Saltar al contenido principal

# 4.7: Área de un Triángulo

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

Desde la geometría ya sabes que el área de un triángulo es$$\frac{1}{2} \cdot b \cdot h$$

¿Y si te dan los lados de un triángulo son 5 y 6 y el ángulo entre los lados es No se$$\frac{\pi}{3} ?$$ te da directamente la altura, pero aún puedes averiguar el área del triángulo?

## Encontrar el Área de Triángulos

La función seno le permite encontrar la altura de cualquier triángulo y sustituir ese valor en la fórmula familiar del área del triángulo.

Usando la función sinusoidal, puede aislar$$h$$ para la altura:

\begin{aligned} \sin C &=\frac{h}{a} \\ a \sin C &=h \end{aligned}

Sustituyendo en la fórmula de área:

\begin{aligned} \text {Area} &=\frac{1}{2} b \cdot h \\ \text {Area} &=\frac{1}{2} b \cdot a \cdot \sin C \\ \text {Area} &=\frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C \end{aligned}

Recordemos que las variables utilizadas para anotar los lados y los ángulos correspondientes son arbitrarias, siempre y cuando un lado y su ángulo opuesto compartan la misma variable (lado$$c$$ tiene un ángulo opuesto$$C$$). Si te dieron$$\Delta A B C$$ con$$A=22^{\circ}, b=6, c=7$$ y te pidieran encontrar el área, usarías la fórmula:

\begin{aligned} \text {Area} &=\frac{1}{2} b c \sin A \\ \text {Area} &=\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 7 \cdot \sin 22^{\circ} \approx 7.86 \text { units}^{2} \end{aligned}

Video adicional: Hay otra forma de encontrar el área de un triángulo, la Fórmula de Garza. Esto se discutirá en el Ejemplo 5. La fórmula de Heron se usa cuando se dan tres longitudes laterales.

## Ejemplos

### Ejemplo 1

Antes, te dieron los lados de un triángulo son 5 y 6 y el ángulo entre los lados es$$\theta=\frac{\pi}{3}$$ y se le pidió que encontrara la zona.

$$=\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \cdot \sin \frac{\pi}{3} \approx 12.99$$Unidades de área$$^{2}$$

### Ejemplo 2

Dado$$\Delta X Y Z$$ tiene área 28 pulgadas cuadradas, ¿cuál es el ángulo incluido entre la longitud lateral 8 y$$9 ?$$

\begin{aligned} A r e a &=\frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C \\ 28 &=\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 9 \cdot \sin C \\ \sin C &=\frac{28 \cdot 2}{8 \cdot 9} \\ C &=\sin ^{-1}\left(\frac{28 \cdot 2}{8 \cdot 9}\right) \approx 51.06^{\circ} \end{aligned}

### Ejemplo 3

Dado triángulo$$A B C$$ con$$A=12^{\circ}, b=4$$ y$$A r e a=1.7$$ unidades$$^{2},$$ cuál es la longitud del lado$$c ?$$

\begin{aligned} \text {Area} &=\frac{1}{2} \cdot c \cdot b \cdot \sin A \\ 1.7 &=\frac{1}{2} \cdot c \cdot 4 \cdot \sin 12^{\circ} \\ c &=\frac{1.7 \cdot 2}{4 \cdot \sin 12^{\circ}} \approx 4.09 \end{aligned}

### Ejemplo 4

$$3=\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \sin \theta$$
$$\theta=\sin ^{-1}\left(\frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 5}\right) \approx 17.46^{\circ}$$

### Ejemplo 5

¿Cuál es el área de$$\Delta X Y Z$$ con$$x=11, y=12, z=13 ?$$

Dado que no se da ninguno de los ángulos, hay dos posibles caminos de solución. Podrías usar la Ley de Cosinos para encontrar un ángulo.

$$=\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 13 \cdot \sin 52.02 \approx 61.5$$Unidades de área$$^{2}$$

El ángulo opuesto al lado de la longitud 11 es aproximadamente$$52.02^{\circ}$$ por lo tanto el área es:

$$=\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 13 \cdot \sin 52.02 \approx 61.5$$Unidades de área$$^{2}$$

Otra forma de encontrar la zona es a través del uso de Heron Fórmula que es:

Área$$=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

Dónde$$s$$ está el semiperímetro:

$$s=\frac{a+b+c}{2}$$

Usando la fórmula de Heron para encontrar el área de ΔXYZ devuelve el mismo valor:

$$s=\frac{a+b+c}{2}$$
$$s=\frac{11+12+13}{2}=\frac{36}{2}=18$$
$$A=\sqrt{18(18-11)(18-12)(18-13)}$$
$$A=\sqrt{18 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}$$
$$A=\sqrt{3780} \approx 61.5$$unidades$$^{2}$$

### Ejemplo 6

$$3=\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 5 \cdot \sin \theta$$
$$\theta=\sin ^{-1}\left(\frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 5}\right) \approx 17.45 \ldots$$

Revisar

Para$$1-11$$, encuentra el área de cada triángulo.

1. $$\Delta A B C$$si$$a=13, b=15$$, y$$\angle C=70^{\circ}$$.

2. $$\Delta A B C$$si$$b=8, c=4,$$ y$$\angle A=58^{\circ}$$.

3. $$\Delta A B C$$si$$b=34, c=29$$, y$$\angle A=125^{\circ}$$.

4. $$\Delta A B C$$si$$a=3, b=7,$$ y$$\angle C=81^{\circ}$$.

5. $$\Delta A B C$$si$$a=4.8, c=3.7,$$ y$$\angle B=54^{\circ} .$$

6. $$\Delta A B C$$si$$a=12, b=5$$, y$$\angle C=22^{\circ}$$.

7. $$\Delta A B C$$si$$a=3, b=10$$, y$$\angle C=65^{\circ}$$.

8. $$\Delta A B C$$si$$a=5, b=9,$$ y$$\angle C=11^{\circ}$$.

9. $$\Delta A B C$$si$$a=5, b=7,$$ y$$c=8$$.

10. $$\Delta A B C$$si$$a=7, b=8,$$ y$$c=14$$.

11. $$\Delta A B C$$si$$a=12, b=14,$$ y$$c=13$$.

14. Dado$$\Delta D E F$$ tiene área 32 pulgadas cuadradas, ¿cuál es el ángulo incluido entre la longitud lateral 9 y$$10 ?$$
15. Dado$$\Delta G H I$$ tiene área 15 pulgadas cuadradas, ¿cuál es el ángulo incluido entre la longitud lateral 7 y$$11 ?$$