5.9: Paralelogramos
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Un paralelogramo es un cuadrilátero con dos pares de lados paralelos.
![f-d_ff6ff6ce996bf5f0d715a1f7816d666fd4538d7589e5fa43db6b87bf+image_tiny+image_tiny.png](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/1781/f-d_ff6ff6ce996bf5f0d715a1f7816d666fd4538d7589e5fa43db6b87bf%252BIMAGE_TINY%252BIMAGE_TINY.png)
Observe que cada par de lados está marcado paralelo (para las dos últimas formas, recuerde que cuando dos líneas son perpendiculares a la misma línea entonces son paralelas). Los paralelogramas tienen muchas propiedades interesantes.
Datos sobre los paralelogramos
- Teorema de lados opuestos: Si un cuadrilátero es un paralelogramo, entonces ambos pares de lados opuestos son congruentes.
Si
![f-d_6cc6f1714d92491c4dc1108f4513dd757386dd171c6c30bcc62dbb3a+image_tiny+image_tiny.png](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/1782/f-d_6cc6f1714d92491c4dc1108f4513dd757386dd171c6c30bcc62dbb3a%252BIMAGE_TINY%252BIMAGE_TINY.png)
entonces
![F-D_368D168609DC045459D5E70FAA3765B22ECA0F6C4F916BE35D17E8AE+Image_Tiny+Image_Tiny.png](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/1783/f-d_368d168609dc045459d5e70faa3765b22eca0f6c4f916be35d17e8ae%252BIMAGE_TINY%252BIMAGE_TINY.png)
2. Teorema de ángulos opuestos: Si un cuadrilátero es un paralelogramo, entonces ambos pares de ángulos opuestos son congruentes.
Si
![F-D_75F9C402DA32018E3A196BE527E867E32A2B2732FDB6667B79E501A7+Image_Tiny+Image_Tiny.png](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/1784/f-d_75f9c402da32018e3a196be527e867e32a2b2732fdb6667b79e501a7%252BIMAGE_TINY%252BIMAGE_TINY.png)
entonces
![f-d_38a3a7e2860bd48a289437b11c5d8d38969c1bee2977b985fe32989e+image_tiny+image_tiny.png](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/1785/f-d_38a3a7e2860bd48a289437b11c5d8d38969c1bee2977b985fe32989e%252BIMAGE_TINY%252BIMAGE_TINY.png)
3. Teorema de ángulos consecutivos: Si un cuadrilátero es un paralelogramo, entonces todos los pares de ángulos consecutivos son complementarios.
Si
![F-D_75F9C402DA32018E3A196BE527E867E32A2B2732FDB6667B79E501A7+Image_Tiny+Image_Tiny.png](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/1784/f-d_75f9c402da32018e3a196be527e867e32a2b2732fdb6667b79e501a7%252BIMAGE_TINY%252BIMAGE_TINY.png)
entonces
![f-d_38a3a7e2860bd48a289437b11c5d8d38969c1bee2977b985fe32989e+image_tiny+image_tiny.png](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/1785/f-d_38a3a7e2860bd48a289437b11c5d8d38969c1bee2977b985fe32989e%252BIMAGE_TINY%252BIMAGE_TINY.png)
\(\begin{aligned} m\angle A+m\angle D&=180^{\circ} \\ m\angle A+m\angle B&=180^{\circ} \\ m\angle B+m\angle C&=180^{\circ} \\ m\angle C+m\angle D&=180^{\circ} \end{aligned}\)
4. Teorema de las diagonales del paralelogramo: Si un cuadrilátero es un paralelogramo, entonces las diagonales se bisecan entre sí.
Si
![F-D_75F9C402DA32018E3A196BE527E867E32A2B2732FDB6667B79E501A7+Image_Tiny+Image_Tiny.png](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/1784/f-d_75f9c402da32018e3a196be527e867e32a2b2732fdb6667b79e501a7%252BIMAGE_TINY%252BIMAGE_TINY.png)
entonces
![F-D_0F402F150856274CE28E896C9006901772509ECE54673EF6843EA6+Image_Tiny+Image_Tiny.png](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/1786/f-d_0f402f150856274ce28e896c9006901772509ecee54673eff6843ea6%252BIMAGE_TINY%252BIMAGE_TINY.png)
¿Y si te dijeran que\(FGHI\) es un paralelogramo y se te da la longitud de FG\) y la medida de\(\angle F\)? ¿Qué puedes determinar sobre\(HI\)\(\angle H\),\(\angle G\), y\(\angle I\)?
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Demostrar que las diagonales de\(FGHJ\) bisectar entre sí.
![f-d_03a8e7d7267d582bcda6e32549da3b61910abd4aa3983417573f8595+image_tiny+image_tiny.png](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/1787/f-d_03a8e7d7267d582bcda6e32549da3b61910abd4aa3983417573f8595%252BIMAGE_TINY%252BIMAGE_TINY.png)
Solución
Encuentra el punto medio de cada diagonal.
\(\begin{aligned}\text{ Midpoint of } \overline{FH}:& \left(\dfrac{−4+6}{2}, \dfrac{5−4}{2}\right)=(1,0.5) \\ \text{ Midpoint of } of\: \overline{GJ}: & \left(\dfrac{3−1}{2}, \dfrac{3−2}{2}\tight)=(1,0.5)\end{aligned}\)
Debido a que son el mismo punto, las diagonales se cruzan en el punto medio de la otra. Esto significa que se bisectan entre sí.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
Encuentre las medidas de a y b en el paralelogramo a continuación:
![f-d_345c1eb74af71473e0e2933ba2798bd8cc094438b8f45c2dcebd9989+image_tiny+image_tiny.png](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/1788/f-d_345c1eb74af71473e0e2933ba2798bd8cc094438b8f45c2dcebd9989%252BIMAGE_TINY%252BIMAGE_TINY.png)
Solución
Los ángulos consecutivos son suplementarios por lo\(127^{\circ}+m\angle b=180^{\circ}\) que significa que\(m\angle b=53^{\circ}\). \(a\)y\(b\) son ángulos interiores alternos y dado que las líneas son paralelas (ya que es un paralelogramo), eso significa que\(m\angle a=m\angle b=53^{\circ}\).
Ejemplo\(\PageIndex{3}\)
\(ABCD\)es un paralelogramo. Si\(m\angle A=56^{\circ}\), encuentra la medida de los otros ángulos.
Solución
Primero dibuja un cuadro. Al etiquetar los vértices, se listan las letras, en orden.
![f-d_c5df69650ecbb0d4710c414d22b150ec22f31e9d7ddb1d0854803dda+image_tiny+image_tiny.png](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/1789/f-d_c5df69650ecbb0d4710c414d22b150ec22f31e9d7ddb1d0854803dda%252BIMAGE_TINY%252BIMAGE_TINY.png)
Si\(m\angle A=56^{\circ}\), entonces\(m\angle C=56^{\circ}\) por el Teorema de Ángulos Opuestos.
\ (\ begin {alineado}
&m\ ángulo A+m\ ángulo B=180^ {\ circ}\ quad\ text {por el Teorema de Ángulos Consecutivos.}\\
&56^ {\ circ} +m\ ángulo B=180^ {\ circ}\\
&m\ ángulo B=124^ {\ circ}\ quad m\ ángulo D=124^ {\ circ}\ quad\ text {porque es un ángulo opuesto a}\ ángulo B
\ end {alineado}\)
Ejemplo\(\PageIndex{4}\)
Encuentra los valores de\(x\) y\(y\).
![f-d_bbd796e60f9972dc63a286a56789a9500fb9e460ff1fa19cbbf0f8b5+image_tiny+image_tiny.png](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/1790/f-d_bbd796e60f9972dc63a286a56789a9500fb9e460ff1fa19cbbf0f8b5%252BIMAGE_TINY%252BIMAGE_TINY.png)
Solución
Recuerda que los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes. Configura ecuaciones y resuelve.
\(\begin{aligned} 6x−7&=2x+9 \\ 4x&=16 \\ x&=4 \\ y+3&=12 \\ y&=9\end{aligned} \)
Ejemplo\(\PageIndex{5}\)
Demostrar el teorema de lados opuestos.
![F-D_481247021bd2921618edf2f5e05543ff7668412a6a797825b7b69f29+image_tiny+image_tiny+image_tiny.png](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/1791/f-d_481247021bd2921618edf2f5e05543ff7668412a6a797825b7b69f29%252BIMAGE_TINY%252BIMAGE_TINY.png)
Solución
Dado:\(ABCD\) es un paralelogramo con diagonal\(\overline{BD}\)
Demostrar:\(\overline{AB}\cong \overline{DC}\),\(\overline{AD}\cong \overline{BC} \)
Declaración | Razón |
---|---|
1. \(ABCD\)es un paralelogramo con diagonal\(\overline{BD}\) | 1. Dado |
2. \(\overline{AB}\parallel \overline{DC}\),\(\overline{AD}\parallel \overline{BC}\) | 2. Definición de un paralelogramo |
3. \(\angle ABD\cong \angle BDC\),\(\angle ADB\cong \angle DBC\) | 3. Teorema de ángulos interiores alternos |
4. \(\overline{DB}\cong \overline{DB}\) | 4. PoC reflexivo |
5. \(\Delta ABD\cong \Delta CDB\) | 5. ASA |
6. \(\overline{AB}\cong \overline{DC}\),\(\overline{AD}\cong \overline{BC}\) | 6. CPCTC |
La prueba del Teorema de Ángulos Opuestos es casi idéntica.
Revisar
\(ABCD\)es un paralelogramo. Rellena los espacios en blanco a continuación.
![F-D_4C50cdd807989540195FFB2226DF7DC09513FF33267308D9F8203CA8+Image_Tiny+Image_Tiny+Image_Tiny.png](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/1792/f-d_4c50cdd807989540195ffb2226df7dc09513ff33267308d9f8203ca8%252BIMAGE_TINY%252BIMAGE_TINY.png)
- Si\(AB=6\), entonces\(CD= \text{______}\).
- Si\(AE=4\), entonces\(AC= \text{______}\).
- Si\(m\angle ADC=80^{\circ}\),\(m\angle DAB = \text{______}\).
- Si\(m\angle BAC=45^{\circ}\),\(m\angle ACD = \text{______}\).
- Si\(m\angle CBD=62^{\circ}\),\(m\angle ADB = \text{______}\).
- Si\(DB=16\), entonces\(DE = \text{______}\).
- Si\( m\angle B=72^{\circ}\) en paralelogramo\(ABCD\), encuentra los otros tres ángulos.
- Si\(m\angle S=143^{\circ}\) en paralelogramo\(PQRS\), encuentra los otros tres ángulos.
- Si está\(\overline{AB}\perp \overline{BC}\) en paralelogramo\(ABCD\), encuentre la medida de los cuatro ángulos.
- Si\(m\angle F=x^{\circ}\) en paralelogramo\(EFGH\), encuentra los otros tres ángulos.
Para las preguntas 11-18, encuentre los valores de la (s) variable (s). Todas las cifras a continuación son paralelogramos.
-
Figura\(\PageIndex{16}\) -
Figura\(\PageIndex{17}\) -
Figura\(\PageIndex{18}\) -
Figura\(\PageIndex{19}\) -
Figura\(\PageIndex{20}\) -
Figura\(\PageIndex{21}\) -
Figura\(\PageIndex{22}\) -
Figura\(\PageIndex{23}\)
Usa el paralelogramo\(WAVE\) para encontrar:
![f-d_4e8938772296e11bae4816b25c00cd47a8e5e0b3ea528676c779637a+image_tiny+image_tiny.png](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/1801/f-d_4e8938772296e11bae4816b25c00cd47a8e5e0b3ea528676c779637a%252BIMAGE_TINY%252BIMAGE_TINY.png)
- \(m\angle AWE\)
- \(m\angle ESV\)
- \(m\angle WEA\)
- \(m\angle AVW\)
Encuentra el punto de intersección de las diagonales para ver si\(EFGH\) es un paralelogramo.
- \(E(−1,3), F(3,4), G(5,−1), H(1,−2)\)
- \(E(3,−2), F(7,0), G(9,−4), H(5,−4)\)
- \(E(−6,3), F(2,5), G(6,−3), H(−4,−5)\)
- \(E(−2,−2), F(−4,−6), G(−6,−4), H(−4,0)\)
Rellene los espacios en blanco en las pruebas a continuación.
- Teorema de ángulos opuestos
![F-D_481247021bd2921618edf2f5e05543ff7668412a6a797825b7b69f29+image_tiny+image_tiny+image_tiny.png](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/1791/f-d_481247021bd2921618edf2f5e05543ff7668412a6a797825b7b69f29%252BIMAGE_TINY%252BIMAGE_TINY.png)
Dado:\(ABCD\) es un paralelogramo con diagonal\(\overline{BD}\)
Demostrar:\(\angle A\cong \angle C\)
Declaración | Razón |
---|---|
1. | 1. Dado |
2. \(\overline{AB}\parallel \overline{DC}\),\(\overline{AD}\parallel \overline{BC}\) | 2. |
3. | 3. Teorema de ángulos interiores alternos |
4. | 4. PoC reflexivo |
5. \(\Delta ABD\cong \Delta CDB\) | 5. |
6. \(\angle A\cong \angle C\) | 6. |
- Teorema de las diagonales del paralelogramo
![F-D_4C50cdd807989540195FFB2226DF7DC09513FF33267308D9F8203CA8+Image_Tiny+Image_Tiny+Image_Tiny.png](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/1792/f-d_4c50cdd807989540195ffb2226df7dc09513ff33267308d9f8203ca8%252BIMAGE_TINY%252BIMAGE_TINY.png)
Dado:\(ABCD\) es un paralelogramo con diagonales\(\overline{BD}\) y\(\overline{AC}\)
Demostrar:\(\overline{AE}\cong \overline{EC}\),\(\overline{DE}\cong \overline{EB}\)
Declaración | Razón |
---|---|
1. | 1. |
2. | 2. Definición de un paralelogramo |
3. | 3. Teorema de ángulos interiores alternos |
4. \(\overline{AB}\cong \overline{DC}\) | 4. |
5. | 5. |
6. \( \overline{AE}\cong \overline{EC}\),\(\overline{DE}\cong \overline{EB}\) | 6. |
- Encontrar\(x\),\(y^{\circ}\), y\(z^{\circ}\). (Los dos cuadriláteros con el mismo lado son paralelogramos.)
![F-D_AF556799A2227AECF648002F19E53209B290E583F53366F957F841E9+Image_Tiny+Image_Tiny.png](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/1802/f-d_af556799a2227aecf648002f19e53209b290e583f53366f957f841e9%252BIMAGE_TINY%252BIMAGE_TINY.png)
El vocabulario
Término | Definición |
---|---|
paralelogramo | Un cuadrilátero con dos pares de lados paralelos. Un paralelogramo puede ser un rectángulo, un rombo o un cuadrado, pero no necesita ser ninguno de los tres. |
Recursos adicionales
Elemento Interactivo
Video: Principios de paralelogramos - Básico
Actividades: Paralelogramas Preguntas de Discusión
Ayudas de estudio: Guía de estudio de paralelogramos
Práctica: Paralelogramos
Mundo Real: Paralelogramos