2.9: Y Y O Declaraciones
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Tablas de verdad para conjunciones y disyunciones.
Las palabras “y” y “o” son comunes en el lenguaje cotidiano. En matemáticas, hay algunas diferencias sutiles que hay que tener en cuenta, especialmente considerando la palabra “o”.
Lloverá o nevará.
¿Cuándo es verdadera esta afirmación y cuándo es falsa?
Introducción a la Lógica
- \(P=It\: is\: snowing.\)
- \(Q=I\: am\: cold.\)
El valor de verdad de una declaración es si la declaración es verdadera o falsa. Como matemático, tu trabajo es determinar cuándo una afirmación lógica es verdadera y cuándo es falsa. Si no tienes suficiente información para determinar si las declaraciones originales son verdaderas o falsas, puedes construir una tabla de verdad para organizar todos los casos posibles.
Consideremos la declaración atómica P sumada a la declaración atómica\(Q\). La siguiente oración se puede escribir usando el símbolo “\(\lor\)” para el conectivo lógico “o”.
\(It\: is \:snowing \:or \:I \:am \:cold.\)
\(P\lor Q\)
Esta afirmación es un poco extraña porque parece implicar que siempre es el caso de que una o ambas de esas declaraciones atómicas está sucediendo. Tu sentido común puede dictar que esta afirmación no es cierta porque por supuesto hay momentos en los que hace sol y estás cálido. ¡Es importante recordar que no todas las afirmaciones son ciertas! Tu trabajo es determinar qué tiene que ser cierto para que la afirmación anterior sea cierta. Para organizar tu trabajo, debes construir una tabla de la verdad. Una tabla de verdad considera que todas las combinaciones posibles de las declaraciones atómicas originales son verdaderas o falsas, y luego usa la lógica para deducir el valor de verdad de la declaración compuesta en cada caso.
Aquí está la tabla de la verdad para OR:
| \(P\) | \(Q\) | \(P \lor Q\) |
| T | T | T |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F |
Observe que hay cuatro posibles combinaciones de verdad de\(P\) y\(Q\) (ambas verdaderas, primera verdadera/segunda falsa, primera falsa/segunda verdadera, ambas falsas). Sólo una de estas combinaciones arroja una declaración falsa para\(P \lor Q\). Lo que esto significa es que la afirmación “Está nevando o tengo frío” sólo es falsa si “está nevando” es falsa y “tengo frío” es falsa. Tenga en cuenta que si “está nevando” es cierto y “tengo frío” también es cierto, entonces “está nevando o tengo frío” es cierto. En matemáticas, la palabra “o” no significa exactamente una u otra. Significa “uno o el otro o ambos”.
A continuación considere la tabla de la verdad para la siguiente afirmación que utiliza el conectivo “y”. La siguiente oración se puede escribir usando el símbolo “\(\wedge\)” para el conectivo lógico “y”.
\(It\: is \:snowing \:and \:I \:am \:cold.\)
\(P\wedge Q\)
Aquí está la tabla de la verdad para Y:
| P | Q | P\ cuña Q |
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | F |
Observe que una declaración compuesta que usa “y” es verdadera solo si cada declaración atómica es individualmente verdadera.
Vea la parte de este video centrada en las tablas de verdad de conjunción y disyunción:
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Antes, se le preguntó cuándo será verdadera y falsa la declaración “Lloverá o nevará”. En inglés, la mayoría de la gente usa la palabra “or” para significar exclusivo “or”. Si te dijeran “puedes tomar un brownie o una galleta de postre”, asumirías que tenías que elegir solo uno y no podrías tener tanto el brownie como la galleta. En matemáticas, la palabra “o” significa “uno u otro o ambos”. Por lo tanto, en la lógica, “o” incluye el caso cuando ambas partes atómicas del estado son verdaderas.
\(P=It\: will\: rain.\)
\(Q=It\: will\: snow.\)
\(P \lor Q\)
Solución
| \(P\) | \(Q\) | \(P \lor Q\) |
| T | T | T |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F |
La declaración sólo es falsa cuando ambas partes de la declaración son falsas. Es decir, la afirmación sólo es falsa si “va a llover” es falsa y “va a nevar” también es falsa. Cuando una o ambas partes de una declaración “o” son verdaderas entonces toda la declaración es verdadera.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
Identificar las declaraciones atómicas en la siguiente oración compuesta. Luego, usa conectivos lógicos para reescribir la oración con símbolos.
Estoy cansada y hambrienta y quiero una hamburguesa o una siesta.
- \(P=I\: am\: tired.\)
- \(Q=I\: am\: hungry.\)
- \(R=I \:want \:a\: burger.\)
- \(S=I\: want\: a\: nap.\)
Solución
La oración podría reescribirse con símbolos como:\((P \wedge Q) \wedge (R \lor S)\)
Ejemplo\(\PageIndex{3}\)
Identificar las declaraciones atómicas en la siguiente oración compuesta. Luego, usa conectivos lógicos para reescribir la oración con símbolos.
Para el almuerzo tomaste un sándwich de jamón y queso y una manzana o una naranja.
- \(A=You\: had\: a\: ham\: and\: cheese\: sandwich\: for\: lunch.\)
- \(B=You\: had\: an\: apple\: for\: lunch.\)
- \(C=You\: had\: an\: orange\: for\: lunch.\)
Solución
La oración podría reescribirse con símbolos como:\(A \wedge (B \lor C)\).
Tenga en cuenta que cada enunciado\(A\)\(B\),,\(C\) contiene las palabras “tuviste” y “para el almuerzo” y es una oración completa.
Ejemplo\(\PageIndex{4}\)
Diagrama de la oración de la Práctica Guiada #1 usando los conectivos lógicos “\(\lor\)” para “o” y “\(\wedge\)” para “y”.
Solución
La parte más difícil de diagramar las conexiones lógicas suele ser determinar qué partes de la oración deben agruparse. En este caso existe una clara separación entre los tres resultados positivos y con los dos negativos:
\((M \wedge B \wedge D) \lor (W \wedge J)\)
Ejemplo\(\PageIndex{5}\)
Usa una tabla de verdad para identificar todos los casos cuando la declaración en la Práctica Guiada #1 sea verdadera o falsa.
Solución
Las tablas de verdad de oraciones complejas pueden ser abrumadoras, especialmente porque 5 declaraciones atómicas significan que debería haber 25 filas en la tabla de verdad para dar cuenta de todas las combinaciones T/F. Para ahorrar tiempo y espacio se puede notar que la afirmación sólo\(M \wedge B \wedge D\) es verdadera cuando\(M\),\(B\), y\(D\) son todas verdaderas y sólo\(W \wedge J\) es verdad cuando ambas\(W\) y\(J\) son verdaderas. Esto significa que ahora solo necesitas 4 filas en la tabla de la verdad.
| \(M \wedge B \wedge D\) | \(W \wedge J\) | (M\ cuña B\ cuña D)\ lor (W\ cuña J) |
| T | T | T |
| F | T | T |
| T | F | T |
| F | F | F |
La afirmación es verdadera si:
- \(M\),\(B\), y\(D\) son todas ciertas.
- \(W\)y ambos\(J\) son ciertos.
- \(M\),\(B\),\(D\),\(W\), y\(J\) son todas ciertas.
La declaración es falsa si:
- No todos\(M\),\(B\), y\(D\) son verdaderos y no ambos de\(W\) y\(J\) son ciertos.
Revisar
Voy a la escuela y hago mi trabajo o me quedo en casa y juego.
1. Identificar las declaraciones atómicas en la oración compuesta anterior.
2. Usa conectivos lógicos para reescribir la oración con símbolos.
Tengo macarrones con queso o bistec y judías verdes o papas.
3. Identificar las declaraciones atómicas en la oración compuesta anterior.
4. Usa conectivos lógicos para reescribir la oración con símbolos.
Yo uso chanclas y ya sea pantalones cortos y una playera o un vestido.
5. Identificar las declaraciones atómicas en la oración compuesta anterior.
6. Usa conectivos lógicos para reescribir la oración con símbolos.
Está oscuro afuera y enciendo una vela.
7. Identificar las declaraciones atómicas en la oración compuesta anterior.
8. Usa conectivos lógicos para reescribir la oración con símbolos.
Iremos a la playa y haremos un picnic o iremos al cine y comeremos palomitas de maíz.
9. Identificar las declaraciones atómicas en la oración compuesta anterior.
10. Usa conectivos lógicos para reescribir la oración con símbolos.
Hacer una tabla de verdad para cada una de las siguientes afirmaciones.
11. \((P \wedge Q) \lor R\)
12. \(P \wedge (Q \lor R)\)
13. \((P \lor Q) \lor R\)
14. \(P \lor (Q \lor R)\)
15. ¿Cómo afecta la colocación de paréntesis a los valores de verdad de las declaraciones compuestas?
El vocabulario
| Término | Definición |
|---|---|
| \(\wedge\) | Una conjunción es una declaración “y”, que es una declaración que combina dos declaraciones lógicas y sólo es verdadera cuando ambas declaraciones son verdaderas. El símbolo para “y” es “\(\wedge\)”. |
| \(\lor\) | Una disyunción es una declaración “o”, que es una declaración que combina dos declaraciones lógicas y solo es falsa cuando ambas declaraciones son falsas. El símbolo para “o” es “\(\lor\)”. |
| declaración atómica | Una declaración atómica es una declaración declarativa sin conectivos lógicos que tiene un valor de verdad. |
| conjunción | Una conjunción es una declaración “y”, que es una declaración que combina dos declaraciones lógicas y sólo es verdadera cuando ambas declaraciones son verdaderas. El símbolo para “y” es “\(\wedge\)”. |
| disyunción | Una disyunción es una declaración “o” que combina dos declaraciones lógicas, y solo es falsa cuando ambas declaraciones son falsas. El símbolo para “o” es “\(\lor\)”. |
| valor de verdad | El valor de verdad de una declaración es si la declaración es verdadera o falsa. |
Recursos adicionales
Elemento Interactivo
Práctica: Y Y O Declaraciones
Mundo real: Lógica binaria