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LibreTexts Español

4.42:45-45-90 Triángulos Rectos

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    Los tiempos de pierna\(\sqrt{2}\) son iguales a hipotenusa

    Un triángulo rectángulo con patas congruentes y ángulos agudos es un triángulo rectángulo isósceles. Este triángulo también se llama triángulo 45-45-90 (llamado así por las medidas del ángulo).

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    Figura\(\PageIndex{1}\)

    \(\Delta ABC\)es un triángulo rectángulo con\(m\angle A=90^{\circ}\),\(\overline{AB}\cong \overline{AC}\) y\(m\angle B=m\angle C=45^{\circ}\).

    45-45-90 Teorema: Si un triángulo rectángulo es isósceles, entonces sus lados están en la proporción\(x:x:x\sqrt{2}\). Para cualquier triángulo rectángulo isósceles, las patas son x y la hipotenusa es siempre\(x\sqrt{2}\).

    ¿Y si te dieran un triángulo rectángulo isósceles y la longitud de uno de sus lados? ¿Cómo pudiste averiguar las longitudes de sus otros lados?

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Encuentra la longitud de\(x\).

    f-d_99f1d287abd14b0b76cb8421e384a41a2a8c7e039df7b976e95a7455+image_tiny+image_tiny.png
    Figura\(\PageIndex{2}\)

    Solución

    Usa la\(x:x:x\sqrt{2}\) relación.

    Aquí, se nos da la hipotenusa. Resolver para\(x\) en la proporción.

    \(\begin{aligned} x\sqrt{2}&=16 \\ x&=\dfrac{16}{\sqrt{2}}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{16\sqrt{2}}{2}=8\sqrt{2}\end{aligned}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

    Encuentra la longitud de\(x\), donde\(x\) esta la hipotenusa de un triángulo 45-45-90 con longitudes de pierna de\(5\sqrt{3}\).

    Solución

    Usa la\(x:x:x\sqrt{2}\) relación.

    \(x=5\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}=5\sqrt{6}\)

    Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

    Encuentra la longitud del lado faltante.

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    Figura\(\PageIndex{3}\)

    Solución

    Usa la\(x:x:x\sqrt{2}\) relación. \(TV=6\)porque es igual a\(ST\). Entonces,\(SV=6\cdot \sqrt{2}=6\sqrt{2}\).

    Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

    Encuentra la longitud del lado faltante.

    f-d_3d3f24ccca5492b908cd782520e20675d3ede898c5ec33f64a71392b+image_tiny+image_tiny.png
    Figura\(\PageIndex{4}\)

    Solución

    Usa la\(x:x:x\sqrt{2}\) relación. \(AB=9\sqrt{2}\)porque es igual a\(AC\). Entonces,\(BC=9\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=9\cdot 2=18\).

    Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

    Un cuadrado tiene una diagonal con longitud 10, ¿cuáles son las longitudes de los lados?

    Solución

    f-d_5fc04f48c4f69c2d691f74e4f651c0f490d14c27053c327d6a10ac8c+image_tiny+image_tiny.png
    Figura\(\PageIndex{5}\)

    Sabemos que la mitad de un cuadrado es un triángulo 45-45-90, entonces\(10=s\sqrt{2}\).

    \(\begin{aligned} s\sqrt{2}&=10 \\ s&=10\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}\sqrt{2}=10\sqrt{2}2=5\sqrt{2}\end{aligned}\)

    Revisar

    1. En un triángulo rectángulo isósceles, si una pierna es 4, entonces la hipotenusa es __________.
    2. En un triángulo rectángulo isósceles, si una pierna es\(x\), entonces la hipotenusa es __________.
    3. Un cuadrado tiene lados de longitud 15. ¿Cuál es la longitud de la diagonal?
    4. La diagonal de un cuadrado es 22. ¿Cuál es la longitud de cada lado?

    Para las preguntas 5-11, encuentra los largos de los lados faltantes. Simplifica todos los radicales.

    1. f-d_ad4ff816a423d2518b3e145ecab0af844148a342cf715f2822839d05+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{6}\)
    2. f-d_2b1b777ada9d469ac1557e5d728dd5cadb32b271a43a171ca1e0acd1+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{7}\)
    3. f-d_fec758b4bed60f787ecf7cc3413a24604f2a8fd6e3e76219c6d788e6+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{8}\)
    4. f-d_1d17718488605d238c4e7fbaeba4ceb9d28cde71fc22c41862df339a+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{9}\)
    5. f-d_f6ca081119433a93c7fcbb9b3787df89f9ef17b991a71184d3c95ec2+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{10}\)
    6. f-d_51a2c6aaf6051cea58e8a5cb038ac539c3bb367e7fb415f9b19fe80e+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{11}\)
    7. f-d_d30d65648789cfd30ec90564840c25e67666fe0715e5642fcb638d+image_tiny+image_tiny.png
      Figura\(\PageIndex{12}\)

    Reseña (Respuestas)

    Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 8.5.

    Recursos

    vocabulario

    Término Definición
    Teorema 45-90 Para cualquier triángulo rectángulo isósceles, si las patas son x unidades de largo, la hipotenusa es siempre\(x\sqrt{2}\).
    45-45-90 Triángulo Un triángulo 45-45-90 es un triángulo rectángulo especial con ángulos de\(45^{\circ}\),\(45^{\circ}\), y\(90^{\circ}\).
    Hipotenusa La hipotenusa de un triángulo rectángulo es el lado más largo del triángulo rectángulo. Está frente al ángulo recto.
    Patas de un Triángulo Recto Las patas de un triángulo rectángulo son los dos lados más cortos del triángulo rectángulo. Las patas están adyacentes al ángulo recto.
    Radical El signo\(\sqrt\), o raíz cuadrada,.

    Recursos adicionales

    Elemento Interactivo

    Video: Resolviendo triángulos rectos especiales

    Actividades: 45-45-90 Triángulos Rectos Preguntas de Discusión

    Ayudas de estudio: Guía de estudio de triángulos rectos especiales

    Práctica: 45-45-90 Triángulos Rectos

    Mundo real: Combatiendo la guerra contra las drogas usando geometría y triángulos especiales


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