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3.3: Medidas de posición relativa

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    Un alumno recibe una puntuación de 82 en un examen de mitad de período y le pregunta al instructor: “¿Qué tan bien me fue en la prueba?” Para responder a esta pregunta, necesitamos estadísticas que midan el ranking de esta calificación en relación con la clase. Estas estadísticas se denominan medida de posición relativa.

    La puntuación z

    Relacionado con la Regla Empírica es la z‐score que mide cuántas desviaciones estándar un punto de datos en particular está por encima o por debajo de la media. Las observaciones inusuales tendrían una puntuación z‐superior a 2 o inferior a ‐2. Las observaciones extremas tendrían puntuaciones z‐superiores a 3 o inferiores a ‐3 y deberían investigarse como posibles valores atípicos. Para un valor particular a partir de los datos (\(X_{i}\)), podemos calcular fácilmente la puntuación z para ese valor.

    \[\text { Formula for z-score: } \quad z-\text { score }=\dfrac{X_{i}-\bar{X}}{s} \nonumber \]

    Para el alumno que recibió un 82 en el examen podemos calcular el puntaje Z si conocemos la media muestral y la desviación estándar para la clase. Supongamos que para esta clase, la media muestral fue de 70 y la desviación estándar de la muestra fue de 10. Entonces para este alumno:

    \[z-\text { score }=\dfrac{82-70}{10}=+1.2 \nonumber \]

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    El puntaje z de 1.7 nos dice que la puntuación del estudiante estuvo muy por encima de la media, pero no muy inusual.

    Interpretación de z‐score para varios alumnos

    Puntuación del examen z‐score Interpretación
    82 +1.2 muy por encima de la media
    66 -0.4 ligeramente por debajo de la media
    94 +2.4 inusualmente por encima de la media
    34 -3.6 extremadamente por debajo de la media

    Ejemplo: Comparando manzanas con naranjas

    La media muestral para 100 manzanas Fuji fue 252 gramos y la desviación estándar fue de 55 gramos. La media muestral para 100 naranjas Navel fue de 286 gramos y la desviación estándar fue de 67 gramos. ¿Qué sería más inusual: una manzana pequeña que pesaba 130 gramos o una naranja grande que pesaba 430 gramos?

    Solución

    Algunas personas podrían decir “La manzana pequeña está 122 gramos por debajo de la media y la naranja grande está 144 gramos por encima de la media por lo que la naranja es más inusual”, pero esto no toma en cuenta la propagación de pesos para manzanas y naranjas. En cambio, debemos determinar qué puntaje z está más lejos de cero.

    z‐score para manzana = (130 — 252) /55 = ‐2.22

    z‐score para naranja = (430 — 286) /67 = +2.15

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    La manzana pequeña es un poco más inusual que la naranja grande porque ‐2.22 está más lejos de cero.

    Percentil, cuartiles y rango intercuartil

    En una sección anterior, exploramos cómo podemos usar la gráfica ogive para calcular percentiles y cuartiles para los datos. En esta sección se introducirá el percentil como medida de la posición relativa.

    Definición: percentil p th

    \(p^{th}\)Percentil ‐ el valor de los datos por debajo del cual cae el p por ciento de los datos.

    Para calcular la ubicación del\(p^{th}\) percentil en una muestra de tamaño\(n\), utilice la fórmula:

    \[p^{\text {th }} \text { percentile location }=p(n+1) \nonumber \]

    clipboard_edada02054451b76431e294ff4d5b1c3b.png

    El\(25^{th}\) percentil también se conoce como el 1er Cuartil o Q1

    El\(50^{th}\) percentil también se conoce como el 2do cuartil o mediana

    El\(75^{th}\) percentil también se conoce como el 3er cuartil o Q3

    Ejemplo: Estudiantes navegando por la web

    Volvamos nuevamente al ejemplo de los minutos diarios que pasan en internet 30 estudiantes y utilicemos la regla empírica para encontrar el percentil 70.

    Solución

    Ubicación del\(70^{th}\) percentil = 0.70 (30+1) = 21.7 ≈ ubicación 22

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    \(70^{th}\)percentil ≈ 107 minutos.

    Para un cálculo más preciso, puede utilizar la interpolación lineal de la parte fraccionaria de 21.7 agregando 30% de la ubicación 21 al 70% de la ubicación 22.

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    \(70^{th}\)percentil = (0.3) (105) + (0.7) (107) = 106.4 minutos

    Existe un método alternativo para encontrar los cuartiles de datos.

    1. Encuentra la mediana (2do cuartil). La mediana divide los datos a la mitad.
    2. Q1 (1er cuartil) será la mediana de la primera mitad de los datos
    3. Q3 (3er cuartil) será la mediana de la segunda mitad de los datos.

    Ejemplo: Estudiantes navegando por la web

    Encuentra los tres cuartiles para estos datos.

    Solución

    Mediana = (101 +102) /2 = 101.5

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    Q1 = 1.er cuartil = 87

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    Q3 = 3er cuartil = 108

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    Intercuartil

    Definición: Rango Intercuartil (IQR)

    Una medida de variabilidad basada en el ranking de los datos se denomina Rango Intercuartil (IQR), que es la diferencia entre el tercer cuartil y el primer cuartil. El IQR representa el rango del 50% medio de los datos y representa la variabilidad de los datos con respecto a la mediana.

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    Ejemplo: Estudiantes navegando por la web

    Encuentre y explique el rango intercuartílico para estos datos

    Solución

    IQR = 108 ‐87 = 21 minutos

    El 50% medio de las observaciones se encuentran entre 87 y 108 minutos.


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