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7.3: Estimación de muestra grande de una proporción poblacional

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    151197
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    Objetivos de aprendizaje

    • Comprender cómo aplicar la fórmula para un intervalo de confianza para una proporción poblacional.

    Dado que a partir de la Sección 6.3 se conoce la media, desviación estándar y distribución muestral de la proporción muestral\(\hat{p}\), las ideas de las dos secciones anteriores se pueden aplicar para producir un intervalo de confianza para una proporción poblacional. Aquí está la fórmula.

    Muestra grande\(100(1−\alpha)\%\) Confidence Interval for a Population Proportion

    \[\hat{p}\pm z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\]

    Una muestra es grande si el intervalo\([p-3\sigma_{\hat{p}},p+3\sigma _{\hat{p}}]\) se encuentra completamente dentro del intervalo\([0,1]\).

    En la práctica real no\(p\) se conoce el valor de, por lo tanto, tampoco lo es\(\sigma_{\hat{p}}\). En ese caso sustituimos la cantidad conocida\(\hat{p}\) por\(p\) al hacer el cheque; esto significa verificar que el intervalo

    \[\left [ \hat{p}-3\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},\: \hat{p}+3\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right ]\]

    yace completamente dentro del intervalo\([0,1]\).

    Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

    Para estimar la proporción de estudiantes de una universidad grande que son mujeres, se selecciona una muestra aleatoria de\(120\) estudiantes. Hay\(69\) alumnas en la muestra. Construir un intervalo de\(90\%\) confianza para la proporción de todos los estudiantes de la universidad que son mujeres.

    Solución:

    La proporción de estudiantes en la muestra que son mujeres es

    \[ \hat{p} =69/120=0.575 \nonumber\]

    Nivel de confianza\(90\%\) significa que\(\alpha =1-0.90=0.10\) así\(\alpha /2=0.05\). De la última línea de la Figura 7.1.6 obtenemos\(z_{0.05}=1.645\).

    Por lo tanto

    \[\hat{p}\pm z_{\alpha /2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}=0.575\pm 1.645\sqrt{\frac{(0.575)(0.425)}{120}}=0.575\pm 0.074 \nonumber\]

    Uno puede estar\(90\%\) seguro de que la verdadera proporción de todos los estudiantes de la universidad que son mujeres está contenida en el intervalo\((0.575-0.074,0.575+0.074)=(0.501,0.649)\).

    Resumen

    • Tenemos una fórmula única para un intervalo de confianza para una proporción poblacional, que es válida cuando la muestra es grande.
    • La condición de que una muestra sea grande no es que su tamaño\(n\) sea al menos\(30\), sino que la función de densidad encaje dentro del intervalo\([0,1]\).

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