5.9: Paralelogramos

Encuentra medidas de ángulo desconocidas de cuadriláteros con dos pares de lados paralelos.

Un paralelogramo es un cuadrilátero con dos pares de lados paralelos.

Figura$\PageIndex{1}$

Observe que cada par de lados está marcado paralelo (para las dos últimas formas, recuerde que cuando dos líneas son perpendiculares a la misma línea entonces son paralelas). Los paralelogramas tienen muchas propiedades interesantes.

Datos sobre los paralelogramos

1. Teorema de lados opuestos: Si un cuadrilátero es un paralelogramo, entonces ambos pares de lados opuestos son congruentes.

Si

Figura$\PageIndex{2}$

entonces

Figura$\PageIndex{3}$

2. Teorema de ángulos opuestos: Si un cuadrilátero es un paralelogramo, entonces ambos pares de ángulos opuestos son congruentes.

Si

Figura$\PageIndex{4}$

entonces

Figura$\PageIndex{5}$

3. Teorema de ángulos consecutivos: Si un cuadrilátero es un paralelogramo, entonces todos los pares de ángulos consecutivos son complementarios.

Si

Figura$\PageIndex{6}$

entonces

Figura$\PageIndex{7}$

$\begin{aligned} m\angle A+m\angle D&=180^{\circ} \\ m\angle A+m\angle B&=180^{\circ} \\ m\angle B+m\angle C&=180^{\circ} \\ m\angle C+m\angle D&=180^{\circ} \end{aligned}$

4. Teorema de las diagonales del paralelogramo: Si un cuadrilátero es un paralelogramo, entonces las diagonales se bisecan entre sí.

Si

Figura$\PageIndex{8}$

entonces

Figura$\PageIndex{9}$

¿Y si te dijeran que$FGHI$ es un paralelogramo y se te da la longitud de FG\) y la medida de$\angle F$? ¿Qué puedes determinar sobre$HI$$\angle H$,$\angle G$, y$\angle I$?

Ejemplo$\PageIndex{1}$

Demostrar que las diagonales de$FGHJ$ bisectar entre sí.

Figura$\PageIndex{10}$

Solución

Encuentra el punto medio de cada diagonal.

$\begin{aligned}\text{ Midpoint of } \overline{FH}:& \left(\dfrac{−4+6}{2}, \dfrac{5−4}{2}\right)=(1,0.5) \\ \text{ Midpoint of } of\: \overline{GJ}: & \left(\dfrac{3−1}{2}, \dfrac{3−2}{2}\tight)=(1,0.5)\end{aligned}$

Debido a que son el mismo punto, las diagonales se cruzan en el punto medio de la otra. Esto significa que se bisectan entre sí.

Ejemplo$\PageIndex{2}$

Encuentre las medidas de a y b en el paralelogramo a continuación:

Figura$\PageIndex{11}$

Solución

Los ángulos consecutivos son suplementarios por lo$127^{\circ}+m\angle b=180^{\circ}$ que significa que$m\angle b=53^{\circ}$. $a$y$b$ son ángulos interiores alternos y dado que las líneas son paralelas (ya que es un paralelogramo), eso significa que$m\angle a=m\angle b=53^{\circ}$.

Ejemplo$\PageIndex{3}$

$ABCD$es un paralelogramo. Si$m\angle A=56^{\circ}$, encuentra la medida de los otros ángulos.

Solución

Primero dibuja un cuadro. Al etiquetar los vértices, se listan las letras, en orden.

Figura$\PageIndex{12}$

Si$m\angle A=56^{\circ}$, entonces$m\angle C=56^{\circ}$ por el Teorema de Ángulos Opuestos.

\ (\ begin {alineado}
&m\ ángulo A+m\ ángulo B=180^ {\ circ}\ quad\ text {por el Teorema de Ángulos Consecutivos.}\\
&56^ {\ circ} +m\ ángulo B=180^ {\ circ}\\
&m\ ángulo B=124^ {\ circ}\ quad m\ ángulo D=124^ {\ circ}\ quad\ text {porque es un ángulo opuesto a}\ ángulo B
\ end {alineado}\)

Ejemplo$\PageIndex{4}$

Encuentra los valores de$x$ y$y$.

Figura$\PageIndex{13}$

Solución

Recuerda que los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes. Configura ecuaciones y resuelve.

$\begin{aligned} 6x−7&=2x+9 \\ 4x&=16 \\ x&=4 \\ y+3&=12 \\ y&=9\end{aligned}$

Ejemplo$\PageIndex{5}$

Demostrar el teorema de lados opuestos.

Figura$\PageIndex{14}$

Solución

Dado:$ABCD$ es un paralelogramo con diagonal$\overline{BD}$

Demostrar:$\overline{AB}\cong \overline{DC}$,$\overline{AD}\cong \overline{BC}$

Declaración	Razón
1. $ABCD$es un paralelogramo con diagonal$\overline{BD}$	1. Dado
2. $\overline{AB}\parallel \overline{DC}$,$\overline{AD}\parallel \overline{BC}$	2. Definición de un paralelogramo
3. $\angle ABD\cong \angle BDC$,$\angle ADB\cong \angle DBC$	3. Teorema de ángulos interiores alternos
4. $\overline{DB}\cong \overline{DB}$	4. PoC reflexivo
5. $\Delta ABD\cong \Delta CDB$	5. ASA
6. $\overline{AB}\cong \overline{DC}$,$\overline{AD}\cong \overline{BC}$	6. CPCTC

La prueba del Teorema de Ángulos Opuestos es casi idéntica.

Revisar

$ABCD$es un paralelogramo. Rellena los espacios en blanco a continuación.

Figura$\PageIndex{15}$

1. Si$AB=6$, entonces$CD= \text{______}$.
2. Si$AE=4$, entonces$AC= \text{______}$.
3. Si$m\angle ADC=80^{\circ}$,$m\angle DAB = \text{______}$.
4. Si$m\angle BAC=45^{\circ}$,$m\angle ACD = \text{______}$.
5. Si$m\angle CBD=62^{\circ}$,$m\angle ADB = \text{______}$.
6. Si$DB=16$, entonces$DE = \text{______}$.
7. Si$m\angle B=72^{\circ}$ en paralelogramo$ABCD$, encuentra los otros tres ángulos.
8. Si$m\angle S=143^{\circ}$ en paralelogramo$PQRS$, encuentra los otros tres ángulos.
9. Si está$\overline{AB}\perp \overline{BC}$ en paralelogramo$ABCD$, encuentre la medida de los cuatro ángulos.
10. Si$m\angle F=x^{\circ}$ en paralelogramo$EFGH$, encuentra los otros tres ángulos.

Para las preguntas 11-18, encuentre los valores de la (s) variable (s). Todas las cifras a continuación son paralelogramos.

11. 

    Figura$\PageIndex{16}$

12. 

    Figura$\PageIndex{17}$

13. 

    Figura$\PageIndex{18}$

14. 

    Figura$\PageIndex{19}$

15. 

    Figura$\PageIndex{20}$

16. 

    Figura$\PageIndex{21}$

17. 

    Figura$\PageIndex{22}$

18. 

    Figura$\PageIndex{23}$

Usa el paralelogramo$WAVE$ para encontrar:

Figura$\PageIndex{24}$

19. $m\angle AWE$
20. $m\angle ESV$
21. $m\angle WEA$
22. $m\angle AVW$

Encuentra el punto de intersección de las diagonales para ver si$EFGH$ es un paralelogramo.

23. $E(−1,3), F(3,4), G(5,−1), H(1,−2)$
24. $E(3,−2), F(7,0), G(9,−4), H(5,−4)$
25. $E(−6,3), F(2,5), G(6,−3), H(−4,−5)$
26. $E(−2,−2), F(−4,−6), G(−6,−4), H(−4,0)$

Rellene los espacios en blanco en las pruebas a continuación.

27. Teorema de ángulos opuestos

Figura$\PageIndex{25}$

Dado:$ABCD$ es un paralelogramo con diagonal$\overline{BD}$

Demostrar:$\angle A\cong \angle C$

Declaración	Razón
1.	1. Dado
2. $\overline{AB}\parallel \overline{DC}$,$\overline{AD}\parallel \overline{BC}$	2.
3.	3. Teorema de ángulos interiores alternos
4.	4. PoC reflexivo
5. $\Delta ABD\cong \Delta CDB$	5.
6. $\angle A\cong \angle C$	6.

28. Teorema de las diagonales del paralelogramo

Figura$\PageIndex{26}$

Dado:$ABCD$ es un paralelogramo con diagonales$\overline{BD}$ y$\overline{AC}$

Demostrar:$\overline{AE}\cong \overline{EC}$,$\overline{DE}\cong \overline{EB}$

Declaración	Razón
1.	1.
2.	2. Definición de un paralelogramo
3.	3. Teorema de ángulos interiores alternos
4. $\overline{AB}\cong \overline{DC}$	4.
5.	5.
6. $\overline{AE}\cong \overline{EC}$,$\overline{DE}\cong \overline{EB}$	6.

29. Encontrar$x$,$y^{\circ}$, y$z^{\circ}$. (Los dos cuadriláteros con el mismo lado son paralelogramos.)

Figura$\PageIndex{27}$

El vocabulario

Término	Definición
paralelogramo	Un cuadrilátero con dos pares de lados paralelos. Un paralelogramo puede ser un rectángulo, un rombo o un cuadrado, pero no necesita ser ninguno de los tres.

Recursos adicionales

Elemento Interactivo

Video: Principios de paralelogramos - Básico

Actividades: Paralelogramas Preguntas de Discusión

Ayudas de estudio: Guía de estudio de paralelogramos

Práctica: Paralelogramos

Mundo Real: Paralelogramos