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7.5: Distribución Normal Estándar

  • Page ID
    152270
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    Objetivos de aprendizaje

    • Indicar la media y desviación estándar de la distribución normal estándar
    • Usa una\(Z\) mesa
    • Usar la calculadora normal
    • Transformar datos sin procesar en\(Z\) puntuaciones

    Como se discutió en la sección introductoria, las distribuciones normales no necesariamente tienen las mismas medias y desviaciones estándar. Una distribución normal con una media de\(0\) y una desviación estándar de\(1\) se denomina distribución normal estándar.

    Las áreas de la distribución normal suelen estar representadas por tablas de la distribución normal estándar. Una porción de una tabla de la distribución normal estándar se muestra en la Tabla\(\PageIndex{1}\).

    Tabla\(\PageIndex{1}\): Una porción de una tabla de la distribución normal estándar
    Z Área abajo
    -2.5 0.0062
    -2.49 0.0064
    -2.48 0.0066
    -2.47 0.0068
    -2.46 0.0069
    -2.45 0.0071
    -2.44 0.0073
    -2.43 0.0075
    -2.42 0.0078
    -2.41 0.008
    -2.4 0.0082
    -2.39 0.0084
    -2.38 0.0087
    -2.37 0.0089
    -2.36 0.0091
    -2.35 0.0094
    -2.34 0.0096
    -2.33 0.0099
    -2.32 0.0102

    La primera columna titulada "\(Z\)" contiene valores de la distribución normal estándar; la segunda columna contiene el área de abajo\(Z\). Dado que la distribución tiene una media de\(0\) y una desviación estándar de\(1\), la\(Z\) columna es igual al número de desviaciones estándar por debajo (o por encima) de la media. Por ejemplo, a\(Z\) de\(-2.5\) representa un valor desviaciones\(2.5\) estándar por debajo de la media. El área de abajo\(Z\) es\(0.0062\).

    La misma información se puede obtener usando el siguiente applet de Java. La figura\(\PageIndex{1}\) muestra cómo se puede utilizar para calcular el área por debajo de un valor de\(-2.5\) en la distribución normal estándar. Tenga en cuenta que la media se establece en\(0\) y la desviación estándar se establece en\(1\).

    standard.gif
    Figura\(\PageIndex{1}\): Un ejemplo del applet

    Calcular áreas

    Un valor de cualquier distribución normal se puede transformar en su valor correspondiente en una distribución normal estándar usando la siguiente fórmula:

    \[Z=\frac{X-\mu }{\sigma }\]

    donde\(Z\) es el valor en la distribución normal estándar,\(X\) es el valor en la distribución original,\(\mu\) es la media de la distribución original, y\(\sigma\) es la desviación estándar de la distribución original.

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Como una simple aplicación, ¿qué porción de una distribución normal con una media de\(50\) y una desviación estándar de\(10\) está por debajo\(26\)?

    Solución

    Aplicando la fórmula, obtenemos

    \[Z = \frac{26 - 50}{10} = -2.4\]

    De Table\(\PageIndex{1}\), podemos ver eso\(0.0082\) of the distribution is below \(-2.4\). There is no need to transform to \(Z\) if you use the applet as shown in Figure \(\PageIndex{2}\).

    standard2.gif
    Figura \(\PageIndex{2}\): Área inferior\(26\) en una distribución normal con una media de\(50\) y una desviación estándar de\(10\)

    Si todos los valores de una distribución se transforman en\(Z\) puntuaciones, entonces la distribución tendrá una media de\(0\) y una desviación estándar de\(1\). Este proceso de transformación de una distribución a una con una media de\(0\) y una desviación estándar de\(1\) se denomina estandarización de la distribución.


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