4.29: Teorema de Pitágoras para clasificar triángulos
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Mientras pinta una pared en tu casa algún día, te das cuenta de que la pared que estás pintando parece “inclinada”, como si pudiera caerse. Te das cuenta que si la pared está erguida, el ángulo entre la pared y el piso es de noventa grados. Después de algunas medidas cuidadosas, encuentras que la distancia desde la parte inferior de la escalera hasta la pared es de 3 pies, la parte superior de la escalera está en un punto a 10 pies de altura en la pared y la escalera mide 12 pies de largo. ¿Se puede determinar si la pared sigue erguida, o si está empezando a inclinarse?
Clasificación de triángulos usando el teorema de Pitágoras
Podemos usar el Teorema de Pitágoras para ayudar a determinar si un triángulo es un triángulo rectángulo, si es agudo, o si es obtuso.
Para ayudarte a visualizar esto, piensa en un triángulo equilátero con lados de longitud 5. Sabemos que se trata de un triángulo agudo. Si enchufa 5 por cada número en el Teorema de Pitágoras obtenemos\(5^2+5^2=5^2\) y\(50>25\). Por lo tanto\(a^2+b^2>c^2\), si\(a\), entonces longitudes\(b\),, y\(c\) conforman un triángulo agudo. Por el contrario\(a^2+b^2<c^2\), si\(a\), entonces longitudes\(b\),, y\(c\) conforman los lados de un triángulo obtuso. Es importante señalar que la longitud “\(c\)′′ es siempre la más larga.
Usando el Teorema de Pitágoras
Determinar si las siguientes longitudes forman un triángulo agudo, derecho u obtuso.
- 5, 6, 7
Enchufe cada conjunto de longitudes en el Teorema de Pitágoras.
\(5^2+6^2? 7^2\)
\(25+36? 49\)
\(61 >49\)
Porque\(61>49\), se trata de un triángulo agudo.
- 5, 10, 14
Enchufe cada conjunto de longitudes en el Teorema de Pitágoras.
\(5^2+10^2? 14^2\)
\(25+100? 196\)
\(125 <196\)
Porque\(125<196\), se trata de un triángulo obtuso.
- 12, 35, 37
Enchufe cada conjunto de longitudes en el Teorema de Pitágoras.
\(12^2+35^2? 37^2\)
\(144+1225? 1369\)
\(1369 =1369\)
Debido a que los dos lados son iguales, se trata de un triángulo rectángulo.
NOTA: Todas las longitudes en el problema anterior representan las longitudes de los lados de un triángulo. Recordemos el Teorema de la Desigualdad del Triángulo a partir de la geometría que establece: La longitud de un lado en un triángulo es menor que la suma de los otros dos lados. Por ejemplo, 4, 7 y 13 no pueden ser los lados de un triángulo porque no\(4+7\) es mayor que 13.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Anteriormente, se le dio un problema al preguntar si la pared sigue erguida, o si está empezando a inclinarse.
Solución
La escalera está haciendo un triángulo con el piso como un lado, la pared como otro, y la escalera misma sirve como hipotenusa. Para ver si la pared se inclina, se puede determinar el tipo de triángulo que se hace con estas longitudes (derecha, aguda u obtusa). Si el triángulo es un triángulo rectángulo, entonces la pared está erguida. De lo contrario, se está inclinando.
Tapando las longitudes de los lados en el Teorema de Pitágoras:
\(3^2+10^2? 12^2\)
\(9+100 ? 144\)
\(109 <144\)
Sí, estabas en lo cierto. Porque\(109 < 144\), se trata de un triángulo obtuso. El muro se inclina con un ángulo mayor a noventa grados.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
Determinar si las siguientes longitudes forman un triángulo agudo, derecho u obtuso.
8, 15, 20
Solución
Enchufe cada conjunto de longitudes en el Teorema de Pitágoras.
\(8^2+15^2? 20^2\)
\(64+225? 400\)
\(289 <400\)
Porque\(289<400\), se trata de un triángulo obtuso.
Ejemplo\(\PageIndex{3}\)
Determinar si las siguientes longitudes forman un triángulo agudo, derecho u obtuso.
15, 22, 25
Solución
Enchufe cada conjunto de longitudes en el Teorema de Pitágoras.
\(15^2+22^2? 25^2\)
\(225+484? 625\)
\(709>625\)
Porque\(709>625\), se trata de un triángulo agudo.
Revisar
Determina si cada una de las siguientes longitudes forman un triángulo rectángulo.
- \(9, \:40,\: 41.\)
- \(12, \:24, \:26.\)
- \(5, \:10, \:14.\)
- \(3, \:3\sqrt{3}, \:6.\)
Determinar si las siguientes longitudes forman un triángulo agudo, derecho u obtuso.
- \(10, \:15, \:18.\)
- \(4, \:20, \:21.\)
- \(15, \:16, \:17.\)
- \(15, \:15, \:15\sqrt{2}.\)
- \(12, \:17, \:19.\)
- \(3, \:4, \:5.\)
- \(12, \:12\sqrt{3}, \:24.\)
- \(2, \:4, \:5.\)
- \(3,\: 5,\: 7.\)
- Explica por qué si\(a^2+b^2<c^2\) entonces el triángulo es obtuso.
- Explica por qué si\(a^2+b^2>c^2\) entonces el triángulo es agudo.
vocabulario
| Término | Definición |
|---|---|
| Triángulo Agudo | Un triángulo agudo tiene tres ángulos que cada uno mide menos de 90 grados. |
| Triángulo Obtuso | Un triángulo obtuso es un triángulo con un ángulo que es mayor a 90 grados. |
| Triángulo Recto | Un triángulo rectángulo es un triángulo con un ángulo de 90 grados. |
Recursos adicionales
Elemento Interactivo
Video: El teorema de Pitágoras y Lo Converso del Teorema de Pitágoras
Práctica: Teorema de Pitágoras para clasificar triángulos