4.42:45-45-90 Triángulos Rectos
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Un triángulo rectángulo con patas congruentes y ángulos agudos es un triángulo rectángulo isósceles. Este triángulo también se llama triángulo 45-45-90 (llamado así por las medidas del ángulo).
\(\Delta ABC\)es un triángulo rectángulo con\(m\angle A=90^{\circ}\),\(\overline{AB}\cong \overline{AC}\) y\(m\angle B=m\angle C=45^{\circ}\).
45-45-90 Teorema: Si un triángulo rectángulo es isósceles, entonces sus lados están en la proporción\(x:x:x\sqrt{2}\). Para cualquier triángulo rectángulo isósceles, las patas son x y la hipotenusa es siempre\(x\sqrt{2}\).
¿Y si te dieran un triángulo rectángulo isósceles y la longitud de uno de sus lados? ¿Cómo pudiste averiguar las longitudes de sus otros lados?
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Encuentra la longitud de\(x\).
Solución
Usa la\(x:x:x\sqrt{2}\) relación.
Aquí, se nos da la hipotenusa. Resolver para\(x\) en la proporción.
\(\begin{aligned} x\sqrt{2}&=16 \\ x&=\dfrac{16}{\sqrt{2}}\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{16\sqrt{2}}{2}=8\sqrt{2}\end{aligned}\)
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
Encuentra la longitud de\(x\), donde\(x\) esta la hipotenusa de un triángulo 45-45-90 con longitudes de pierna de\(5\sqrt{3}\).
Solución
Usa la\(x:x:x\sqrt{2}\) relación.
\(x=5\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}=5\sqrt{6}\)
Ejemplo\(\PageIndex{3}\)
Encuentra la longitud del lado faltante.
Solución
Usa la\(x:x:x\sqrt{2}\) relación. \(TV=6\)porque es igual a\(ST\). Entonces,\(SV=6\cdot \sqrt{2}=6\sqrt{2}\).
Ejemplo\(\PageIndex{4}\)
Encuentra la longitud del lado faltante.
Solución
Usa la\(x:x:x\sqrt{2}\) relación. \(AB=9\sqrt{2}\)porque es igual a\(AC\). Entonces,\(BC=9\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=9\cdot 2=18\).
Ejemplo\(\PageIndex{5}\)
Un cuadrado tiene una diagonal con longitud 10, ¿cuáles son las longitudes de los lados?
Solución
Sabemos que la mitad de un cuadrado es un triángulo 45-45-90, entonces\(10=s\sqrt{2}\).
\(\begin{aligned} s\sqrt{2}&=10 \\ s&=10\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}\sqrt{2}=10\sqrt{2}2=5\sqrt{2}\end{aligned}\)
Revisar
- En un triángulo rectángulo isósceles, si una pierna es 4, entonces la hipotenusa es __________.
- En un triángulo rectángulo isósceles, si una pierna es\(x\), entonces la hipotenusa es __________.
- Un cuadrado tiene lados de longitud 15. ¿Cuál es la longitud de la diagonal?
- La diagonal de un cuadrado es 22. ¿Cuál es la longitud de cada lado?
Para las preguntas 5-11, encuentra los largos de los lados faltantes. Simplifica todos los radicales.
-
Figura\(\PageIndex{6}\) -
Figura\(\PageIndex{7}\) -
Figura\(\PageIndex{8}\) -
Figura\(\PageIndex{9}\) -
Figura\(\PageIndex{10}\) -
Figura\(\PageIndex{11}\) -
Figura\(\PageIndex{12}\)
Reseña (Respuestas)
Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 8.5.
Recursos
vocabulario
| Término | Definición |
|---|---|
| Teorema 45-90 | Para cualquier triángulo rectángulo isósceles, si las patas son x unidades de largo, la hipotenusa es siempre\(x\sqrt{2}\). |
| 45-45-90 Triángulo | Un triángulo 45-45-90 es un triángulo rectángulo especial con ángulos de\(45^{\circ}\),\(45^{\circ}\), y\(90^{\circ}\). |
| Hipotenusa | La hipotenusa de un triángulo rectángulo es el lado más largo del triángulo rectángulo. Está frente al ángulo recto. |
| Patas de un Triángulo Recto | Las patas de un triángulo rectángulo son los dos lados más cortos del triángulo rectángulo. Las patas están adyacentes al ángulo recto. |
| Radical | El signo\(\sqrt\), o raíz cuadrada,. |
Recursos adicionales
Elemento Interactivo
Video: Resolviendo triángulos rectos especiales
Actividades: 45-45-90 Triángulos Rectos Preguntas de Discusión
Ayudas de estudio: Guía de estudio de triángulos rectos especiales
Práctica: 45-45-90 Triángulos Rectos
Mundo real: Combatiendo la guerra contra las drogas usando geometría y triángulos especiales