\(\therefore \sim p\)

\(\sim q \rightarrow r\)

\(q \)

\(\therefore \sim r\)

\(p \rightarrow (r \rightarrow s)\)

\(p \)

\(\therefore r \rightarrow s\)

\(r \rightarrow q\)

\(r \rightarrow s \)

\(\therefore q \rightarrow s\)

Recursos adicionales

Video: Principios de las Tablas de Verdad

Práctica: Tablas de la Verdad