5.9: Paralelogramos

Encuentra medidas de ángulo desconocidas de cuadriláteros con dos pares de lados paralelos.

Un paralelogramo es un cuadrilátero con dos pares de lados paralelos.

Figura\(\PageIndex{1}\)

Observe que cada par de lados está marcado paralelo (para las dos últimas formas, recuerde que cuando dos líneas son perpendiculares a la misma línea entonces son paralelas). Los paralelogramas tienen muchas propiedades interesantes.

Datos sobre los paralelogramos

1. Teorema de lados opuestos: Si un cuadrilátero es un paralelogramo, entonces ambos pares de lados opuestos son congruentes.

Si

Figura\(\PageIndex{2}\)

entonces

Figura\(\PageIndex{3}\)

2. Teorema de ángulos opuestos: Si un cuadrilátero es un paralelogramo, entonces ambos pares de ángulos opuestos son congruentes.

Si

Figura\(\PageIndex{4}\)

entonces

Figura\(\PageIndex{5}\)

3. Teorema de ángulos consecutivos: Si un cuadrilátero es un paralelogramo, entonces todos los pares de ángulos consecutivos son complementarios.

Si

Figura\(\PageIndex{6}\)

entonces

Figura\(\PageIndex{7}\)

\(\begin{aligned} m\angle A+m\angle D&=180^{\circ} \\ m\angle A+m\angle B&=180^{\circ} \\ m\angle B+m\angle C&=180^{\circ} \\ m\angle C+m\angle D&=180^{\circ} \end{aligned}\)

4. Teorema de las diagonales del paralelogramo: Si un cuadrilátero es un paralelogramo, entonces las diagonales se bisecan entre sí.

Si

Figura\(\PageIndex{8}\)

entonces

Figura\(\PageIndex{9}\)

¿Y si te dijeran que\(FGHI\) es un paralelogramo y se te da la longitud de FG\) y la medida de\(\angle F\)? ¿Qué puedes determinar sobre\(HI\)\(\angle H\),\(\angle G\), y\(\angle I\)?

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Demostrar que las diagonales de\(FGHJ\) bisectar entre sí.

Figura\(\PageIndex{10}\)

Solución

Encuentra el punto medio de cada diagonal.

\(\begin{aligned}\text{ Midpoint of } \overline{FH}:& \left(\dfrac{−4+6}{2}, \dfrac{5−4}{2}\right)=(1,0.5) \\ \text{ Midpoint of } of\: \overline{GJ}: & \left(\dfrac{3−1}{2}, \dfrac{3−2}{2}\tight)=(1,0.5)\end{aligned}\)

Debido a que son el mismo punto, las diagonales se cruzan en el punto medio de la otra. Esto significa que se bisectan entre sí.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Encuentre las medidas de a y b en el paralelogramo a continuación:

Figura\(\PageIndex{11}\)

Solución

Los ángulos consecutivos son suplementarios por lo\(127^{\circ}+m\angle b=180^{\circ}\) que significa que\(m\angle b=53^{\circ}\). \(a\)y\(b\) son ángulos interiores alternos y dado que las líneas son paralelas (ya que es un paralelogramo), eso significa que\(m\angle a=m\angle b=53^{\circ}\).

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

\(ABCD\)es un paralelogramo. Si\(m\angle A=56^{\circ}\), encuentra la medida de los otros ángulos.

Solución

Primero dibuja un cuadro. Al etiquetar los vértices, se listan las letras, en orden.

Figura\(\PageIndex{12}\)

Si\(m\angle A=56^{\circ}\), entonces\(m\angle C=56^{\circ}\) por el Teorema de Ángulos Opuestos.

\ (\ begin {alineado}
&m\ ángulo A+m\ ángulo B=180^ {\ circ}\ quad\ text {por el Teorema de Ángulos Consecutivos.}\\
&56^ {\ circ} +m\ ángulo B=180^ {\ circ}\\
&m\ ángulo B=124^ {\ circ}\ quad m\ ángulo D=124^ {\ circ}\ quad\ text {porque es un ángulo opuesto a}\ ángulo B
\ end {alineado}\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Encuentra los valores de\(x\) y\(y\).

Figura\(\PageIndex{13}\)

Solución

Recuerda que los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes. Configura ecuaciones y resuelve.

\(\begin{aligned} 6x−7&=2x+9 \\ 4x&=16 \\ x&=4 \\ y+3&=12 \\ y&=9\end{aligned} \)

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Demostrar el teorema de lados opuestos.

Figura\(\PageIndex{14}\)

Solución

Dado:\(ABCD\) es un paralelogramo con diagonal\(\overline{BD}\)

Demostrar:\(\overline{AB}\cong \overline{DC}\),\(\overline{AD}\cong \overline{BC} \)

Declaración	Razón
1. \(ABCD\)es un paralelogramo con diagonal\(\overline{BD}\)	1. Dado
2. \(\overline{AB}\parallel \overline{DC}\),\(\overline{AD}\parallel \overline{BC}\)	2. Definición de un paralelogramo
3. \(\angle ABD\cong \angle BDC\),\(\angle ADB\cong \angle DBC\)	3. Teorema de ángulos interiores alternos
4. \(\overline{DB}\cong \overline{DB}\)	4. PoC reflexivo
5. \(\Delta ABD\cong \Delta CDB\)	5. ASA
6. \(\overline{AB}\cong \overline{DC}\),\(\overline{AD}\cong \overline{BC}\)	6. CPCTC

La prueba del Teorema de Ángulos Opuestos es casi idéntica.

Revisar

\(ABCD\)es un paralelogramo. Rellena los espacios en blanco a continuación.

Figura\(\PageIndex{15}\)

1. Si\(AB=6\), entonces\(CD= \text{______}\).
2. Si\(AE=4\), entonces\(AC= \text{______}\).
3. Si\(m\angle ADC=80^{\circ}\),\(m\angle DAB = \text{______}\).
4. Si\(m\angle BAC=45^{\circ}\),\(m\angle ACD = \text{______}\).
5. Si\(m\angle CBD=62^{\circ}\),\(m\angle ADB = \text{______}\).
6. Si\(DB=16\), entonces\(DE = \text{______}\).
7. Si\( m\angle B=72^{\circ}\) en paralelogramo\(ABCD\), encuentra los otros tres ángulos.
8. Si\(m\angle S=143^{\circ}\) en paralelogramo\(PQRS\), encuentra los otros tres ángulos.
9. Si está\(\overline{AB}\perp \overline{BC}\) en paralelogramo\(ABCD\), encuentre la medida de los cuatro ángulos.
10. Si\(m\angle F=x^{\circ}\) en paralelogramo\(EFGH\), encuentra los otros tres ángulos.

Para las preguntas 11-18, encuentre los valores de la (s) variable (s). Todas las cifras a continuación son paralelogramos.

11. 

    Figura\(\PageIndex{16}\)

12. 

    Figura\(\PageIndex{17}\)

13. 

    Figura\(\PageIndex{18}\)

14. 

    Figura\(\PageIndex{19}\)

15. 

    Figura\(\PageIndex{20}\)

16. 

    Figura\(\PageIndex{21}\)

17. 

    Figura\(\PageIndex{22}\)

18. 

    Figura\(\PageIndex{23}\)

Usa el paralelogramo\(WAVE\) para encontrar:

Figura\(\PageIndex{24}\)

19. \(m\angle AWE\)
20. \(m\angle ESV\)
21. \(m\angle WEA\)
22. \(m\angle AVW\)

Encuentra el punto de intersección de las diagonales para ver si\(EFGH\) es un paralelogramo.

23. \(E(−1,3), F(3,4), G(5,−1), H(1,−2)\)
24. \(E(3,−2), F(7,0), G(9,−4), H(5,−4)\)
25. \(E(−6,3), F(2,5), G(6,−3), H(−4,−5)\)
26. \(E(−2,−2), F(−4,−6), G(−6,−4), H(−4,0)\)

Rellene los espacios en blanco en las pruebas a continuación.

27. Teorema de ángulos opuestos

Figura\(\PageIndex{25}\)

Dado:\(ABCD\) es un paralelogramo con diagonal\(\overline{BD}\)

Demostrar:\(\angle A\cong \angle C\)

Declaración	Razón
1.	1. Dado
2. \(\overline{AB}\parallel \overline{DC}\),\(\overline{AD}\parallel \overline{BC}\)	2.
3.	3. Teorema de ángulos interiores alternos
4.	4. PoC reflexivo
5. \(\Delta ABD\cong \Delta CDB\)	5.
6. \(\angle A\cong \angle C\)	6.

28. Teorema de las diagonales del paralelogramo

Figura\(\PageIndex{26}\)

Dado:\(ABCD\) es un paralelogramo con diagonales\(\overline{BD}\) y\(\overline{AC}\)

Demostrar:\(\overline{AE}\cong \overline{EC}\),\(\overline{DE}\cong \overline{EB}\)

Declaración	Razón
1.	1.
2.	2. Definición de un paralelogramo
3.	3. Teorema de ángulos interiores alternos
4. \(\overline{AB}\cong \overline{DC}\)	4.
5.	5.
6. \( \overline{AE}\cong \overline{EC}\),\(\overline{DE}\cong \overline{EB}\)	6.

29. Encontrar\(x\),\(y^{\circ}\), y\(z^{\circ}\). (Los dos cuadriláteros con el mismo lado son paralelogramos.)

Figura\(\PageIndex{27}\)

El vocabulario

Término	Definición
paralelogramo	Un cuadrilátero con dos pares de lados paralelos. Un paralelogramo puede ser un rectángulo, un rombo o un cuadrado, pero no necesita ser ninguno de los tres.

Recursos adicionales

Elemento Interactivo

Video: Principios de paralelogramos - Básico

Actividades: Paralelogramas Preguntas de Discusión

Ayudas de estudio: Guía de estudio de paralelogramos

Práctica: Paralelogramos

Mundo Real: Paralelogramos