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# 2.8: Tablas de la Verdad

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$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

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Hasta ahora conocemos estos símbolos para la lógica:

• $$\sim$$no (negación)
• $$\rightarrow$$si-entonces
• $$\therefore$$por lo tanto

Dos símbolos más son:

• $$\wedge$$y
• $$\lor$$o

Escribiríamos “$$p$$y$$q$$” como$$p\wedge q$$ y “$$p$$o$$q$$” como$$p\lor q$$.

Las tablas de verdad utilizan estos símbolos y son otra forma de analizar la lógica. Primero, relacionemos p y\ sim p. para que sea más fácil, establezca p como: Un número par. Por lo tanto,\ sim p es Un número impar. Haz una tabla de la verdad para saber si ambos son verdaderos. Empezar con todas las “verdades” de p, verdadero (T) o falso (F).

p
T
F

A continuación escribimos los valores de verdad correspondientes para$$\sim p$$. $$\sim p$$tiene los valores de verdad opuestos de$$p$$. Entonces, si$$p$$ es cierto, entonces$$\sim p$$ es falso y viceversa.

p \ sim
T F
F T

Para recapitular:

• Inicia tablas de verdad con todas las combinaciones posibles de verdades. Para 2 variables hay 4 combinaciones para 3 variables hay 8. Siempre comienzas una tabla de la verdad de esta manera.
• Hacer cualquier negación sobre cualquiera de las variables.
• Haga cualquier combinación entre paréntesis.
• Terminar con completar lo que el problema estaba pidiendo.

#### Dibujando una Mesa de Verdad

1. Dibuja una mesa de verdad para$$p$$,$$q$$ y$$p \wedge q$$.

Primero, haz columnas para p y q. Llena las columnas con todas las posibles combinaciones true y false para las dos.

p q
T T
T F
F T
F F

Observe todas las combinaciones de p y q. Siempre que tengamos tablas de verdad con dos variables, así es siempre como llenamos las dos primeras columnas.

A continuación, necesitamos averiguar cuándo$$p\wedge q$$ es verdadero, basado en las dos primeras columnas. p\ wedge q solo puede ser verdadero si AMBOS p y q son verdaderos. Entonces, la tabla terminada se ve así:

Es así como siempre se llena una tabla de verdad con dos variables y su columna “y”.

2. Dibuja una mesa de verdad para$$p$$,$$q$$ y$$p \lor q$$.

Primero, hacer columnas para$$p \lor q$$ y$$q$$, al igual que el Ejemplo A.

p q
T T
T F
F T
F F

A continuación, tenemos que averiguar cuándo$$p \lor q$$ es verdad, con base en las dos primeras columnas. $$p \lor q$$es cierto si$$p$$ OR$$q$$ son verdaderas, o ambas son verdaderas. Entonces, la tabla terminada se ve así:

La diferencia entre$$p \wedge q$$ y$$p \lor q$$ es la segunda y tercera fila. Para “y” ambos$$p$$ y$$q$$ tienen que ser verdad, pero para “o” sólo uno tiene que ser verdad.

#### Determinar las verdades de las variables

Determinar las verdades para$$p \wedge(\sim q \lor r)$$.

Primero, hay tres variables, así que vamos a necesitar todas las combinaciones de sus verdades. Para tres variables, siempre hay 8 combinaciones posibles.

$$p$$ $$q$$ $$r$$
\ (p\) ">T \ (q\) ">T \ (r\) ">T
\ (p\) ">T \ (q\) ">T \ (r\) ">F
\ (p\) ">T \ (q\) ">F \ (r\) ">T
\ (p\) ">T \ (q\) ">F \ (r\) ">F
\ (p\) ">F \ (q\) ">T \ (r\) ">T
\ (p\) ">F \ (q\) ">T \ (r\) ">F
\ (p\) ">F \ (q\) ">F \ (r\) ">T
\ (p\) ">F \ (q\) ">F \ (r\) ">F

A continuación, dirija el$$\sim q$$. Simplemente serán los opuestos de la$$q$$ columna.

$$p$$ $$q$$ $$r$$ $$\sim q$$
\ (p\) ">T \ (q\) ">T \ (r\) ">T \ (\ sim q\) ">F
\ (p\) ">T \ (q\) ">T \ (r\) ">F \ (\ sim q\) ">F
\ (p\) ">T \ (q\) ">F \ (r\) ">T \ (\ sim q\) ">T
\ (p\) ">T \ (q\) ">F \ (r\) ">F \ (\ sim q\) ">T
\ (p\) ">F \ (q\) ">T \ (r\) ">T \ (\ sim q\) ">F
\ (p\) ">F \ (q\) ">T \ (r\) ">F \ (\ sim q\) ">F
\ (p\) ">F \ (q\) ">F \ (r\) ">T \ (\ sim q\) ">T
\ (p\) ">F \ (q\) ">F \ (r\) ">F \ (\ sim q\) ">T

Ahora, hagamos lo que hay entre paréntesis,$$\sim q\lor r$$. Recuerda, porque “o” solo$$\sim q$$ OR$$r$$ tiene que ser verdad. Utilice únicamente las$$r$$ columnas$$\sim q$$ y para determinar los valores de esta columna.

$$p$$ $$q$$ $$r$$ $$\sim q$$ $$\sim q\lor r$$
\ (p\) ">T \ (q\) ">T \ (r\) ">T \ (\ sim q\) ">F \ (\ sim q\ lor r\) ">T
\ (p\) ">T \ (q\) ">T \ (r\) ">F \ (\ sim q\) ">F \ (\ sim q\ lor r\) ">F
\ (p\) ">T \ (q\) ">F \ (r\) ">T \ (\ sim q\) ">T \ (\ sim q\ lor r\) ">T
\ (p\) ">T \ (q\) ">F \ (r\) ">F \ (\ sim q\) ">T \ (\ sim q\ lor r\) ">T
\ (p\) ">F \ (q\) ">T \ (r\) ">T \ (\ sim q\) ">F \ (\ sim q\ lor r\) ">T
\ (p\) ">F \ (q\) ">T \ (r\) ">F \ (\ sim q\) ">F \ (\ sim q\ lor r\) ">F
\ (p\) ">F \ (q\) ">F \ (r\) ">T \ (\ sim q\) ">T \ (\ sim q\ lor r\) ">T
\ (p\) ">F \ (q\) ">F \ (r\) ">F \ (\ sim q\) ">T \ (\ sim q\ lor r\) ">T

Por último, podemos abordar todo el problema,$$p \wedge(\sim q \lor r)$$. Utilice el$$p$$ y$$\sim q\lor r$$ para determinar los valores. Recuerda, para “y” ambos$$p$$ y$$\sim q\lor r$$ debe ser cierto.

$$p$$ $$q$$ $$r$$ $$\sim q$$ $$\sim q\lor r$$ $$p \wedge(\sim q \lor r)$$
\ (p\) ">T \ (q\) ">T \ (r\) ">T \ (\ sim q\) ">F \ (\ sim q\ lor r\) ">T \ (p\ cuña (\ sim q\ lor r)\) ">T
\ (p\) ">T \ (q\) ">T \ (r\) ">F \ (\ sim q\) ">F \ (\ sim q\ lor r\) ">F \ (p\ cuña (\ sim q\ lor r)\) ">F
\ (p\) ">T \ (q\) ">F \ (r\) ">T \ (\ sim q\) ">T \ (\ sim q\ lor r\) ">T \ (p\ cuña (\ sim q\ lor r)\) ">T
\ (p\) ">T \ (q\) ">F \ (r\) ">F \ (\ sim q\) ">T \ (\ sim q\ lor r\) ">T \ (p\ cuña (\ sim q\ lor r)\) ">T
\ (p\) ">F \ (q\) ">T \ (r\) ">T \ (\ sim q\) ">F \ (\ sim q\ lor r\) ">T \ (p\ cuña (\ sim q\ lor r)\) ">F
\ (p\) ">F \ (q\) ">T \ (r\) ">F \ (\ sim q\) ">F \ (\ sim q\ lor r\) ">F \ (p\ cuña (\ sim q\ lor r)\) ">F
\ (p\) ">F \ (q\) ">F \ (r\) ">T \ (\ sim q\) ">T \ (\ sim q\ lor r\) ">T \ (p\ cuña (\ sim q\ lor r)\) ">F
\ (p\) ">F \ (q\) ">F \ (r\) ">F \ (\ sim q\) ">T \ (\ sim q\ lor r\) ">T \ (p\ cuña (\ sim q\ lor r)\) ">F

Escribe una tabla de verdad para las siguientes variables.

Ejemplo$$\PageIndex{1}$$

$$p \wedge \sim p$$

Solución

Primero, haga columnas para$$p$$, luego agregue$$\sim p$$ y finalmente, evalúe$$p \wedge \sim p$$.

$$p$$ $$\sim p$$ $$p \wedge \sim p$$
\ (p\) ">T \ (\ sim p\) ">F \ (p\ cuña\ sim p\) ">F
\ (p\) ">F \ (\ sim p\) ">T \ (p\ cuña\ sim p\) ">F

Ejemplo$$\PageIndex{2}$$

$$\sim p \lor \sim q$$

Solución

Primero, haga columnas para$$p$$ y$$q$$, luego agregue$$\sim p$$ y$$\sim q$$. Por último, evaluar$$\sim p \lor \sim q$$.

$$p$$ $$q$$ $$\sim p$$ $$\sim q$$ $$\sim p \lor \sim q$$
\ (p\) ">$$p \lor \sim q$$ \ (q\) ">T \ (\ sim p\) ">F \ (\ sim q\) ">F \ (\ sim p\ lor\ sim q\) ">F
\ (p\) ">T \ (q\) ">F \ (\ sim p\) ">F \ (\ sim q\) ">T \ (\ sim p\ lor\ sim q\) ">T
\ (p\) ">F \ (q\) ">T \ (\ sim p\) ">T \ (\ sim q\) ">F \ (\ sim p\ lor\ sim q\) ">T
\ (p\) ">F \ (q\) ">F \ (\ sim p\) ">T \ (\ sim q\) ">T \ (\ sim p\ lor\ sim q\) ">T

Ejemplo$$\PageIndex{3}$$

$$p \wedge (q\lor \sim q)$$

Solución

Primero, haz columnas para p y q, luego agrega$$\sim q$$ y$$q\lor \sim q$$. Por último, evaluar$$p\wedge (q\lor \sim q)$$.

$$p$$ $$q$$ $$\sim q$$ $$q\lor \sim q$$ $$p\wedge (q\lor \sim q)$$
\ (p\) ">T \ (q\) ">T \ (\ sim q\) ">F \ (q\ lor\ sim q\) ">T \ (p\ cuña (q\ lor\ sim q)\) ">T
\ (p\) ">T \ (q\) ">F \ (\ sim q\) ">T \ (q\ lor\ sim q\) ">T \ (p\ cuña (q\ lor\ sim q)\) ">T
\ (p\) ">F \ (q\) ">T \ (\ sim q\) ">F \ (q\ lor\ sim q\) ">T \ (p\ cuña (q\ lor\ sim q)\) ">F
\ (p\) ">F \ (q\) ">F \ (\ sim q\) ">T \ (q\ lor\ sim q\) ">T \ (p\ cuña (q\ lor\ sim q)\) ">F

## Revisar

Escribe una tabla de verdad para las siguientes variables.

1. $$(p \wedge q)\lor \sim r$$
2. $$p \lor ( \sim q \lor r)$$
3. $$p \wedge (q \lor \sim r)$$
4. La única diferencia entre #1 y #3 es la colocación del paréntesis. ¿En qué se diferencian las tablas de verdad?
5. ¿Cuándo es$$p \lor q \lor r$$ verdad?
6. $$p \lor q \lor r$$
7. $$(p \lor q) \lor \sim r$$
8. $$( \sim p \wedge \sim q) \wedge r$$
9. $$( \sim p \lor \sim q) \wedge r$$

¿Es válido el siguiente argumento? Si es así, ¿qué ley se está utilizando? HINTA: Las declaraciones podrían estar fuera de orden.

$$p \rightarrow q$$

$$r \rightarrow p$$

$$\therefore r \rightarrow q$$

$$p \rightarrow q$$

$$r \rightarrow q$$

$$\therefore p \rightarrow r$$

$$p \rightarrow \sim r$$

$$r$$

$$\therefore \sim p$$

$$\sim q \rightarrow r$$

$$q$$

$$\therefore \sim r$$

$$p \rightarrow (r \rightarrow s)$$

$$p$$

$$\therefore r \rightarrow s$$

$$r \rightarrow q$$

$$r \rightarrow s$$

$$\therefore q \rightarrow s$$