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# 9.1 Forma general de una cónica

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Las cónicas son una familia de gráficas que incluyen parábolas, círculos, elipses e hipérbolas. Todas estas gráficas provienen de una misma ecuación general y al mirar y manipular una ecuación específica puedes aprender a decir qué cónica es y cómo se puede graficar.

¿Cuál es la habilidad esencial que permite manipular la ecuación de una cónica para esbozar su gráfica?

Introducción a las Cónicas

La palabra cónica proviene de la palabra cono que es donde se originan las formas de las parábolas, círculos, elipses e hipérbolas. Considera dos conos que se abren en direcciones opuestas y un plano que lo cruza horizontalmente. Una intersección plana produciría un círculo perfecto.

Para producir una elipse, incline el plano para que el círculo se alargue y tenga forma ovalada. Observe que el ángulo en el que se inclina el plano es aún menos empinado que la pendiente del lado del cono.

A medida que inclina el plano aún más y la pendiente del plano es igual a la pendiente del borde del cono, se produce una parábola. Dado que las pendientes son iguales, una parábola sólo cruza uno de los conos.

Por último, si haces que el plano sea aún más empinado, el plano termina intersectando tanto el cono inferior como el cono superior creando las dos partes de una hipérbola.

La intersección de objetos tridimensionales en el espacio tridimensional para producir gráficos bidimensionales es bastante desafiante. En la práctica, el conocimiento de dónde provienen las cónicas no es ampliamente utilizado. Será más importante que puedas manipular una ecuación en forma estándar y graficarla en un plano de coordenadas regular. La forma regular de una cónica es:

$$A x^{2}+B x y+C y^{2}+D x+E y+F=0$$

Antes de empezar a manipular la forma general de una ecuación cónica deberías ser capaz de reconocer si se trata de un círculo, elipse, parábola o hipérbola. En forma estándar, los dos coeficientes a examinar son$$A$$ y$$C$$.

• Para los círculos, los coeficientes de$$x^{2}$$ y$$y^{2}$$ son el mismo signo y el mismo valor:$$A=C$$
• Para elipses, los coeficientes de$$x^{2}$$ y$$y^{2}$$ son el mismo signo y valores diferentes:
• $$A, C>0, A \neq C$$
• Para las hipérbolas, los coeficientes de$$x^{2}$$ y$$y^{2}$$ son signos opuestos:$$C<0<A$$ o$$A<0<C$$
• Para las parábolas, ya sea el coeficiente de$$x^{2}$$ o$$y^{2}$$ debe ser cero:$$A=0$$ o$$C=0$$

Cada tipo específico de cónica tiene su propia forma gráfica, pero en todos los casos la técnica de completar el cuadrado es esencial.

Para su revisión, completemos el cuadrado en la expresión$$x^{2}+6 x$$. y demostremos gráficamente lo que representa completar el cuadrado.

Álgebraicamente, completar el cuadrado solo requiere dividir el coeficiente de$$x$$ por 2 y cuadrar el resultado. En este caso$$\left(\frac{6}{2}\right)^{2}=3^{2}=9$$. Dado que no se puede sumar nueve a una expresión sin cambiar su valor, debe sumar simultáneamente nueve y restar nueve para que el cambio neto sea cero.

$$x^{2}+6 x+9-9$$

$$(x+3)^{2}-9$$

Gráficamente la expresión original$$x^{2}+6 x$$ puede ser representada por el área de un rectángulo con lados$$x$$ y$$(x+6)$$

El término “completar el cuadrado” tiene un significado visual así como un significado algebraico. El rectángulo se puede reorganizar para que sea más cuadrado de manera que en lugar de un pequeño rectángulo de área$$6 x$$ en la parte inferior, haya un rectángulo de área$$3 x$$ en dos lados del$$x^{2}$$ cuadrado.

¿Te das cuenta de lo que falta para hacer de esta forma un cuadrado perfecto? Falta un pequeño cuadrado de esquina de 9 por lo que se debe agregar el 9 para hacer el cuadrado perfecto de$$(x+3)(x+3)$$.

## Ejemplos

##### Ejemplo 2

¿Qué tipo de cónica es cada una de las siguientes relaciones?

1. $$5 y^{2}-2 x^{2}=-25$$

a. Parábola (de lado) porque falta el$$x^{2}$$ término.

3. $$4 x^{2}+6 y^{2}=36$$

a. Elipse porque los$$y^{2}$$ coeficientes$$x^{2}$$ y son valores diferentes pero el mismo signo.

4. $$x^{2}-\frac{1}{4} y=1$$

a. Parábola (erguida) porque falta el$$y^{2}$$ término.

5. $$-\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1$$

a. Hipérbola porque los$$y^{2}$$ coeficientes$$x^{2}$$ y son signos diferentes.

6. $$-x^{2}+99 y^{2}=12$$

a. Hipérbola porque los$$y^{2}$$ coeficientes$$x^{2}$$ y son signos diferentes.

##### Ejemplo 3

Completa el cuadrado tanto para$$x$$ los$$y$$ términos como en la siguiente ecuación.

$$x^{2}+6 x+2 y^{2}+16 y=0$$

Primero escribe la ecuación con el espacio para que haya espacio para que los términos se agreguen a ambos lados. Dado que se trata de una ecuación, es apropiado sumar los valores a ambos lados en lugar de sumar y restar el mismo valor simultáneamente. A medida que reescribes con espacios, factorial cualquier coeficiente de los$$y^{2}$$ términos$$x^{2}$$ o ya que tu algoritmo para completar el cuadrado solo funciona cuando este coeficiente es uno.

$$x^{2}+6 x+\ldots+2\left(y^{2}+8 y+\ldots\right)=0$$

A continuación completa el cuadrado añadiendo un nueve y lo que parece un 16 a la izquierda (en realidad es un 32 ya que está dentro de los paréntesis).

$$x^{2}+6 x+9+2\left(y^{2}+8 y+16\right)=9+32$$

Factor

$$(x+3)^{2}+2(y+4)^{2}=41$$

##### Ejemplo 4

Identificar el tipo de cónica en cada una de las siguientes relaciones.

1. $$3 x^{2}=3 y^{2}+18$$

a. la relación es una hipérbola porque cuando se mueve el$$3 y^{2}$$ lado izquierdo de la ecuación, se vuelve negativa y luego los coeficientes de$$x^{2}$$ y$$y^{2}$$ tienen signos opuestos.

2. $$y=4(x-3)^{2}+2$$

a. Parábola

3. $$x^{2}+y^{2}=4$$

a. Círculo

4. $$y^{2}+2 y+x^{2}-6 x=12$$

a. Círculo

5. $$\frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{12}=1$$

a. Elipse

6. $$x^{2}-y^{2}+4=0$$

a. hipérbola

##### Ejemplo 5

Completa el cuadrado para ambos$$x$$ y$$y$$ en la siguiente ecuación.

$$-3 x^{2}-24 x+4 y^{2}-32 y=8$$

$$-3 x^{2}-24 x+4 y^{2}-32 y=8$$

$$-3\left(x^{2}+8 x+\underline{}\underline{}\right)+4\left(y^{2}-8 y+\underline{}\underline{}\right)=8$$

$$-3\left(x^{2}+8 x+16\right)+4\left(y^{2}-8 y+16\right)=8-48+64$$

$$-3(x+4)^{2}+4(y-4)^{2}=24$$

##### Revisar

Identificar el tipo de cónica en cada una de las siguientes relaciones.

1. $$3 x^{2}+4 y^{2}=12$$

2. $$x^{2}+y^{2}=9$$

3. $$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$$

4. $$y^{2}+x=11$$

5. $$x^{2}+2 x-y^{2}+6 y=15$$

6. $$x^{2}=y-1$$

Completar el cuadrado para$$x$$ y/o$$y$$ en cada una de las siguientes expresiones

7. $$x^{2}+4 x$$

8. $$y^{2}-8 y$$

9. $$3 x^{2}+6 x+4$$

10. $$3 y^{2}+9 y+15$$

11. $$2 x^{2}-12 x+1$$

Completar el cuadrado para$$x$$ y/o$$y$$ en cada una de las siguientes ecuaciones.

12. $$4 x^{2}-16 x+y^{2}+2 y=-1$$

13. $$9 x^{2}-54 x+y^{2}-2 y=-81$$

14. $$3 x^{2}-6 x-4 y^{2}=9$$

15. $$y=x^{2}+4 x+1$$

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