4.6: Ley de los senos
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Cuando se le da un triángulo rectángulo, puede utilizar la trigonometría básica para resolver la información faltante. Cuando se le da SSS o SAS, puede utilizar la Ley de Cosinos para resolver la información faltante. Pero, ¿qué sucede cuando te dan dos lados de un triángulo y un ángulo que no está incluido? Hay muchas maneras de mostrar que dos triángulos son congruentes, pero SSA no es uno de ellos. ¿Por qué no?
La ley de los senos
Cuando se le dan dos lados y un ángulo que no se incluye entre los dos lados, se puede utilizar la Ley de los Sines. La Ley de Sines establece que en cada triángulo la relación de cada lado al seno de su ángulo correspondiente es siempre la misma. Esencialmente, aclara el concepto general de que frente al ángulo más grande es siempre el lado más largo.
\(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\)
Aquí hay una prueba de la Ley de los Sines:
Mirando el triángulo derecho formado a la izquierda:
\(\begin{aligned} \sin A &=\frac{h}{b} \\ h &=b \sin A \end{aligned}\)
Mirando el triángulo rectángulo formado a la derecha:
\(\begin{aligned} \sin B &=\frac{h}{a} \\ h &=a \sin B \end{aligned}\)
Equiparando las alturas que deben ser idénticas:
\(\begin{aligned} a \sin B &=b \sin A \\ \frac{a}{\sin A} &=\frac{b}{\sin B} \end{aligned}\)
La mejor manera de usar la Ley de los Sines es dibujar una imagen extremadamente consistente en todas y cada una de las veces, aunque eso signifique volver a dibujar y volver a etiquetar una imagen. La razón por la que la consistencia es importante es porque a veces dada la información de SSA define cero, uno o incluso dos triángulos posibles.
Dibuja siempre el ángulo dado en la parte inferior izquierda con los dos lados dados arriba.
En esta imagen el lado\(a\) es deliberadamente demasiado corto, pero en la mayoría de los problemas no lo sabrás. Tendrás que comparar con\(a\) la altura.
\(\begin{aligned} \sin A &=\frac{h}{c} \\ h &=c \sin A \end{aligned}\)
Esto se refiere comúnmente a probar el caso ambiguo. Existen cuatro pruebas diferentes para determinar el número de triángulos que existen dadas las mediciones.
Caso 1:\(a<h\)
En pocas palabras, el lado no\(a\) es lo suficientemente largo para llegar al lado opuesto y construir el triángulo es imposible. Existen triángulos cero.
Caso 2:\(a=h\)
Lado\(a\) apenas alcanza el lado opuesto formando un\(90^{\circ}\) ángulo.
Caso 3:\(h<a<c\)
En este caso lateral\(a\) puede oscilar hacia el interior del triángulo o el exterior del triángulo- hay dos triángulos posibles. Esto se llama el caso ambiguo porque la información dada no identifica de manera única un triángulo. Para resolver para ambos triángulos, use la Ley de los senos para resolver\(C_{1}\) primero para el ángulo y luego use el suplemento para determinar\(C_{2}\).
Caso 4:\(c \leq a\)
En este caso, el lado solo\(a\) puede oscilar hacia el exterior del triángulo, solo produciendo\(C_{1}\).
Para el caso de SSA, siempre debes verificar cuántos triángulos hay antes de comenzar a encontrar medidas. Toma el siguiente triángulo:
\(\angle A=40^{\circ}, c=13,\)y\(a=2\)
Antes de intentar encontrar\(\angle C\), es necesario verificar que un triángulo sea posible y si hay más de una solución. Usa la ecuación de arriba,
\(\begin{aligned} \sin 40^{\circ} &=\frac{h}{13} \\ h &=13 \sin 40^{\circ} \approx 8.356 \end{aligned}\)
Porque\(a<h(2<8.356)\), esta información no forma un triángulo propiamente dicho.
Ejemplos
Anteriormente, se le preguntó por qué SSA no es un método para demostrar que dos triángulos son congruentes. SSA no es un método de Geometría que muestre que dos triángulos son congruentes porque no siempre define un triángulo único. A veces no hay triángulo, ni un triángulo, ni dos triángulos.
\(\angle A=17^{\circ}, c=14,\)y\(a=4.0932 \ldots\) Si es posible, encuentre\(\angle C\)
Comprueba que un triángulo es posible:
\(\begin{aligned} \sin 17^{\circ} &=\frac{h}{14} \\ h &=14 \sin 17^{\circ} \approx 4.0932 \end{aligned}\)
ya que\(a=h\), esta información forma exactamente un triángulo y el ángulo\(C\) debe ser\(90^{\circ}\).
\(\angle A=22^{\circ}, c=11\)y\(a=9 .\) Si es posible, encuentre\(\angle C\)
Comprueba que un triángulo es posible:
\(\begin{aligned} \sin 22^{\circ} &=\frac{h}{11} \\ h &=11 \sin 22^{\circ} \approx 4.12 \end{aligned}\)
ya que debe\(h<a<c,\) haber dos ángulos posibles para el ángulo\(C\).
Aplicar la Ley de los senos:
\(\begin{aligned} \frac{9}{\sin 22^{\circ}} &=\frac{11}{\sin C_{1}} \\ 9 \sin C_{1} &=11 \sin 22^{\circ} \\ \sin C_{1} &=\frac{11 \sin 22^{\circ}}{9} \\ C_{1} &=\sin ^{-1}\left(\frac{11 \sin 22^{\circ}}{9}\right) \approx 27.24^{\circ} \\ C_{2} &=180-C_{1} \approx 152.75^{\circ} \end{aligned}\)
Dado\(\Delta A B C\) donde\(A=12^{\circ}, B=50^{\circ}, a=14\) encontrar\(b\).
\(\frac{14}{\sin 12^{\circ}}=\frac{b}{\sin 50^{\circ}}\)
\(b=\frac{14 \sin 50^{\circ}}{\sin 12^{\circ}} \approx 51.58\)
Dado\(\Delta A B C\) donde\(A=70^{\circ}, b=8, a=3,\) encontrar\(\angle B\) si es posible.
\(\sin 70^{\circ}=\frac{h}{8}\)
\(h=8 \sin 70^{\circ} \approx 7.51 \ldots\)
Porque\(a<h,\) este triángulo es imposible.
Ejercicio\(\PageIndex{1}\)
Para 1-3, dibuje una imagen del triángulo y establezca cuántos triángulos podrían formarse con los valores dados.
1. \(A=30^{\circ}, a=13, b=15\)
2. \(A=22^{\circ}, a=21, b=12\)
3. \(A=42^{\circ}, a=36, b=37\)
Para\(4-7,\) encontrar todas las medidas posibles de\(\angle B\) (si existe alguna) para cada uno de los siguientes valores de triángulo.
4. \(A=86^{\circ}, a=15, b=11\)
5. \(A=30^{\circ}, a=24, b=43\)
6. \(A=48^{\circ}, a=34, b=39\)
7. \(A=80^{\circ}, a=22, b=20\)
Para 8 -12, encuentra la longitud de\(b\) para cada uno de los siguientes valores de triángulo.
8. \(A=94^{\circ}, a=31, B=34^{\circ}\)
9. \(A=112^{\circ}, a=12, B=15^{\circ}\)
10. \(A=78^{\circ}, a=20, B=16^{\circ}\)
11. \(A=54^{\circ}, a=15, B=112^{\circ}\)
12. \(A=39^{\circ}, a=9, B=98^{\circ}\)
13. En\(\Delta A B C, b=10\) y\(\angle A=39^{\circ}\). ¿Cuál es un valor posible para\(a\) eso produciría dos triángulos?
14. En\(\Delta A B C, b=10\) y\(\angle A=39^{\circ}\). ¿Cuál es un valor posible para\(a\) que no produzca triángulos?
15. En\(\Delta A B C, b=10\) y\(\angle A=39^{\circ} .\) ¿Cuál es un valor posible para\(a\) eso produciría un triángulo?