7.6: Aproximación normal al binomio
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Objetivos de aprendizaje
- Indicar la relación entre la distribución normal y la distribución binomial
- Utilizar la distribución normal para aproximar la distribución binomial
- Estado cuando la aproximación es adecuada
En la sección sobre la historia de la distribución normal, vimos que la distribución normal puede ser utilizada para aproximar la distribución binomial. En esta sección se muestra cómo calcular estas aproximaciones.
Empecemos con un ejemplo. Suponga que tiene una moneda justa y desea saber la probabilidad de que obtenga8 cabezas de10 volteretas. La distribución binomial tiene una media deμ=Nπ=(10)(0.5)=5 y una varianza deσ2=Nπ(1−π)=(10)(0.5)(0.5)=2.5. Por lo tanto, la desviación estándar es1.5811. Un total de8 cabezas es desviaciones(8−5)/1.5811=1.897 estándar por encima de la media de la distribución. La pregunta entonces es: “¿Cuál es la probabilidad de obtener un valor exactamente desviaciones1.897 estándar por encima de la media?” Te puede sorprender saber que la respuesta es0: La probabilidad de que algún punto específico sea0. El problema es que la distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta, mientras que la distribución normal es una distribución continua.
La solución es redondear y considerar cualquier valor de7.58.5 a para representar un resultado de8 cabezas. Usando este enfoque, calculamos el área bajo una curva normal de7.5 a8.5. El área en verde en la Figura7.6.1 es una aproximación de la probabilidad de obtener8 cabezas.

Por lo tanto, la solución es computar esta área. Primero calculamos el área de abajo8.5 y luego restamos el área de abajo7.5.
Los resultados del uso de la calculadora de área normal para encontrar el área a continuación se8.5 muestran en la Figura7.6.2. Los resultados para7.5 se muestran en la Figura7.6.3.


La diferencia entre las áreas es0.044, que es la aproximación de la probabilidad binomial. Para estos parámetros, la aproximación es muy precisa. La demostración en la siguiente sección le permite explorar su precisión con diferentes parámetros.
Si no tenía la calculadora de área normal, podría encontrar la solución usando una tabla de la distribución normal estándar (unaZ tabla) de la siguiente manera:
- Encuentra unaZ puntuación para8.5 usar la fórmulaZ=(8.5−5)/1.5811=2.21.
- Encuentra el área debajoZ de una de2.21=0.987.
- Encuentra unaZ puntuación para7.5 usar la fórmulaZ=(7.5−5)/1.5811=1.58.
- Encuentra el área debajoZ de una de1.58=0.943.
- Restar el valor en paso4 del valor en paso2 para obtener0.044.
La misma lógica se aplica al calcular la probabilidad de un rango de resultados. Por ejemplo, para calcular la probabilidad de810 voltear, calcular el área de7.5 a10.5.
La precisión de la aproximación depende de los valores deN yπ. Una regla general es que la aproximación es buena si ambosNπ y ambosN(1−π) son mayores que10.