7.18: Autosimilitud y Fractales
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Auto-Similaridad
Cuando una parte de un objeto se puede agrandar (o encogerse) para parecerse a todo el objeto, es autosimilar.
Para explorar la autosimilitud, pasaremos por algunos ejemplos. Normalmente, cada paso de un proceso se denomina iteración . El primer nivel se llama Etapa 0 .
¿Y si te dieran un objeto, como un triángulo o un copo de nieve, en el que una parte de él pudiera agrandarse (o encogerse) para parecerse a todo el objeto? ¿Cómo sería cada iteración sucesiva de ese objeto?
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
El triángulo Sierpinski itera un triángulo conectando los puntos medios de los lados y sombreando el triángulo central (Etapa 1). Repita este proceso para los triángulos sin sombra en la Etapa 1 para obtener la Etapa 2.
![F-D_544981997Fcbf4120b476154db63cfe52721cd9935235ca1ba3fa2b2+image_tiny+image_tiny.png](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/3439/f-d_544981997fcbf4120b476154db63cfe52721cd9935235ca1ba3fa2b2%252BIMAGE_TINY%252BIMAGE_TINY.png)
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
Determinar el número de triángulos sombreados y no sombreados en cada etapa del triángulo Sierpinkski. Determinar si hay un patrón.
Etapa 0 | Etapa 1 | Etapa 2 | Etapa 3 | |
---|---|---|---|---|
Sin sombra | 1 | 3 | 9 | 27 |
Sombreado | 0 | 1 | 4 | 13 |
Solución
El número de triángulos sin sombra parece ser potencias de\(3:\: 3^{0},\: 3^{1},\: 3^{2},\: 3^{3},\: ….\) El número de triángulos sombreados es la suma el número de triángulos sombreados y no sombreados de la etapa anterior. Por ejemplo, el número de triángulos sombreados en la Etapa 4 sería igual\(27 + 13 = 40\).
Ejemplo\(\PageIndex{3}\)
Al igual que el triángulo Sierpinski, un fractal es otro objeto autosimilar que se repite a escalas más pequeñas. A continuación se presentan las tres primeras etapas del copo de nieve de Koch.
![f-d_e89ba495df3dfe3277948ddb0e0a92dfb462edd5bb6faf8ddbec1585+image_tiny+image_tiny+image_tiny.png](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/3440/f-d_e89ba495df3dfe3277948ddb0e0a92dfb462edd5bb6faf8ddbec1585%252BIMAGE_TINY%252BIMAGE_TINY.png)
Ejemplo\(\PageIndex{4}\)
Determinar el número de bordes y el perímetro de cada copo de nieve mostrado en el Ejemplo 3. Supongamos que la longitud de un lado del triángulo equilátero original (etapa 0) es 1.
Etapa 0 | Etapa 1 | Etapa 2 | |
---|---|---|---|
Número de aristas | 3 | 12 | 48 |
Largo de Borde | 1 | \(\dfrac{1}{3}\) | \(\dfrac{1}{9}\) |
Perímetro | 3 | 4 | \(\dfrac{48}{9}=\dfrac{15}{3}\) |
Ejemplo\(\PageIndex{5}\)
El conjunto Cantor es otro ejemplo de un fractal. Consiste en dividir un segmento en tercios y luego borrar el tercio medio.
![f-d_9fb958f0528d884b2dc31f4e89a5bb7a5a639abb9e59e024f801df9b+imagen_tiny+image_tiny.png](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/3441/f-d_9fb958f0528d884b2dc31f4e89a5bb7a5a639abb9e59e024f801df9b%252BIMAGE_TINY%252BIMAGE_TINY.png)
Revisar
- Dibuja la Etapa 4 del conjunto Cantor.
- Usa el Juego Cantor para rellenar la siguiente tabla.
Número de Segmentos | Longitud de cada Segmento | Longitud total de los segmentos | |
---|---|---|---|
Etapa 0 | 1 | 1 | 1 |
Etapa 1 | 2 | \(\dfrac{1}{3}\) | \(\dfrac{2}{3}\) |
Etapa 2 | 4 | \(\dfrac{1}{9}\) | \(\dfrac{4}{9}\) |
Etapa 3 | |||
Etapa 4 | |||
Etapa 5 |
- ¿Cuántos segmentos hay en Stage\(n\)?
- Dibuja la Etapa 3 del copo de nieve de Koch.
- Una variación del triángulo Sierpinski es la alfombra Sierpinski, que divide un cuadrado en 9 cuadrados iguales, coloreando solo el del medio. Después, divide los cuadrados incoloros para conseguir la siguiente etapa. Dibuja las primeras 3 etapas de este fractal.
- ¿Cuántos cuadrados coloreados vs. incoloros hay en cada etapa?
- Los fractales son muy comunes en la naturaleza. Por ejemplo, una hoja de helecho es un fractal. A medida que las hojas se acercan al final, se hacen cada vez más pequeñas. Encuentra otros tres ejemplos de fractales en la naturaleza.
![f-d_a3e71883dff558cf8bf97594ca7687a346d82ab1c6ecb79d6b66e742+image_tiny+image_tiny.png](https://k12.libretexts.org/@api/deki/files/3442/f-d_a3e71883dff558cf8bf97594ca7687a346d82ab1c6ecb79d6b66e742%252BIMAGE_TINY%252BIMAGE_TINY.png)
Reseña (Respuestas)
Para ver las respuestas de Revisar, abra este archivo PDF y busque la sección 7.13.
vocabulario
Término | Definición |
---|---|
auto-similar | Cuando una parte de un objeto se puede agrandar (o encogerse) para parecerse a todo el objeto. |
Iteración | Una iteración es un solo paso dentro de un proceso. |
punto medio | El punto medio de un segmento de línea es el punto del segmento de línea que divide el segmento en dos partes congruentes. |
Recursos adicionales
Elemento Interactivo
Video: Ejemplos de Auto-Similaridad - Básico
Actividades: Preguntas de discusión sobre la auto-similitud
Ayudas de estudio: Guía de estudio de autosimilitud
Práctica: Autosimilitud y Fractales
Mundo real: Fractales en todas partes