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7.3: Áreas bajo distribuciones normales

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    Objetivos de aprendizaje

    • Indicar la proporción de una distribución normal dentro\(1\) y dentro de las desviaciones\(2\) estándar de la media
    • Utilice la calculadora “Calcular área para un determinado\(X\)
    • Utilice la calculadora “Calcular\(X\) para un área determinada”

    Las áreas bajo porciones de una distribución normal se pueden calcular usando cálculo. Dado que se trata de un tratamiento no matemático de la estadística, nos apoyaremos en programas y tablas de cómputos para determinar estas áreas. La figura\(\PageIndex{1}\) muestra una distribución normal con una media de\(50\) y una desviación estándar de\(10\). El área sombreada entre\(40\) y\(60\) contiene\(68\%\) de la distribución.

    area1.gif
    Figura\(\PageIndex{1}\): Distribución normal con media de\(50\) y desviación estándar de\(10\).

    \(68\%\)del área está dentro de una desviación estándar (\(10\)) de la media (\(50\))

    La figura\(\PageIndex{2}\) muestra una distribución normal con una media de\(100\) y una desviación estándar de\(20\). Al igual que en la Figura\(\PageIndex{1}\),\(68\%\) de la distribución se encuentra dentro de una desviación estándar de la media.

    area2.gif
    Figura\(\PageIndex{2}\): Distribución normal con media de\(100\) y desviación estándar de\(20\).

    \(68\%\)del área está dentro de una desviación estándar (\(20\)) de la media (\(100\)).

    Las distribuciones normales que se muestran en las Figuras\(\PageIndex{1}\) y\(\PageIndex{2}\) son ejemplos específicos de la regla general que\(68\%\) del área de cualquier distribución normal se encuentra dentro de una desviación estándar de la media.

    La figura\(\PageIndex{3}\) muestra una distribución normal con una media de\(75\) y una desviación estándar de\(10\). El área sombreada contiene\(95\%\) del área y se extiende desde\(55.4\) hasta\(94.6\). Para todas las distribuciones normales,\(95\%\) del área se encuentra dentro de las desviaciones\(1.96\) estándar de la media. Para aproximaciones rápidas, a veces es útil redondear y usar\(2\) en lugar de\(1.96\) como el número de desviaciones estándar que necesita extender desde la media para incluir\(95\%\) del área.

    area3.gif
    Figura\(\PageIndex{3}\): Una distribución normal con una media de\(75\) y una desviación estándar\(10. 95\%\) del área se encuentra dentro de las desviaciones\(1.96\) estándar de la media.

    La calculadora normal se puede utilizar para calcular áreas bajo la distribución normal. Por ejemplo, puedes usarlo para encontrar la proporción de una distribución normal con una media de\(90\) y una desviación estándar de la\(12\) que está por encima\(110\). Establezca la media a\(90\) y la desviación estándar a\(12\). Después ingresa "\(110\)" en la casilla a la derecha del botón de radio “Arriba”. En la parte inferior de la pantalla verás que el área sombreada es\(0.0478\). Ve si puedes usar la calculadora para encontrar que el área entre\(115\) y\(120\) es\(0.0124\).

    figure_4
    Figura\(\PageIndex{4}\): Visualización de la calculadora mostrando el área de arriba\(110\).

    Digamos que quería encontrar la puntuación correspondiente al\(75^{th}\) percentil de una distribución normal con una media de\(90\) y una desviación estándar de\(12\). Usando la calculadora de normalidad inversa, ingresa los parámetros como se muestra en la Figura\(\PageIndex{5}\) y encuentra que el área a continuación\(98.09\) es\(0.75\).

    figure_5
    Figura\(\PageIndex{5}\): Visualización de la calculadora normal que muestra que el\(75^{th}\) percentil es\(98.09\).

    Calculadora Normal e Inversa


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