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7.1: Introducción a las distribuciones normales

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    Objetivos de aprendizaje

    • Describir la forma de las distribuciones normales
    • Estado de\(7\) las características de las distribuciones normales

    La distribución normal es la distribución más importante y más utilizada en la estadística. A veces se le llama la “curva de campana”, aunque las cualidades tonales de tal campana serían menos que agradables. También se le llama la “curva gaussiana” después del matemático Karl Friedrich Gauss. Como verá en la sección sobre la historia de la distribución normal, aunque Gauss jugó un papel importante en su historia, Abraham de Moivre descubrió por primera vez la distribución normal.

    Estrictamente hablando, no es correcto hablar de “la distribución normal” ya que hay muchas distribuciones normales. Las distribuciones normales pueden diferir en sus medias y en sus desviaciones estándar. La figura\(\PageIndex{1}\) muestra tres distribuciones normales. La distribución verde (más a la izquierda) tiene una media de\(-3\) y una desviación estándar de\(0.5\), la distribución en rojo (la distribución media) tiene una media de\(0\) y una desviación estándar de\(1\), y la distribución en negro (más a la derecha) tiene una media de\(2\) y una desviación estándar de\(3\). Estas así como todas las demás distribuciones normales son simétricas con relativamente más valores en el centro de la distribución y relativamente pocos en las colas.

    varieties.gif
    Figura\(\PageIndex{1}\): Distribuciones normales que difieren en media y desviación estándar

    A continuación se muestra la densidad de la distribución normal (la altura para un valor dado en el\(x\) eje). Los parámetros\(\mu\) y\(\sigma\) son la media y desviación estándar, respectivamente, y definen la distribución normal. El símbolo\(e\) es la base del logaritmo natural y\(\pi\) es la constante pi.

    \[\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma ^2}}\boldsymbol{e}^{\tfrac{-(x-\mu )^2}{2\sigma ^2}}\]

    Ya que se trata de un tratamiento no matemático de la estadística, no te preocupes si esta expresión te confunde. No volveremos a referirnos a ello en secciones posteriores.

    A continuación se enumeran siete características de las distribuciones normales. Estas características se ilustran con más detalle en las secciones restantes de este capítulo.

    1. Las distribuciones normales son simétricas alrededor de su media
    2. La media, la mediana y el modo de una distribución normal son iguales.
    3. El área bajo la curva normal es igual a\(1.0\).
    4. Las distribuciones normales son más densas en el centro y menos densas en las colas.
    5. Las distribuciones normales se definen por dos parámetros, la media (\(\mu\)) y la desviación estándar (\(\sigma\)).
    6. \(68\%\) of the area of a normal distribution is within one standard deviation of the mean.
    7. Aproximadamente\(95\%\) of the area of a normal distribution is within two standard deviations of the mean.

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