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3.E: Conceptos Básicos de Probabilidad (Ejercicios)

  • Page ID
    151090
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    3.1: Espacios de muestra, eventos y sus probabilidades

    Básico

    Q3.1.1

    Una caja contiene canicas\(10\) blancas y\(10\) negras. Construir un espacio muestral para el experimento de sacar aleatoriamente, con reemplazo, dos canicas sucesivamente y anotar el color cada vez. (Dibujar “con reemplazo” significa que el primer mármol se vuelve a poner antes de que se dibuje el segundo mármol).

    Q3.1.2

    Una caja contiene canicas\(16\) blancas y\(16\) negras. Construir un espacio muestral para el experimento de sacar al azar, con reemplazo, tres mármoles en sucesión y anotar el color cada vez. (Dibujar “con reemplazo” significa que cada mármol se vuelve a poner antes de que se dibuje el siguiente mármol).

    Q3.1.3

    Una caja contiene canicas\(8\) rojas,\(8\) amarillas y\(8\) verdes. Construir un espacio muestral para el experimento de sacar aleatoriamente, con reemplazo, dos canicas sucesivamente y anotar el color cada vez.

    Q3.1.4

    Una caja contiene canicas\(6\) rojas,\(6\) amarillas y\(6\) verdes. Construir un espacio muestral para el experimento de sacar al azar, con reemplazo, tres mármoles en sucesión y anotar el color cada vez.

    Q3.1.5

    En la situación del Ejercicio 1, enumere los resultados que comprenden cada uno de los siguientes eventos.

    1. Se dibuja al menos una canica de cada color.
    2. No se dibuja mármol blanco.

    Q3.1.6

    En la situación del Ejercicio 2, enumere los resultados que comprenden cada uno de los siguientes eventos.

    1. Se dibuja al menos una canica de cada color.
    2. No se dibuja mármol blanco.
    3. Se dibujan más canicas negras que blancas.

    Q3.1.7

    En la situación del Ejercicio 3, enumere los resultados que comprenden cada uno de los siguientes eventos.

    1. No se dibuja mármol amarillo.
    2. Las dos canicas dibujadas tienen el mismo color.
    3. Se dibuja al menos una canica de cada color.

    Q3.1.8

    En la situación del Ejercicio 4, enumere los resultados que comprenden cada uno de los siguientes eventos.

    1. No se dibuja mármol amarillo.
    2. Las tres canicas dibujadas tienen el mismo color.
    3. Se dibuja al menos una canica de cada color.

    Q3.1.9

    Suponiendo que cada resultado es igualmente probable, encuentra la probabilidad de cada evento en el Ejercicio 5.

    Q3.1.10

    Suponiendo que cada resultado es igualmente probable, encuentra la probabilidad de cada evento en el Ejercicio 6.

    Q3.1.11

    Suponiendo que cada resultado es igualmente probable, encuentra la probabilidad de cada evento en el Ejercicio 7.

    Q3.1.12

    Suponiendo que cada resultado es igualmente probable, encuentra la probabilidad de cada evento en el Ejercicio 8.

    Q3.1.13

    Un espacio de muestra es\(S=\{a,b,c,d,e\}\). Identificar dos eventos como\(U=\{a,b,d\}\) y\(V=\{b,c,d\}\). Supongamos\(P(a)\) y\(P(b)\) son cada uno\(0.2\) y\(P(c)\) y\(P(d)\) son cada uno\(0.1\).

    1. Determinar lo que\(P(e)\) debe ser.
    2. Encuentra\(P(U)\).
    3. Encuentra\(P(V)\)

    Q3.1.14

    Un espacio de muestra es\(S=\{u,v,w,x\}\). Identificar dos eventos como\(A=\{v,w\}\) y\(B=\{u,w,x\}\). Supongamos\(P(u)=0.22\)\(P(w)=0.36\),, y\(P(x)=0.27\).

    1. Determinar lo que\(P(v)\) debe ser.
    2. Encuentra\(P(A)\).
    3. Encuentra\(P(B)\).

    Q3.1.15

    Un espacio de muestra es\(S=\{m,n,q,r,s\}\). Identificar dos eventos como\(U=\{m,q,s\}\) y\(V=\{n,q,r\}\). Las probabilidades de algunos de los resultados se dan en la siguiente tabla:\[\begin{array}{c|c c c c c} Outcome &m &n &q &r &s \\ \hline Probability &0.18 &0.16 & &0.24 &0.21\\ \end{array}\]

    1. Determinar lo que\(P(q)\) debe ser.
    2. Encuentra\(P(U)\).
    3. Encuentra\(P(V)\).

    Q3.1.16

    Un espacio de muestra es\(S=\{d,e,f,g,h\}\). Identificar dos eventos como\(M=\{e,f,g,h\}\) y\(N=\{d,g\}\). Las probabilidades de algunos de los resultados se dan en la siguiente tabla:\[\begin{array}{c|c c c c c} Outcome &d &e &f &g &h \\ \hline Probability &0.22 &0.13 &0.27 & &0.19\\ \end{array}\]

    1. Determinar lo que\(P(g)\) debe ser.
    2. Encuentra\(P(M)\).
    3. Encuentra\(P(N)\).

    Aplicaciones

    Q3.1.17

    El espacio muestral que describe a todas las familias de tres hijos según los géneros de los niños con respecto al orden de nacimiento se construyó en “Ejemplo 3.1.4". Identificar los resultados que comprenden cada uno de los siguientes eventos en el experimento de selección aleatoria de una familia de tres hijos.

    1. Al menos un niño es una niña.
    2. A lo sumo un niño es una niña.
    3. Todos los niños son niñas.
    4. Exactamente dos de los niños son niñas.
    5. El primogénito es una niña.

    Q3.1.18

    El espacio muestral que describe tres lanzamientos de una moneda es el mismo que el construido en “Ejemplo 3.1.4" con “niño” reemplazado por “cabezas” y “niña” reemplazado por “colas”. Identificar los resultados que comprenden cada uno de los siguientes eventos en el experimento de lanzar una moneda tres veces.

    1. La moneda aterriza cabezas con más frecuencia que colas.
    2. La moneda aterriza cabezas el mismo número de veces que aterriza colas.
    3. La moneda aterriza cabezas al menos dos veces.
    4. La moneda aterriza cabezas en el último tiro.

    Q3.1.19

    Suponiendo que los resultados son igualmente probables, encuentra la probabilidad de cada evento en el Ejercicio 17.

    Q3.1.20

    Suponiendo que los resultados son igualmente probables, encuentra la probabilidad de cada evento en el Ejercicio 18.

    Ejercicios adicionales

    Q3.1.21

    La siguiente tabla de contingencia bidireccional da el desglose de la población en un lugar determinado según la edad y el consumo de tabaco:

    Edad Consumo de Tabaco
    Fumador No fumador
    Bajo\(30\) \(0.05\) \(0.20\)
    Más de\(30\) \(0.20\) \(0.55\)

    Una persona es seleccionada al azar. Encuentra la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos.

    1. La persona es fumador.
    2. La persona está debajo\(30\).
    3. La persona es un fumador que está debajo\(30\).

    Q3.1.22

    La siguiente tabla de contingencia bidireccional da el desglose de la población en un lugar determinado de acuerdo con la afiliación partidista (\(A, B, C,\; \text{or None}\)) y la opinión sobre una emisión de bonos:

    Afiliación Opinión
    Favores Se opone Indecisos
    \(A\) \(0.12\) \(0.09\) \(0.07\)
    \(B\) \(0.16\) \(0.12\) \(0.14\)
    \(C\) \(0.04\) \(0.03\) \(0.06\)
    Ninguno \(0.08\) \(0.06\) \(0.03\)

    Una persona es seleccionada al azar. Encuentra la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos.

    1. La persona está afiliada a partido\(B\).
    2. La persona está afiliada a algún partido.
    3. La persona está a favor de la emisión de bonos.
    4. La persona no tiene afiliación partidista y está indecisa sobre la emisión de bonos.

    Q3.1.23

    La siguiente tabla de contingencia bidireccional da el desglose de la población de mujeres casadas o previamente casadas más allá de la edad de procrear en un lugar determinado según la edad al primer matrimonio y el número de hijos:

    Edad Número de niños
    \(0\) \(1\; or\; 2\) \(3\; \text{or More}\)
    \(Under\; 20\) \ (0\)” style="vertical-align:middle; ">\(0.02\) \ (1\; o\; 2\)” style="vertical-align:middle; ">\(0.14\) \ (3\;\ text {or More}\)” style="vertical-align:middle; ">\(0.08\)
    \(20-29\) \ (0\)” style="vertical-align:middle; ">\(0.07\) \ (1\; o\; 2\)” style="vertical-align:middle; ">\(0.37\) \ (3\;\ text {or More}\)” style="vertical-align:middle; ">\(0.11\)
    \(30\; \text{and above}\) \ (0\)” style="vertical-align:middle; ">\(0.10\) \ (1\; o\; 2\)” style="vertical-align:middle; ">\(0.10\) \ (3\;\ text {or More}\)” style="vertical-align:middle; ">\(0.01\)

    Una mujer es seleccionada al azar. Encuentra la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos.

    1. La mujer tenía veintitantos años en su primer matrimonio.
    2. La mujer era\(20\) o mayor en su primer matrimonio.
    3. La mujer no tuvo hijos.
    4. La mujer tenía veintitantos años en su primer matrimonio y tenía al menos tres hijos.

    Q3.1.24

    La siguiente tabla de contingencia bidireccional da el desglose de la población de adultos en un lugar determinado de acuerdo con el nivel más alto de educación y si el individuo toma o no suplementos dietéticos de manera regular:

    Educación Uso de Suplementos
    Toma No Toma
    Sin Diploma de Preparatoria \(0.04\) \(0.06\)
    Diplomado de Preparatoria \(0.06\) \(0.44\)
    Licenciatura \(0.09\) \(0.28\)
    Titulación de Posgrado \(0.01\) \(0.02\)

    Se selecciona al azar a un adulto. Encuentra la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos.

    1. La persona tiene un diploma de preparatoria y toma suplementos dietéticos con regularidad.
    2. La persona tiene una licenciatura y toma suplementos dietéticos con regularidad.
    3. La persona toma suplementos dietéticos con regularidad.
    4. La persona no toma suplementos dietéticos con regularidad.

    Ejercicios de conjuntos de datos grandes

    Q3.1.25

    El Conjunto de Datos Grande 4 y el Conjunto de Datos 4A registran los resultados de\(500\) los tirados de una moneda. Encuentra la frecuencia relativa de cada resultado\(1, 2, 3, 4, 5,\; and\; 6\). ¿La moneda parece estar “equilibrada” o “justa”?

    Q3.1.26

    El Conjunto de Datos Grande 6, el Conjunto de Datos 6A y el Conjunto de Datos 6B registran los resultados de una encuesta aleatoria de\(200\) votantes en cada una de las dos regiones, en la que se les pidió que expresaran si preferían Candidato\(A\) para un escaño en el Senado de Estados Unidos o preferían algún otro candidato.

    1. Encuentra la probabilidad de que un elector seleccionado al azar entre estos\(400\) prefiera Candidato\(A\).
    2. Encuentra la probabilidad de que un elector seleccionado al azar entre los\(200\) que viven en Región\(1\) prefiera Candidato\(A\) (registrado por separado en\(\text{Large Data Set 6A}\)).
    3. Encuentra la probabilidad de que un elector seleccionado al azar entre los\(200\) que viven en Región\(2\) prefiera Candidato\(A\) (registrado por separado en\(\text{Large Data Set 6B}\)).

    RESPUESTAS

    S3.1.1

    \(S=\{bb,bw,wb,ww\}\)

    S3.1.3

    \(S=\{rr,ry,rg,yr,yy,yg,gr,gy,gg\}\)

    S3.1.5

    1. \(\{bw,wb\}\)
    2. \(\{bb\}\)

    S3.1.7

    1. \(\{rr,rg,gr,gg\}\)
    2. \(\{rr,yy,gg\}\)
    3. \(\varnothing \)

    S3.1.9

    1. \(1/4\)
    2. \(2/4\)

    S3.1.11

    1. \(4/9\)
    2. \(3/9\)
    3. \(0\)

    S3.1.13

    1. \(0.4\)
    2. \(0.5\)
    3. \(0.4\)

    S3.1.15

    1. \(0.61\)
    2. \(0.6\)
    3. \(0.21\)

    S3.1.17

    1. \(\{gbb,gbg,ggb,ggg\}\)
    2. \(\{bgg,gbg,ggb\}\)
    3. \(\{ggg\}\)
    4. \(\{bbb,bbg,bgb,gbb\}\)
    5. \(\{bbg,bgb,bgg,gbb,gbg,ggb,ggg\}\)

    S3.1.19

    1. \(4/8\)
    2. \(3/8\)
    3. \(1/8\)
    4. \(4/8\)
    5. \(7/8\)

    S3.1.21

    1. \(0.05\)
    2. \(0.25\)
    3. \(0.25\)

    S3.1.23

    1. \(0.11\)
    2. \(0.19\)
    3. \(0.76\)
    4. \(0.55\)

    S3.1.25

    Las frecuencias relativas para\(1\) a través\(6\) son\(0.16, 0.194, 0.162, 0.164, 0.154\; and\; 0.166\). Parecería que el dado no está equilibrado.

    3.2: Complementos, Intersecciones y Uniones

    Básico

    1. Para el espacio muestral\(S=\{a,b,c,d,e\}\) identificar el complemento de cada evento dado.
      1. \(A=\{a,d,e\}\)
      2. \(B=\{b,c,d,e\}\)
      3. \(S\)
    2. Para el espacio muestral\(S=\{r,s,t,u,v\}\) identificar el complemento de cada evento dado.
      1. \(R=\{t,u\}\)
      2. \(T=\{r\}\)
      3. \(\varnothing\)(el conjunto “vacío” que no tiene elementos)
    3. El espacio de muestra para tres tiradas de una moneda es\(S=\{hhh,hht,hth,htt,thh,tht,tth,ttt\}\) Definir eventos\[\text{H:at least one head is observed}\\ \text{M:more heads than tails are observed}\]
      1. Enumerar los resultados que comprenden\(H\) y\(M\).
      2. Enumere los resultados que comprenden\(H\cap M\),\(H\cup M\), y\(H^c\).
      3. Asumiendo que todos los resultados son igualmente probables\(P(H\cap M)\), encontrar\(P(H\cup M)\),, y\(P(H^c)\).
      4. Determinar si o no\(H^c\) y\(M\) son mutuamente excluyentes. Explique por qué o por qué no.
    4. Para el experimento de enrollar una sola matriz de seis lados una vez, defina eventos\[\text{T:the number rolled is three}\\ \text{G:the number rolled is four or greater}\]
      1. Enumerar los resultados que comprenden\(T\) y\(G\).
      2. Enumere los resultados que comprenden\(T\cap G\)\(T\cup G\),,\(T^c\), y\((T\cup G)^c\).
      3. Asumiendo que todos los resultados son igualmente probables\(P(T\cap G)\), encontrar\(P(T\cup G)\),, y\(P(T^c)\).
      4. Determinar si o no\(T\) y\(G\) son mutuamente excluyentes. Explique por qué o por qué no.
    5. Una baraja especial de\(16\) cartas tiene\(4\) que son azules,\(4\) amarillas,\(4\) verdes y\(4\) rojas. Las cuatro cartas de cada color están numeradas de una a cuatro. Una sola carta es sorteada al azar. Definir eventos\[\text{B:the card is blue}\\ \text{R:the card is red}\\ \text{N:the number on the card is at most two}\]
      1. Enumere los resultados que comprenden\(B\),\(R\), y\(N\).
      2. Enumere los resultados que comprenden\(B\cap R\)\(B\cup R\),\(B\cap N\),\(R\cup N\),\(B^c\), y\((B\cup R)^c\).
      3. Suponiendo que todos los resultados son igualmente probables, encuentra las probabilidades de los eventos en la parte anterior.
      4. Determinar si o no\(B\) y\(N\) son mutuamente excluyentes. Explique por qué o por qué no.
    6. En el contexto del problema anterior, definir eventos\[\text{Y:the card is yellow}\\ \text{I:the number on the card is not a one}\\ \text{J:the number on the card is a two or a four}\]
      1. Enumere los resultados que comprenden\(Y\),\(I\), y\(J\).
      2. Enumere los resultados que comprenden\(Y\cap I\)\(Y\cup J\),\(I\cap J\),,\(I^c\), y\((Y\cup J)^c\).
      3. Suponiendo que todos los resultados son igualmente probables, encuentra las probabilidades de los eventos en la parte anterior.
      4. Determinar si o no\(I^c\) y\(J\) son mutuamente excluyentes. Explique por qué o por qué no.
    7. El diagrama de Venn proporcionado muestra un espacio de muestra y dos eventos\(A\) y\(B\). Supongamos\(P(a)=0.13, P(b)=0.09, P(c)=0.27, P(d)=0.20,\; \text{and}\; P(e)=0.31\). Confirme que las probabilidades de los resultados se suman\(1\), luego compute las siguientes probabilidades.
    alt
    1. \(P(A)\).
    2. \(P(B)\).
    3. \(P(A^c)\). Dos formas: (i) encontrando los resultados\(A^c\) y sumando sus probabilidades, y (ii) usando la Regla de Probabilidad para Complementos.
    4. \(P(A\cap B)\).
    5. \(P(A\cup B)\)Dos maneras: (i) encontrando los resultados\(A\cup B\) y sumando sus probabilidades, y (ii) usando la Regla Aditiva de Probabilidad.
    1. El diagrama de Venn proporcionado muestra un espacio de muestra y dos eventos\(A\) y\(B\). Supongamos\(P(a)=0.32, P(b)=0.17, P(c)=0.28,\; \text{and}\; P(d)=0.23\). Confirme que las probabilidades de los resultados se suman\(1\), luego compute las siguientes probabilidades.
    3ba777e453d1118c377ee69b788d0a74.jpg
    1. \(P(A)\).
    2. \(P(B)\).
    3. \(P(A^c)\). Dos formas: (i) encontrando los resultados\(A^c\) y sumando sus probabilidades, y (ii) usando la Regla de Probabilidad para Complementos.
    4. \(P(A\cap B)\).
    5. \(P(A\cup B)\)Dos maneras: (i) encontrando los resultados\(A\cup B\) y sumando sus probabilidades, y (ii) usando la Regla Aditiva de Probabilidad.
    1. Confirmar que las probabilidades en la tabla de contingencia bidireccional suman\(1\), luego utilízala para encontrar las probabilidades de los eventos indicados.
    \(U\) \(V\) \(W\)
    \(A\) \ (U\) ">\(0.15\) \ (V\) ">\(0.00\) \ (W\) ">\(0.23\)
    \(B\) \ (U\) ">\(0.22\) \ (V\) ">\(0.30\) \ (W\) ">\(0.10\)
    1. \(P(A), P(B), P(A\cap B)\).
    2. \(P(U), P(W), P(U\cap W)\).
    3. \(P(U\cup W)\).
    4. \(P(V^c)\).
    5. Determinar si los eventos\(A\) y\(U\) son mutuamente excluyentes; los eventos\(A\) y\(V\).
    1. Confirmar que las probabilidades en la tabla de contingencia bidireccional suman\(1\), luego utilízala para encontrar las probabilidades de los eventos indicados.
    \(R\) \(S\) \(T\)
    \(M\) \ (R\) ">\(0.09\) \ (S\) ">\(0.25\) \ (T\) ">\(0.19\)
    \(N\) \ (R\) ">\(0.31\) \ (S\) ">\(0.16\) \ (T\) ">\(0.00\)
    1. \(P(R), P(S), P(R\cap S)\).
    2. \(P(M), P(N), P(M\cap N)\).
    3. \(P(R\cup S)\).
    4. \(P(R^c)\).
    5. Determinar si los eventos\(N\) y\(S\) son mutuamente excluyentes; los eventos\(N\) y\(T\).

    Aplicaciones

    1. Hacer una declaración en inglés ordinario que describa el complemento de cada evento (no se limite a insertar la palabra “no”).
      1. En el rollo de un dado: “cinco o más”.
      2. En un rollo de dado: “un número par”.
      3. En dos tiradas de una moneda: “al menos una cabeza”.
      4. En la selección aleatoria de un estudiante universitario: “No un estudiante de primer año”.
    2. Hacer una declaración en inglés ordinario que describa el complemento de cada evento (no se limite a insertar la palabra “no”).
      1. En el rollo de un dado: “dos o menos”.
      2. En el rollo de un dado: “uno, tres, o cuatro”.
      3. En dos tiradas de una moneda: “a lo sumo una cabeza”.
      4. En la selección aleatoria de un estudiante universitario: “Ni un estudiante de primer año ni un senior”.
    3. El espacio muestral que describe a todas las familias de tres hijos según los géneros de los niños con respecto al orden de nacimiento es\(S=\{bbb,bbg,bgb,bgg,gbb,gbg,ggb,ggg\}\). Para cada uno de los siguientes eventos en el experimento de seleccionar una familia de tres hijos al azar, declarar el complemento del evento en los términos más simples posibles, luego encontrar los resultados que componen el evento y su complemento.
      1. Al menos un niño es una niña.
      2. A lo sumo un niño es una niña.
      3. Todos los niños son niñas.
      4. Exactamente dos de los niños son niñas.
      5. El primogénito es una niña.
    4. El espacio muestral que describe la clasificación bidireccional de los ciudadanos según género y opinión sobre un tema político es\(S=\{mf,ma,mn,ff,fa,fn\}\), donde la primera letra denota género (\(\text{m: male, f: female}\)) y la segunda opinión (\(\text{f: for, a: against, n: neutral}\)). Para cada uno de los siguientes eventos en el experimento de seleccionar a un ciudadano al azar, declarar el complemento del evento en los términos más simples posibles, luego encontrar los resultados que comprenden el evento y su complemento.
      1. La persona es de sexo masculino.
      2. La persona no está a favor.
      3. La persona es o varón o a favor.
      4. La persona es femenina y neutral.
    5. Un turista que habla inglés y alemán pero ningún otro idioma visita una región de Eslovenia. Si\(35\%\) de los residentes hablan inglés,\(15\%\) hablan alemán y\(3\%\) hablan tanto inglés como alemán, ¿cuál es la probabilidad de que el turista pueda hablar con un residente de la región encontrado al azar?
    6. En cierto país\(43\%\) de todos los automóviles tienen bolsas de aire,\(27\%\) tienen frenos antibloqueo, y\(13\%\) tienen ambos. ¿Cuál es la probabilidad de que un vehículo seleccionado al azar tenga tanto bolsas de aire como frenos antibloqueo?
    7. Un fabricante examina sus registros durante el último año en una pieza componente recibida de proveedores externos. El desglose por fuente (proveedor\(A\), proveedor\(B\)) y calidad (\(\text{H: high, U: usable, D: defective}\)) se muestra en la tabla de contingencia bidireccional.
    \(H\) \(U\) \(D\)
    \(A\) \ (H\) ">\(0.6937\) \ (U\) ">\(0.0049\) \ (D\) ">\(0.0014\)
    \(B\) \ (H\) ">\(0.2982\) \ (U\) ">\(0.0009\) \ (D\) ">\(0.0009\)

    El registro de una parte se selecciona al azar. Encuentra la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos.

    1. La pieza estaba defectuosa.
    2. La parte era de alta calidad o era al menos utilizable, de dos maneras: (i) sumando números en la tabla, y (ii) usando la respuesta a (a) y la Regla de Probabilidad para Complementos.
    3. La pieza estaba defectuosa y venía del proveedor\(B\).
    4. La parte era defectuosa o provino del proveedor\(B\), de dos maneras: encontrando las celdas en la tabla que corresponden a este evento y sumando sus probabilidades, y (ii) usando la Regla Aditiva de Probabilidad.
    1. Los individuos con una condición médica particular se clasificaron de acuerdo con la presencia (\(T\)) o ausencia (\(N\)) de una toxina potencial en su sangre y el inicio de la afección (\(\text{E: early, M: midrange, L: late}\)). El desglose de acuerdo a esta clasificación se muestra en la tabla de contingencia bidireccional.
    \(E\) \(M\) \(L\)
    \(T\) \ (E\) ">\(0.012\) \ (M\) ">\(0.124\) \ (L\) ">\(0.013\)
    \(N\) \ (E\) ">\(0.170\) \ (M\) ">\(0.638\) \ (L\) ">\(0.043\)

    Uno de estos individuos se selecciona al azar. Encuentra la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos.

    1. La persona experimentó inicio temprano del padecimiento.
    2. El inicio de la condición fue de rango medio o tardío, de dos maneras: (i) sumando números en la tabla, y (ii) usando la respuesta a (a) y la Regla de Probabilidad para Complementos.
    3. La toxina está presente en la sangre de la persona.
    4. La persona experimentó el inicio temprano de la afección y la toxina está presente en la sangre de la persona.
    5. La persona experimentó inicio temprano de la afección o la toxina está presente en la sangre de la persona, de dos maneras: (i) encontrando las células en la tabla que corresponden a este evento y agregando sus probabilidades, y (ii) usando la Regla Aditiva de Probabilidad.
    1. El desglose de los alumnos matriculados en un curso universitario por clase (\(\text{F: freshman, So: sophomore, J: junior, Se: senior}\)) y por mayor académico (\(\text{S: science, mathematics, or engineering, L: liberal arts, O: other}\)) se muestra en la tabla de clasificación bidireccional.
    Mayor Clase
    \(F\) \(So\) \(J\) \(Se\)
    \(S\) \ (F\)” style="vertical-align:middle; ">\(92\) \ (Así\)” style="vertical-align:middle; ">\(42\) \ (J\)” style="vertical-align:middle; ">\(20\) \ (Se\)” style="vertical-align:middle; ">\(13\)
    \(L\) \ (F\)” style="vertical-align:middle; ">\(368\) \ (Así\)” style="vertical-align:middle; ">\(167\) \ (J\)” style="vertical-align:middle; ">\(80\) \ (Se\)” style="vertical-align:middle; ">\(53\)
    \(O\) \ (F\)” style="vertical-align:middle; ">\(460\) \ (Así\)” style="vertical-align:middle; ">\(209\) \ (J\)” style="vertical-align:middle; ">\(100\) \ (Se\)” style="vertical-align:middle; ">\(67\)

    Se selecciona al azar a un alumno inscrito en el curso. Coloca los totales de fila y columna a la tabla y usa la tabla expandida para encontrar la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos.

    1. El estudiante es un estudiante de primer año.
    2. El estudiante es un estudiante de artes liberales.
    3. El estudiante es un estudiante de primer año de artes liberales.
    4. El estudiante es un estudiante de primer año o un estudiante de artes liberales.
    5. El estudiante no es un estudiante de artes liberales.
    1. La tabla relaciona la respuesta a un llamamiento de recaudación de fondos por parte de un colegio a sus ex alumnos con el número de años transcurridos desde la graduación.
    Respuesta Años desde la graduación
    \(0-5\) \(6-20\) \(21-35\) Más de\(35\)
    Positivo \ (0-5\)” style="vertical-align:middle; ">\(120\) \ (6-20\)” style="vertical-align:middle; ">\(440\) \ (21-35\)” style="vertical-align:middle; ">\(210\) \ (35\)” style="vertical-align:middle; ">\(90\)
    Ninguno \ (0-5\)” style="vertical-align:middle; ">\(1380\) \ (6-20\)” style="vertical-align:middle; ">\(3560\) \ (21-35\)” style="vertical-align:middle; ">\(3290\) \ (35\)” style="vertical-align:middle; ">\(910\)

    Se selecciona al azar a un alumno. Coloca los totales de fila y columna a la tabla y usa la tabla expandida para encontrar la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos.

    1. El alumno respondió.
    2. El exalumno no respondió.
    3. El ex alumno se graduó hace al menos\(21\) años.
    4. El ex alumno se graduó hace al menos\(21\) años y respondió.

    Ejercicios adicionales

    1. El espacio de muestra para lanzar tres monedas es\(S=\{hhh,hht,hth,htt,thh,tht,tth,ttt\}\)
      1. Enumere los resultados que corresponden al enunciado “Todas las monedas son cabezas”.
      2. Enumere los resultados que corresponden al enunciado “No todas las monedas son cabezas”.
      3. Enumere los resultados que corresponden al enunciado “Todas las monedas no son cabezas”.

    RESPUESTAS

      1. \(\{b,c\}\)
      2. \(\{a\}\)
      3. \(\varnothing\)
      1. \(H=\{hhh,hht,hth,htt,thh,tht,tth\},\; M=\{hhh,hht,hth,thh\}\)
      2. \(H\cap M=\{hhh,hht,hth,thh\}, H\cup M=H, H^c=\{ttt\}\)
      3. \(P(H\cap M)=4/8, P(H\cup M)=7/8, P(H^c)=1/8\)
      4. Mutuamente excluyentes porque no tienen elementos en común.
      1. \(B=\{b1,b2,b3,b4\},\; R=\{r1,r2,r3,r4\},\; N=\{b1,b2,y1,y2,g1,g2,r1,r2\}\)
      2. \(B\cap R=\varnothing , B\cup R=\{b1,b2,b3,b4,r1,r2,r3,r4\},\; B\cap N=\{b1,b2\},\\ R\cup N=\{b1,b2,y1,y2,g1,g2,r1,r2,r3,r4\},\\ B^c=\{y1,y2,y3,y4,g1,g2,g3,g4,r1,r2,r3,r4\},\; (B\cup R)^c=\{y1,y2,y3,y4,g1,g2,g3,g4\}\)
      3. \(P(B\cap R)=0,\; P(B\cup R)=8/16,\; P(B\cap N)=2/16,\; P(R\cup N)=10/16,\; P(B^c)=12/16,\; P((B\cup R)^c)=8/16\)
      4. No mutuamente excluyentes porque tienen un elemento en común.
      1. \(0.36\)
      2. \(0.78\)
      3. \(0.64\)
      4. \(0.27\)
      5. \(0.87\)
      1. \(P(A)=0.38,\; P(B)=0.62,\; P(A\cap B)=0\)
      2. \(P(U)=0.37,\; P(W)=0.33,\; P(U\cap W)=0\)
      3. \(0.7\)
      4. \(0.7\)
      5. \(A\)y no\(U\) son mutuamente excluyentes porque\(P(A\cap U)\) es el número distinto de cero\(0.15\). \(A\)y\(V\) son mutuamente excluyentes porque\(P(A\cap V)=0\).
      1. “cuatro o menos”
      2. “un número impar”
      3. “sin cabezas” o “todas las colas”
      4. “un estudiante de primer año”
      1. “Todos los niños son chicos”. Evento:\(\{bbg,bgb,bgg,gbb,gbg,ggb,ggg\}\), Complemento:\(\{bbb\}\)
      2. “Al menos dos de los niños son niñas” o “Hay dos o tres niñas”. Evento:\(\{bbb,bbg,bgb,gbb\}\), Complemento:\(\{bgg,gbg,ggb,ggg\}\)
      3. “Al menos un niño es un niño”. Evento:\(\{ggg\}\), Complemento:\(\{bbb,bbg,bgb,bgg,gbb,gbg,ggb\}\)
      4. “O no hay chicas, exactamente una niña, o tres chicas”. Evento:\(\{bgg,gbg,ggb\}\), Complemento:\(\{bbb,bbg,bgb,gbb,ggg\}\)
      5. “El primogénito es un niño”. Evento:\(\{gbb,gbg,ggb,ggg\}\), Complemento:\(\{bbb,bbg,bgb,bgg\}\)
    1. \(0.47\)
      1. \(0.0023\)
      2. \(0.9977\)
      3. \(0.0009\)
      4. \(0.3014\)
      1. \(920/1671\)
      2. \(668/1671\)
      3. \(368/1671\)
      4. \(1220/1671\)
      5. \(1003/1671\)
      1. \(\{hhh\}\)
      2. \(\{hht,hth,htt,thh,tht,tth,ttt\}\)
      3. \(\{ttt\}\)

    3.3: Probabilidad Condicional y Eventos Independientes

    Basi

    1. Q3.3.1Para dos eventos\(A\) y\(B\),\(P(A)=0.73,\; P(B)=0.48\; \text{and}\; P(A\cap B)=0.29\).
      1. Encuentra\(P(A\mid B)\).
      2. Encuentra\(P(B\mid A)\).
      3. Determinar si o no\(A\) y\(B\) son independientes.
    2. Q3.3.1Para dos eventos\(A\) y\(B\), \(P(A)=0.26,\; P(B)=0.37\; \text{and}\; P(A\cap B)=0.11\).
      1. Encuentra\(P(A\mid B)\).
      2. Encuentra\(P(B\mid A)\).
      3. Determinar si o no\(A\) y\(B\) son independientes.
    3. Q3.3.1Para eventos independientes\(A\) y\(B\), \(P(A)=0.81\)y\(P(B)=0.27\).
      1. \(P(A\cap B)\).
      2. Encuentra\(P(A\mid B)\).
      3. Encuentra\(P(B\mid A)\).
    4. Q3.3.1Para eventos independientes\(A\) y\(B\), \(P(A)=0.68\)y\(P(B)=0.37\).
      1. \(P(A\cap B)\).
      2. Encuentra\(P(A\mid B)\).
      3. Encuentra\(P(B\mid A)\).
    5. Q3.3.1Para eventos mutuamente excluyentes\(A\) y\(B\), \(P(A)=0.17\)y\(P(B)=0.32\).
      1. Encuentra\(P(A\mid B)\).
      2. Encuentra\(P(B\mid A)\).
    6. Q3.3.1Para eventos mutuamente excluyentes\(A\) y\(B\), \(P(A)=0.45\)y\(P(B)=0.09\).
      1. Encuentra\(P(A\mid B)\).
      2. Encuentra\(P(B\mid A)\).
    7. Q3.3.1Calentar las siguientes probabilidades en relación con el rollo de un solo dado justo.
      1. La probabilidad de que el rollo sea parejo.
      2. La probabilidad de que el rollo sea parejo, dado que no es un dos.
      3. La probabilidad de que el rollo sea parejo, dado que no es uno.
    8. Q3.3.1Calculo las siguientes probabilidades en relación con dos tiradas de una moneda justa.
      1. La probabilidad de que el segundo tiro sea cabezas.
      2. La probabilidad de que el segundo tiro sea cabezas, dado que el primer tiro son cabezas.
      3. La probabilidad de que el segundo tiro sea cabezas, dado que al menos uno de los dos tirados es cabezas.
    9. Q3.3.1A baraja especial de\(16\) cartas tiene\(4\) que son azules,\(4\) amarillas,\(4\) verdes y\(4\) rojas. Las cuatro cartas de cada color están numeradas de una a cuatro. Una sola carta es sorteada al azar. Encuentra las siguientes probabilidades.
      1. La probabilidad de que la carta extraída sea roja.
      2. La probabilidad de que la tarjeta sea roja, dado que no es verde.
      3. La probabilidad de que la tarjeta sea roja, dado que no es ni roja ni amarilla.
      4. La probabilidad de que la tarjeta sea roja, dado que no es un cuatro.
    10. Q3.3.1A baraja especial de\(16\) cartas tiene\(4\) que son azules,\(4\) amarillas,\(4\) verdes y\(4\) rojas. Las cuatro cartas de cada color están numeradas de una a cuatro. Una sola carta es sorteada al azar. Encuentra las siguientes probabilidades.
      1. La probabilidad de que la carta extraída sea un dos o un cuatro.
      2. La probabilidad de que la carta sea un dos o un cuatro, dado que no es uno.
      3. La probabilidad de que la carta sea un dos o un cuatro, dado que es o bien un dos o un tres.
      4. La probabilidad de que la carta sea un dos o un cuatro, dado que es de color rojo o verde.
    11. El experimento aleatorio Q3.3.1A dio lugar a la tabla de contingencia bidireccional mostrada. Utilízala para calcular las probabilidades indicadas.
      \(R\) \(S\)
      \(A\) \ (R\) ">\(0.12\) \ (S\) ">\(0.18\)
      \(B\) \ (R\) ">\(0.28\) \ (S\) ">\(0.42\)
      1. \(P(A),\; P(R),\; P(A\cap B)\).
      2. Con base en la respuesta a (a), determinar si los eventos\(A\) y\(R\) son independientes o no.
      3. Con base en la respuesta a (b), determinar si se\(P(A\mid R)\) puede predecir o no sin ningún cómputo. Si es así, haz la predicción. En cualquier caso, cómpule\(P(A\mid R)\) usando la Regla para Probabilidad Condicional.
    12. El experimento aleatorio Q3.3.1A dio lugar a la tabla de contingencia bidireccional mostrada. Utilízala para calcular las probabilidades indicadas.
      \(R\) \(S\)
      \(A\) \ (R\)” class="lt-estados-1101">\(0.13\) \ (S\)” class="lt-estados-1101">\(0.07\)
      \(B\) \ (R\)” class="lt-estados-1101">\(0.61\) \ (S\)” class="lt-estados-1101">\(0.19\)
      1. \(P(A),\; P(R),\; P(A\cap B)\).
      2. Con base en la respuesta a (a), determinar si los eventos\(A\) y\(R\) son independientes o no.
      3. Con base en la respuesta a (b), determinar si se\(P(A\mid R)\) puede predecir o no sin ningún cómputo. Si es así, haz la predicción. En cualquier caso, cómpule\(P(A\mid R)\) usando la Regla para Probabilidad Condicional.
    13. Q3.3.1Supongamos para eventos\(A\) y\(B\) en un experimento aleatorio\(P(A)=0.70\) y\(P(B)=0.30\) .Calcule la probabilidad indicada, o explique por qué no hay suficiente información para hacerlo.
      1. \(P(A\cap B)\).
      2. \(P(A\cap B)\), con la información extra que\(A\) y\(B\) son independientes.
      3. \(P(A\cap B)\), con la información extra que\(A\) y\(B\) son mutuamente excluyentes.
    14. Q3.3.1Supongamos para eventos\(A\) y\(B\) en un experimento aleatorio\(P(A)=0.50\) y\(P(B)=0.50\). Calentar la probabilidad indicada, o explicar por qué no hay suficiente información para hacerlo.
      1. \(P(A\cap B)\).
      2. \(P(A\cap B)\), con la información extra que\(A\) y\(B\) son independientes.
      3. \(P(A\cap B)\), con la información extra que\(A\) y\(B\) son mutuamente excluyentes.
    15. Q3.3.1Supongamos que para los eventos\(A,\; B,\; and\; C\) conectados a algún experimento aleatorio,\(A,\; B,\; and\; C\) son independientes y\(P(A)=0.50\),\(P(B)=0.50\; \text{and}\; P(C)=0.44\). Calentar la probabilidad indicada, o explicar por qué no hay suficiente información para hacerlo.
      1. \(P(A\cap B\cap C)\).
      2. \(P(A^c\cap B^c\cap C^c)\).
    16. Q3.3.1Supongamos que para los eventos\(A,\; B,\; and\; C\) conectados a algún experimento aleatorio,\(A,\; B,\; and\; C\) son independientes y\(P(A)=0.95\),\(P(B)=0.73\; \text{and}\; P(C)=0.62\). Calentar la probabilidad indicada, o explicar por qué no hay suficiente información para hacerlo.
      1. \(P(A\cap B\cap C)\).
      2. \(P(A^c\cap B^c\cap C^c)\).

    Aplicaciones

    Q3.3.17

    El espacio muestral que describe a todas las familias de tres hijos según los géneros de los hijos con respecto al orden de nacimiento es\[S=\{bbb,bbg,bgb,bgg,gbb,gbg,ggb,ggg\}\] En el experimento de seleccionar una familia de tres hijos al azar, computar cada una de las siguientes probabilidades, asumiendo que todos los resultados son igualmente probables.

    1. La probabilidad de que la familia tenga al menos dos hijos.
    2. La probabilidad de que la familia tenga al menos dos hijos, dado que no todos los niños son niñas.
    3. La probabilidad de que al menos un niño sea un niño.
    4. La probabilidad de que al menos un niño sea un niño, dado que el primogénito es una niña.

    Q3.3.18

    La siguiente tabla de contingencia bidireccional da el desglose de la población en un lugar determinado según la edad y el número de violaciones de movimiento vehicular en los últimos tres años:

    Edad Violaciones
    \(0\) \(1\) \(2+\)
    Bajo\(21\) \ (0\)” style="vertical-align:middle; ">\(0.04\) \ (1\)” style="vertical-align:middle; ">\(0.06\) \ (2+\)” style="vertical-align:middle; ">\(0.02\)
    \(21-40\) \ (0\)” style="vertical-align:middle; ">\(0.25\) \ (1\)” style="vertical-align:middle; ">\(0.16\) \ (2+\)” style="vertical-align:middle; ">\(0.01\)
    \(41-60\) \ (0\)” style="vertical-align:middle; ">\(0.23\) \ (1\)” style="vertical-align:middle; ">\(0.10\) \ (2+\)” style="vertical-align:middle; ">\(0.02\)
    \(60+\) \ (0\)” style="vertical-align:middle; ">\(0.08\) \ (1\)” style="vertical-align:middle; ">\(0.03\) \ (2+\)” style="vertical-align:middle; ">\(0.00\)

    Una persona es seleccionada al azar. Encuentra las siguientes probabilidades.

    1. La persona está debajo\(21\).
    2. La persona ha tenido al menos dos violaciones en los últimos tres años.
    3. La persona ha tenido al menos dos violaciones en los últimos tres años, dado que se encuentra bajo\(21\).
    4. El sujeto está bajo\(21\), dado que ha tenido al menos dos violaciones en los últimos tres años.
    5. Determinar si los hechos “la persona está bajo\(21\)” y “la persona ha tenido al menos dos violaciones en los últimos tres años” son independientes o no.

    Q3.3.19

    La siguiente tabla de contingencia bidireccional da el desglose de la población en un lugar determinado de acuerdo con la afiliación partidista (\(A, B, C, \text{or None}\)) y la opinión sobre una emisión de bonos:

    Afiliación Opinión
    Favores Se opone Indecisos
    \(A\) \(0.12\) \(0.09\) \(0.07\)
    \(B\) \(0.16\) \(0.12\) \(0.14\)
    \(C\) \(0.04\) \(0.03\) \(0.06\)
    Ninguno \(0.08\) \(0.06\) \(0.03\)

    Una persona es seleccionada al azar. Encuentra cada una de las siguientes probabilidades.

    1. La persona está a favor de la emisión de bonos.
    2. La persona está a favor de la emisión de bonos, dado que está afiliado a partido\(A\).
    3. La persona está a favor de la emisión de bonos, dado que está afiliado a partido\(B\).

    Q3.3.20

    La siguiente tabla de contingencia bidireccional da el desglose de la población de mecenas en una tienda de abarrotes de acuerdo con el número de artículos comprados y si el cliente realizó o no una compra impulsiva en el mostrador de caja:

    Número de artículos Compra por Impulso
    Hecho No Hecho
    Pocos \(0.01\) \(0.19\)
    Muchos \(0.04\) \(0.76\)

    Se selecciona un patrón al azar. Encuentra cada una de las siguientes probabilidades.

    1. El patrón realizó una compra impulsiva.
    2. El mecenas realizó una compra impulsiva, dado que el número total de artículos comprados fue muchos.
    3. Determinar si los eventos “pocas compras” y “hicieron una compra impulsiva en el mostrador de pago” son independientes o no.

    Q3.3.21

    La siguiente tabla de contingencia bidireccional da el desglose de la población de adultos en un lugar determinado según tipo de empleo y nivel de seguro de vida:

    Tipo de Empleo Nivel de Seguro
    Bajo Mediano Alto
    No calificados \(0.07\) \(0.19\) \(0.00\)
    Semicalificada \(0.04\) \(0.28\) \(0.08\)
    Hábil \(0.03\) \(0.18\) \(0.05\)
    Profesional \(0.01\) \(0.05\) \(0.02\)

    Se selecciona al azar a un adulto. Encuentra cada una de las siguientes probabilidades.

    1. La persona tiene un alto nivel de seguro de vida.
    2. La persona tiene un alto nivel de seguro de vida, dado que no tiene un puesto profesional.
    3. La persona tiene un alto nivel de seguro de vida, dado que tiene un puesto profesional.
    4. Determinar si los eventos “tiene un alto nivel de seguro de vida” y “tiene una posición profesional” son o no independientes.

    Q3.3.22

    El espacio muestral de resultados igualmente probables para el experimento de rodar dos dados justos es\[\begin{matrix} 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16\\ 21 & 22 & 23 & 24 & 25 & 26\\ 31 & 32 & 33 & 34 & 35 & 36\\ 41 & 42 & 43 & 44 & 45 & 46\\ 51 & 52 & 53 & 54 & 55 & 56\\ 61 & 62 & 63 & 64 & 65 & 66 \end{matrix}\] Identificar los eventos\(\text{N: the sum is at least nine, T: at least one of the dice is a two, and F: at least one of the dice is a five}\).

    1. Encuentra\(P(N)\).
    2. Encuentra\(P(N\mid F)\).
    3. Encuentra\(P(N\mid T)\).
    4. Determinar a partir de las respuestas anteriores si los eventos\(N\) y\(F\) son independientes o no; si o no\(N\) y\(T\) son.

    Q3.3.23

    La sensibilidad de una prueba de drogas es la probabilidad de que la prueba sea positiva cuando se administra a una persona que realmente ha tomado el medicamento. Supongamos que existen dos pruebas independientes para detectar la presencia de cierto tipo de drogas prohibidas en los deportistas. Uno tiene sensibilidad\(0.75\); el otro tiene sensibilidad\(0.85\). Si ambos se aplican a un atleta que ha tomado este tipo de droga, ¿cuál es la probabilidad de que su uso pase desatendido?

    Q3.3.24

    Un hombre tiene dos luces en su casa de pozo para evitar que las pipas se congelen en invierno. Verifica las luces diariamente. Cada luz tiene probabilidad\(0.002\) de quemarse antes de que se verifique al día siguiente (independientemente de la otra luz).

    1. Si las luces están cableadas en paralelo una seguirá brillando aunque la otra se queme. En esta situación, computa la probabilidad de que al menos una luz continúe brillando durante las\(24\) horas completas. Tenga en cuenta la confiabilidad mucho mayor del sistema de dos bombillas sobre la de una sola bombilla.
    2. Si las luces están cableadas en serie ninguna seguirá brillando aunque sólo una de ellas se queme. En esta situación, computa la probabilidad de que al menos una luz continúe brillando durante las\(24\) horas completas. Tenga en cuenta la confiabilidad ligeramente disminuida del sistema de dos bombillas sobre la de una sola bombilla.

    Q3.3.25

    Un contador ha observado que\(5\%\) de todas las copias de una forma particular de dos partes tienen un error en la Parte I, y\(2\%\) tienen un error en la Parte II. Si los errores ocurren de forma independiente, encuentre la probabilidad de que una forma seleccionada aleatoriamente esté libre de errores.

    Q3.3.26

    Una caja contiene\(20\) tornillos que son idénticos en tamaño, pero\(12\) de los cuales están recubiertos de zinc y\(8\) de los cuales no lo son. Se seleccionan dos tornillos al azar, sin necesidad de reemplazo.

    1. Encuentra la probabilidad de que ambos estén recubiertos de zinc.
    2. Encuentra la probabilidad de que al menos uno esté recubierto de zinc.

    Ejercicios adicionales

    Q3.3.27

    Eventos\(A\) y\(B\) son mutuamente excluyentes. Encuentra\(P(A\mid B)\).

    Q3.3.28

    El ayuntamiento de una ciudad en particular está integrado por cinco miembros del partido\(A\), cuatro miembros del partido\(B\) y tres independientes. Dos miembros del consejo son seleccionados al azar para formar un comité de investigación.

    1. Encuentra la probabilidad de que ambos sean de partido\(A\).
    2. Encuentra la probabilidad de que al menos uno sea independiente.
    3. Encuentra la probabilidad de que los dos tengan diferentes afiliaciones partidistas (es decir, no ambas\(A\), no ambas\(B\), y no ambas independientes).

    Q3.3.29

    Un jugador\(60\%\) de basquetbol hace de los tiros libres que intenta, salvo que si acaba de intentarlo y falló un tiro libre entonces sus posibilidades de hacer un segundo uno bajan a sólo\(30\%\). Supongamos que le acaban de otorgar dos tiros libres.

    1. Encuentra la probabilidad de que haga ambas cosas.
    2. Encuentra la probabilidad de que haga al menos uno. (Un diagrama de árbol podría ayudar.)

    Q3.3.30

    Un economista desea conocer la proporción\(p\) de la población de contribuyentes individuales que a propósito han presentado información fraudulenta en una declaración del impuesto sobre la renta. Para garantizar verdaderamente el anonimato de los contribuyentes en una encuesta aleatoria, a los contribuyentes cuestionados se les dan las siguientes instrucciones.

    1. Voltear una moneda.
    2. Si la moneda aterriza cabezas, responda “Sí” a la pregunta “¿Alguna vez ha enviado información fraudulenta en una declaración de impuestos?” aunque no lo hayas hecho.
    3. Si la moneda aterriza colas, dé una respuesta veraz de “Sí” o “No” a la pregunta “¿Alguna vez ha presentado información fraudulenta en una declaración de impuestos?”

    Al interrogante no se le dice cómo aterrizó la moneda, por lo que no sabe si una respuesta de “Sí” es la verdad o se da sólo por el lanzamiento de la moneda.

    1. Utilizando la regla de habilidad Prob para Complementos y la independencia del lanzamiento de monedas y el estado de los contribuyentes, rellene las celdas vacías en la tabla de contingencia bidireccional mostrada. Supongamos que la moneda es justa. Cada celda excepto las dos en la fila inferior contendrá la proporción (o probabilidad) desconocida\(p\).
      Estado Moneda Probabilidad
      \(H\) \(T\)
      Fraude \ (H\)” style="vertical-align:middle; "> \ (T\)” style="vertical-align:middle; "> \(p\)
      Sin fraude \ (H\)” style="vertical-align:middle; "> \ (T\)” style="vertical-align:middle; ">
      Probabilidad \ (H\)” style="vertical-align:middle; "> \ (T\)” style="vertical-align:middle; "> \(1\)
    2. La única información que ve el economista son las entradas en la siguiente tabla:\[\begin{array}{c|c|c} Response & "Yes" & "No" \\ \hline Proportion &r &s\\ \end{array}\] Equiparar la entrada en una celda de la tabla en (a) que corresponde a la respuesta “No” al número s para obtener la fórmula que expresa el número desconocido\(p\) en términos del número conocido \(s\).
    3. Equiparar la suma de las entradas en las tres celdas de la tabla en (a) que en conjunto corresponden a la respuesta “Sí” al número r para obtener la fórmula que expresa el número desconocido\(p\) en términos del número conocido\(r\).
    4. Utilizar el hecho de que\(r+s=1\) (ya que son las probabilidades de eventos complementarios) para verificar que las fórmulas en (b) y (c) dan el mismo valor para\(p\). (Por ejemplo,\(s=1-r\) insértese en la fórmula en (b) para obtener la fórmula en (c)).
    5. Supongamos que se realiza una encuesta a\(1,200\) contribuyentes y\(690\) responde “Sí” (con veracidad o no) a la pregunta “¿Alguna vez ha presentado información fraudulenta en una declaración de impuestos?” Utilice la respuesta a (b) o (c) para estimar la verdadera proporción\(p\) de todos los contribuyentes individuales que hayan presentado intencionalmente información fraudulenta en una declaración de impuestos inc ome.

    RESPUESTAS

      1. \(0.6\)
      2. \(0.4\)
      3. no independiente
      1. \(0.22\)
      2. \(0.81\)
      3. \(0.27\)
      1. \(0\)
      2. \(0\)
      1. \(0.5\)
      2. \(0.4\)
      3. \(0.6\)
      1. \(0.25\)
      2. \(0.33\)
      3. \(0\)
      4. \(0.25\)
      1. \(P(A)=0.3,\; P(R)=0.4,\; P(A\cap R)=0.12\)
      2. independiente
      3. sin cómputos\(0.3\)
      1. Información insuficiente. No se sabe que los eventos A y B sean independientes ni mutuamente excluyentes.
      2. \(0.21\)
      3. \(0\)
      1. \(0.25\)
      2. \(0.02\)
      1. \(0.5\)
      2. \(0.57\)
      3. \(0.875\)
      4. \(0.75\)
      1. \(0.4\)
      2. \(0.43\)
      3. \(0.38\)
      1. \(0.15\)
      2. \(0.14\)
      3. \(0.25\)
      4. no independiente
    1. \(0.0375\)
    2. \(0.931\)
    3. \(0\)
      1. \(0.36\)
      2. \(0.72\)

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