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1.11: Espacios medibles

  • Page ID
    152061
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    \(\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\)\(\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}\)\(\newcommand{\D}{\mathbb{D}}\)\(\newcommand{\bs}{\boldsymbol}\)

    En esta sección discutimos algunos temas de la teoría de medidas que son un poco más avanzados que los temas de las primeras secciones de este capítulo. Sin embargo, las ideas teóricas de medidas son esenciales para una comprensión profunda de la probabilidad, ya que la probabilidad es en sí misma una medida. La más importante de las definiciones es la\(\sigma\) -álgebra, una colección de subconjuntos de un conjunto con ciertas propiedades de cierre. Tales colecciones juegan un papel fundamental, incluso para la probabilidad aplicada, en la codificación del estado de la información sobre un experimento aleatorio.

    Por otro lado, en este texto no vamos a ser demasiado pedantes sobre los detalles de la teoría de las medidas. A menos que digamos lo contrario, asumimos que todos los conjuntos que aparecen son medibles (es decir, miembros de las\(\sigma\) -álgebras apropiadas), y que todas las funciones son medibles (relativas a las\(\sigma\) -álgebras apropiadas).

    Aunque esta sección es algo abstracta, muchas de las pruebas son sencillas. Asegúrate de probar las pruebas tú mismo antes de leer las que aparecen en el texto.

    Álgebras y\( \sigma \) álgebras

    Supongamos que\(S\) es un conjunto, desempeñando el papel de un conjunto universal para un modelo matemático particular. A veces es imposible incluir todos los subconjuntos de\(S\) en nuestro modelo, particularmente cuando\(S\) es incontable. En cierto sentido, cuantos más conjuntos incluyamos, más difícil es tener teorías consistentes. Sin embargo, casi siempre queremos que la colección de subconjuntos admisibles se cierre bajo las operaciones del conjunto básico. Esto lleva a algunas definiciones importantes.

    Álgebras de Conjuntos

    Supongamos que\(\mathscr S\) es una colección no vacía de subconjuntos de\(S\). Entonces\(\mathscr S\) es un álgebra (o campo) si se cierra bajo complemento y unión:

    1. Si\(A \in \mathscr S\) entonces\(A^c \in \mathscr S\).
    2. Si\(A \in \mathscr S\) y\(B \in \mathscr S\) entonces\(A \cup B \in \mathscr S\).

    Si\(\mathscr S\) es un álgebra de subconjuntos de\(S\) entonces

    1. \( S \in \mathscr S \)
    2. \( \emptyset \in \mathscr S \)
    Prueba
    1. Ya que no\( \mathscr S \) está vacío, existe\( A \in \mathscr S \). De ahí\( A^c \in \mathscr S \) que así\( S = A \cup A^c \in \mathscr S \).
    2. \( \emptyset = S^c \in \mathscr S \)

    Supongamos que\(\mathscr S\) es un álgebra de subconjuntos de\(S\) y que\(A_i \in \mathscr S\) para cada uno\(i\) en un conjunto de índices finitos\(I\).

    1. \(\bigcup_{i \in I} A_i \in \mathscr S\)
    2. \(\bigcap_{i \in I} A_i \in \mathscr S\)
    Prueba
    1. Esto sigue por inducción sobre el número de elementos en\(I\).
    2. Thie se desprende de (a) y la ley de DeMorgan. Si\( A_i \in \mathscr S \) para\( i \in I \) entonces\( A_i^c \in \mathscr S \) para\( i \in I \). Por tanto\( \bigcup_{i \in I} A_i^c \in \mathscr S \) y por lo tanto\( \bigcap_{i \in I} A_i = \left(\bigcup_{i \in I} A_i^c\right)^c \in \mathscr S \).

    Por lo tanto, se deduce que un álgebra de conjuntos se cierra bajo un número finito de operaciones de conjunto. Es decir, si comenzamos con un número finito de conjuntos en el álgebra\( \mathscr S \), y construimos un nuevo conjunto con un número finito de operaciones de conjunto (unión, intersección, complemento), entonces el nuevo conjunto también está en\( \mathscr S \). Sin embargo, en muchas teorías matemáticas, la probabilidad en particular, esto no es suficiente; a menudo necesitamos que la colección de subconjuntos admisibles se cierre bajo un número contable de operaciones de conjunto.

    \(\sigma\)-Álgebras de Conjuntos

    Supongamos que\(\mathscr S\) es una colección no vacía de subconjuntos de\(S\). Entonces\(\mathscr S\) es un \(\sigma\)-álgebra (o \(\sigma\)-campo) si se satisfacen los siguientes axiomas:

    1. Si\(A \in \mathscr S\) entonces\(A^c \in \mathscr S\).
    2. Si\(A_i \in \mathscr S\) para cada uno\(i\) en un conjunto de índices contables\(I\), entonces\(\bigcup_{i \in I} A_i \in \mathscr S\).

    Claramente un\(\sigma\) -álgebra de subconjuntos también es un álgebra de subconjuntos, por lo que los resultados básicos para álgebras anteriores aún se mantienen. En particular,\( S \in \mathscr S \) y\( \emptyset \in \mathscr S \).

    Si\(A_i \in \mathscr S\) para cada uno\(i\) en un conjunto de índices contables\(I\), entonces\(\bigcap_{i \in I} A_i \in \mathscr S\).

    Prueba

    La prueba es igual que la anterior para álgebras. Si\( A_i \in \mathscr S \) para\( i \in I \) entonces\( A_i^c \in \mathscr S \) para\( i \in I \). Por tanto\( \bigcup_{i \in I} A_i^c \in \mathscr S \) y por lo tanto\( \bigcap_{i \in I} A_i = \left(\bigcup_{i \in I} A_i^c\right)^c \in \mathscr S \).

    Así, un\(\sigma\) álgebra de subconjuntos de\(S\) se cierra bajo uniones e intersecciones contables. Esta es la razón del símbolo\(\sigma\) en el nombre. Como se menciona en el párrafo introductorio,\( \sigma \) -álgebras son de fundamental importancia en las matemáticas en general y en la teoría de probabilidad específicamente, y por lo tanto merecen una definición especial:

    Si\( S \) es un conjunto y\( \mathscr S \) un\( \sigma \) -álgebra de subconjuntos de\( S \), entonces el par\( (S, \mathscr S) \) se llama un espacio medible.

    El término espacio medible tendrá más sentido en el próximo capítulo, cuando discutamos medidas positivas (y en particular, medidas de probabilidad) en dichos espacios.

    Supongamos que\(S\) es un conjunto y que\(\mathscr S\) es un álgebra finita de subconjuntos de\(S\). Entonces también\(\mathscr S\) es una\(\sigma\) -álgebra.

    Prueba

    Cualquier unión contable de conjuntos se\(\mathscr S\) reduce a una unión finita.

    Sin embargo, hay álgebras que no son\(\sigma\) -álgebras. Aquí está el ejemplo clásico:

    Supongamos que\( S \) es un conjunto infinito. La colección de subconjuntos finitos y cofinitos de los\( S \) definidos a continuación es un álgebra de subconjuntos de\( S \), pero no un\(\sigma\) álgebra:\[ \mathscr{F} = \{A \subseteq S: A \text{ is finite or } A^c \text{ is finite}\} \]

    Prueba

    \( S \in \mathscr{F} \)ya que\( S^c = \emptyset \) es finito. Si\( A \in \mathscr{F} \) entonces\( A^c \in \mathscr{F} \) por la simetría de la definición. Supongamos que\( A, \, B \in \mathscr{F} \). Si\( A \) y ambos\( B \) son finitos entonces\( A \cup B \) es finito. Si\( A^c \) o\( B^c \) es finito, entonces\( (A \cup B)^c = A^c \cap B^c \) es finito. En cualquier caso,\( A \cup B \in \mathscr{F} \). Así\( \mathscr{F} \) es un álgebra de subconjuntos de\( S \).

    Puesto que\( S \) es infinito, contiene un subconjunto contablemente infinito\( \{x_0, x_1, x_2, \ldots\} \). Dejemos\( A_n = \{x_{2 n}\} \) para\( n \in \N \). Entonces\( A_n \) es finito, así\( A_n \in \mathscr{F} \) para cada uno\( n \in \N \). Vamos\( E = \bigcup_{n=0}^\infty A_n = \{x_0, x_2, x_4, \ldots\} \). Entonces\( E \) es infinito por construcción. También\(\{x_1, x_3, x_5, \ldots\} \subseteq E^c \), así\( E^c \) es infinito también. De ahí\( E \notin \mathscr{F} \) y así no\( \mathscr{F} \) es un\( \sigma \) -álgebra.

    Construcciones Generales

    Recordemos que\(\mathscr{P}(S)\) denota la colección de todos los subconjuntos de\(S\), llamado el conjunto de potencia de\(S\). Trivialmente,\(\mathscr{P}(S)\) es el mayor\(\sigma\) -álgebra de\(S\). El conjunto de potencia suele ser el\( \sigma \) álgebra apropiado si\( S \) es contable, pero como se señaló anteriormente, a veces es demasiado grande para ser útil si\( S \) es incontable. En el otro extremo, el\(\sigma\) álgebra más pequeño de\(S\) se da en el siguiente resultado:

    La colección\(\{\emptyset, S\}\) es una\(\sigma\) -álgebra.

    Prueba

    Claramente\( \{\emptyset, S\} \) es un álgebra finita:\( S \) y\( \emptyset \) son complementos entre sí, y\( S \cup \emptyset = S \). De ahí\( \{S, \emptyset\} \) que sea una\( \sigma \) -álgebra por el resultado anterior.

    En muchos casos, queremos construir una\(\sigma\) -álgebra que contenga ciertos conjuntos básicos. Los siguientes dos resultados muestran cómo hacerlo.

    Supongamos que\(\mathscr S_i\) es un\(\sigma\) -álgebra de subconjuntos de\(S\) para cada uno\(i\) en un conjunto de índices no vacíos\(I\). Entonces también\( \mathscr S = \bigcap_{i \in I} \mathscr S_i\) es una\(\sigma\) -álgebra de subconjuntos de\(S\).

    Prueba

    La prueba es completamente sencilla. Primero,\( S \in \mathscr S_i \) para cada uno\( i \in I \) así\( S \in \mathscr S \). Si\( A \in \mathscr S \) entonces\( A \in \mathscr S_i \) para cada uno\( i \in I \) y por lo tanto\( A^c \in \mathscr S_i \) para cada uno\( i \in I \). Por lo tanto\( A^c \in \mathscr S \). Finalmente supongamos que\( A_j \in \mathscr S \) para cada uno\( j \) en un conjunto de índices contables\( J \). Entonces\( A_j \in \mathscr S_i \) para cada uno\( i \in I \) y\( j \in J \) y por lo tanto\( \bigcup_{j \in J} A_j \in \mathscr S_i \) para cada uno\( i \in I \). De ello se deduce que\( \bigcup_{j \in J} A_j \in \mathscr S \).

    Tenga en cuenta que no se colocan restricciones en el conjunto de índices\( I \), salvo que no sea vacío, por lo que en particular bien puede ser incontable.

    Supongamos que\( S \) es un conjunto y que\(\mathscr B\) es una colección de subconjuntos de\(S\). El \(\sigma\)-álgebra generado por\(\mathscr B\) es\[\sigma(\mathscr B) = \bigcap \{\mathscr S: \mathscr S \text{ is a } \sigma\text{-algebra of subsets of } S \text{ and } \mathscr B \subseteq \mathscr S\}\] Si\( \mathscr B \) es contable entonces\( \sigma(\mathscr B) \) se dice que se genera de manera contable.

    Entonces la\(\sigma\) -álgebra generada por\(\mathscr B\) es la intersección de todas las\(\sigma\) -álgebras que contienen\(\mathscr B\), que por el resultado anterior realmente es una\(\sigma\) -álgebra. Tenga en cuenta que la colección de\( \sigma \) -álgebras en la intersección no está vacía, ya que\( \mathscr{P}(S) \) está en la colección. Piense en los sets in\(\mathscr B\) como conjuntos básicos que queremos que sean medibles, pero no forman un\(\sigma\) álgebra.

    El\(\sigma\) álgebra\(\sigma(\mathscr B)\) es el\(\sigma\) álgebra más pequeño que contiene\(\mathscr B\).

    1. \(\mathscr B \subseteq \sigma(\mathscr B)\)
    2. Si\(\mathscr S\) es un\(\sigma\) -álgebra de subconjuntos de\(S\) y\(\mathscr B \subseteq \mathscr S\) luego\(\sigma(\mathscr B) \subseteq \mathscr S\).
    Prueba

    Ambas propiedades se deduce de la definición de\( \sigma(\mathscr B) \) como la intersección de todas las\( \sigma \) -álgebras que contienen\( \mathscr B \).

    Obsérvese que las condiciones en el último teorema caracterizan por completo\( \sigma(\mathscr B) \). Si\( \mathscr S_1 \) y\( \mathscr S_2 \) satisfacer las condiciones, entonces por (a),\( \mathscr B \subseteq \mathscr S_1 \) y\( \mathscr B \subseteq \mathscr S_2 \). Pero luego por (b),\( \mathscr S_1 \subseteq \mathscr S_2 \) y\( \mathscr S_2 \subseteq \mathscr S_1\).

    Si\(A\) es un subconjunto de\(S\) entonces\(\sigma\{A\} = \{\emptyset, A, A^c, S\}\)

    Prueba

    Vamos\( \mathscr S = \{\emptyset, A, A^c, S\} \). Claramente\( \mathscr S \) es un álgebra:\( A \) y\( A^c \) son complementos unos de otros, como son\( \emptyset \) y\( S \). Además,\ begin {alinear*} &A\ taza A^C = A\ copa S = A^C\ copa S = S\ copa S =\ juego vacío\ copa S = S\\ &A\ copa\ juego vacío = A\ taza A = A\\ &a^C\ taza\ juego vacío = A^C\ taza A^C = A^C\ &\ juego vacío\ taza\ set =\ emptyset\ end {align*} Dado que\( \mathscr S \) es finito, es un\( \sigma \) álgebra por (7) . A continuación,\( A \in \mathscr S \). Por el contrario, si\( \mathscr T \) es un\( \sigma \) -álgebra y\( A \in \mathscr T \) luego por supuesto\( \emptyset, S, A^c \in \mathscr T \) así\( \mathscr S \subseteq \mathscr T \). De ahí\( \mathscr S = \sigma\{A\} \)

    Podemos generalizar el resultado anterior. Recordemos que una colección de subconjuntos\( \mathscr{A} = \{A_i: i \in I\} \) es una partición de\( S \) si\( A_i \cap A_j = \emptyset \) para\( i, \; j \in I \) con\( i \ne j \), y\( \bigcup_{i \in I} A_i = S \).

    Supongamos que\( \mathscr{A} = \{A_i: i \in I\} \) es una partición contable de\( S \) en subconjuntos no vacíos. Entonces\( \sigma(\mathscr{A}) \) está la colección de todas las uniones de conjuntos en\( \mathscr{A} \). Es decir,\[ \sigma(\mathscr{A}) = \left\{ \bigcup_{j \in J} A_j: J \subseteq I \right\} \]

    Prueba

    Vamos\( \mathscr S = \left\{ \bigcup_{j \in J} A_j: J \subseteq I \right\} \). Tenga en cuenta que\( S \in \mathscr S \) desde\( S = \bigcup_{i \in I} A_i \). A continuación, supongamos que\( B \in \mathscr S \). Entonces\( B = \bigcup_{j \in J} A_j \) para algunos\( J \subseteq I \). Pero entonces\( B^c = \bigcup_{j \in J^c} A_j \), así\( B^c \in \mathscr S \). A continuación, supongamos que\( B_k \in \mathscr S \) para\( k \in K \) donde\( K \) es un conjunto de índices contables. Entonces para cada uno\( k \in K \) existe\( J_k \subseteq I \) tal que\( B_k = \bigcup_{j \in J_k} A_j \). Pero entonces\( \bigcup_{k \in K} B_k = \bigcup_{k \in K} \bigcup_{j \in J_k} A_j = \bigcup_{j \in J} A_j \) donde\( J = \bigcup_{k \in K} J_k \). Hcnce\( \bigcup_{k \in K} B_k \in \mathscr S \). Por lo tanto\( \mathscr S \) es un\( \sigma \) -álgebra de subconjuntos de\( S \). Trivialmente,\( \mathscr{A} \subseteq \mathscr S \). Si\( \mathscr T \) es un\( \sigma \) -álgebra de subconjuntos de\( S \) y\( \mathscr{A} \subseteq \mathscr T \), entonces claramente\( \bigcup_{j \in J} A_j \in \mathscr T \) para cada\( J \subseteq I \). De ahí\( \mathscr S \subseteq \mathscr T\).

    Se dice que un\( \sigma \) álgebra de esta forma es generado por una partición contable. Tenga en cuenta que desde\( A_i \ne \emptyset \) for\( i \in I \), la representación de un set in\( \sigma(\mathscr{A}) \) como unión de conjuntos en\( \mathscr{A} \) es única. Es decir, si\( J, \, K \subseteq I \) y\( J \ne K \) entonces\( \bigcup_{j \in J} A_j \ne \bigcup_{k \in K} A_k \). En particular, si hay conjuntos\( n \) no vacíos en\( \mathscr{A} \), de modo que\( \#(I) = n \), entonces hay\( 2^n \) subconjuntos de\( I \) y por lo tanto\( 2^n \) conjuntos en\( \sigma(\mathscr{A}) \).

    Supongamos ahora que\( \mathscr{A} = \{A_1, A_2, \ldots, A_n\} \) es una colección de\(n\) subconjuntos de\(S\) (no necesariamente disjuntos). Para describir la\( \sigma \) -álgebra generada por\( \mathscr{A} \) necesitamos un poco más de notación. Para\( x = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in \{0, 1\}^n \) (una cadena de bits de longitud\( n \)), vamos\( B_x = \bigcap_{i=1}^n A_i^{x_i} \) donde\( A_i^1 = A_i \) y\( A_i^0 = A_i^c \).

    En la configuración anterior,

    1. \( \mathscr B = \{B_x: x \in \{0, 1\}^n\} \)particiones\( S \).
    2. \( A_i = \bigcup\left\{B_x: x \in \{0, 1\}^n, \; x_i = 1\right\}\)para\(i \in \{1, 2, \ldots, n\}\).
    3. \(\sigma(\mathscr{A}) = \sigma(\mathscr B) = \left\{\bigcup_{x \in J} B_x: J \subseteq \{0, 1\}^n\right\}\).
    Prueba
    1. Supongamos eso\( x, \; y \in \{0, 1\}^n \) y aquello\( x \ne y \). Sin pérdida de generalidad podemos suponer que para algunos\( j \in \{1, 2, \ldots, n\} \),\(x_j = 0 \) mientras\( y_j = 1 \). Entonces\( B_x \subseteq A_j^c \) y\( B_y \subseteq A_j \) así\( B_x \) y\( B_y \) son disjuntas. Supongamos que\( s \in S \). Construir\( x \in \{0, 1\}^n \) por\( x_i = 1 \) si\( s \in A_i \) y\( x_i = 0 \) si\( s \notin A_i \), para cada uno\( i \in \{1, 2, \ldots, n\} \). Entonces por definición,\( s \in B_x \). De ahí\( \mathscr B \) las particiones\( S \).
    2. Arreglar\( i \in \{1, 2, \ldots, n\}\). De nuevo si\( x \in \{0, 1\}^n \) y\( x_i = 1 \) entonces\( B_x \subseteq A_i \). De ahí\(\bigcup\left\{B_x: x \in \{0, 1\}^n, \; x_i = 1\right\} \subseteq A_i\). Por el contrario, supongamos\( s \in A_i \). Definir\( y \in \{0, 1\}^n \) por\( y_j = 1 \) si\( s \in A_j \) y\( y_j = 0 \) si\( s \notin A_j \) para cada uno\( j \in \{1, 2, \ldots, n\} \). Entonces\( y_i = 1 \) y\( s \in B_y \). De ahí\( s \in \bigcup\left\{B_x: x \in \{0, 1\}^n, \; x_i = 1\right\}\).
    3. Claramente, cada\( \sigma \) -álgebra de subconjuntos de\( S \) que contiene también\( \mathscr{A} \) debe contener\( \mathscr B \), y cada\( \sigma \) -álgebra de subconjuntos de\( S \) que contiene también\( \mathscr B \) debe contener\( \mathscr{A} \). De ello se deduce que\( \sigma(\mathscr{A}) = \sigma(\mathscr B) \). La caracterización en términos de sindicatos se desprende ahora del resultado anterior.

    Recordemos que hay cadenas de\( 2^n \) bits de longitud\( n \). \( \mathscr{A} \)Se dice que los conjuntos en están en posición general si los conjuntos en\( \mathscr B \) son distintos (y por lo tanto hay\( 2^n \) de ellos) y no están vacíos. En este caso, hay\( 2^{2^n} \) sets en\( \sigma(\mathscr{A}) \).

    Abra la aplicación Diagrama Venn. Esta app muestra dos subconjuntos\(A\) y\(B\)\(S\) de posición general, y enumera los 16 conjuntos en\( \sigma\{A, B\} \).

    1. Seleccione cada uno de los 4 conjuntos que\( S \) particiona:\( A \cap B \),\( A \cap B^c \),\( A^c \cap B \),\( A^c \cap B^c \).
    2. Seleccione cada uno de los otros 12 conjuntos\(\sigma\{A, B\}\) y anote cómo cada uno es una unión de algunos de los conjuntos en (a).

    Esboce un diagrama de Venn con conjuntos\( A_1, \, A_2, \, A_3 \) en posición general. Identificar el conjunto\( B_x \) para cada uno\( x \in \{0, 1\}^3 \).

    Si un\( \sigma \) -álgebra es generado por una colección de conjuntos básicos, entonces cada conjunto en el\( \sigma \) -álgebra es generado por un número contable de los conjuntos básicos.

    Supongamos que\( S \) es un conjunto y\( \mathscr B \) una colección no vacía de subconjuntos de\( S \). Entonces

    \[ \sigma(\mathscr B) = \{A \subseteq S: A \in \sigma(\mathscr{C}) \text{ for some countable } \mathscr{C} \subseteq \mathscr B\} \]
    Prueba

    Dejar\( \mathscr S \) denotar la colección a la derecha. Primero mostramos que\( \mathscr S \) es una\( \sigma \) -álgebra. Primero, pick\( B \in \mathscr B \), lo que podemos hacer ya que no\( \mathscr B \) está vacío. Entonces\( S \in \sigma\{B\} \) así\( S \in \mathscr S \). Que\( A \in \mathscr S \) así que\( A \in \sigma(\mathscr{C}) \) para algunos contables\( \mathscr{C} \subseteq \mathscr B \). Entonces\( A^c \in \sigma(\mathscr{C}) \) así\( A^c \in \mathscr S \). Por último, supongamos que\( A_i \in \mathscr S \) para\( i \) en un conjunto de índices contables\( I \). Entonces para cada uno\( i \in I \), existe un contable\( \mathscr{C}_i \subseteq \mathscr B \) tal que\( A_i \in \sigma(\mathscr{C}_i) \). Pero entonces también\( \bigcup_{i \in I} \mathscr{C}_i \) es contable y\( \bigcup_{i \in I} A_i \in \sigma\left(\bigcup_{i \in I} \mathscr{C}_i \right) \). De ahí\( \bigcup_{i \in I} A_i \in \mathscr S \).

    Siguiente si\( B \in \mathscr B \) entonces\( B \in \sigma\{B\} \) es así\( B \in \mathscr S \). De ahí\( \sigma(\mathscr B) \subseteq \mathscr S \). Por el contrario, si\( A \in \sigma(\mathscr{C}) \) para algunos contables\( \mathscr{C} \subseteq \mathscr B \) entonces trivialmente\( A \in \sigma(\mathscr B) \).

    Un\( \sigma \) álgebra en un conjunto conduce naturalmente a un\( \sigma \) álgebra en un subconjunto.

    Supongamos que\((S, \mathscr S)\) es un espacio medible, y eso\(R \subseteq S\). Vamos\(\mathscr{R} = \{A \cap R: A \in \mathscr S\}\). Entonces

    1. \( \mathscr{R} \)es un\(\sigma\) -álgebra de subconjuntos de\(R\).
    2. Si\(R \in \mathscr S\) entonces\(\mathscr{R} = \{B \in \mathscr S: B \subseteq R\}\).
    Prueba
    1. Primero,\( S \in \mathscr S \) y\( S \cap R = R \) así\( R \in \mathscr{R} \). Siguiente supongamos eso\( B \in \mathscr{R} \). Entonces existe\( A \in \mathscr S \) tal que\( B = A \cap R \). Pero entonces\( A^c \in \mathscr S \) y\( R \setminus B = R \cap B^c = R \cap A^c \), entonces\( R \setminus B \in \mathscr{R} \). Por último, supongamos que\( B_i \in \mathscr{R} \) para\( i \) en un conjunto de índices contables\( I \). Para cada uno\( i \in I \) existe\( A_i \in \mathscr S \) tal que\( B_i = A_i \cap R \). Pero entonces\( \bigcup_{i \in I} A_i \in \mathscr S \) y\( \bigcup_{i \in I} B_i = \left(\bigcup_{i \in I} A_i \right) \cap R \), entonces\( \bigcup_{i \in I} B_i \in \mathscr{R} \).
    2. Supongamos que\( R \in \mathscr S \). Entonces\( A \cap R \in \mathscr S \) para cada\( A \in \mathscr S \), y por supuesto,\( A \cap R \subseteq R \). Por el contrario, si\( B \in \mathscr S \) y\( B \subseteq R \) entonces\( B = B \cap R \) así\( B \in \mathscr{R} \)

    La\( \sigma \) -álgebra\(\mathscr{R}\) es la\(\sigma\) -álgebra\(R\) inducida por\(\mathscr S\). La siguiente construcción es útil para contraejemplos. Compara este ejemplo con el de conjuntos finitos y cofinitos.

    Dejar\( S \) ser un conjunto no vacío. La colección de subconjuntos contables y cocontables de\( S \) es\[ \mathscr{C} = \{A \subseteq S: A \text{ is countable or } A^c \text{ is countable}\} \]

    1. \( \mathscr{C} \)es a\( \sigma \) -álgebra
    2. \( \mathscr{C} = \sigma\{\{x\}: x \in S\} \), la\( \sigma \) -álgebra generada por los conjuntos singleton.
    Prueba
    1. Primero,\( S \in \mathscr{C} \) ya que\( S^c = \emptyset \) es contable. Si\( A \in \mathscr{C} \) entonces\( A^c \in \mathscr{C} \) por la simetría de la definición. Supongamos que\( A_i \in \mathscr{C} \) para cada uno\( i \) en un conjunto de índices contables\( I \). Si\( A_i \) es contable para cada\( i \in I \) entonces\( \bigcup_{i \in I} A_i \) es contable. Si\( A_j^c \) es contable para algunos\( j \in I \) entonces\( \left(\bigcup_{i \in I} A_i \right)^c = \bigcap_{i \in I} A_i^c \subseteq A_j^c \) es contable. En cualquier caso,\( \bigcup_{i \in I} A_i \in \mathscr{C} \).
    2. Vamos\( \mathscr{D} = \sigma\{\{x\}: x \in S\} \). Claramente\( \{x\} \in \mathscr{C} \) para\( x \in S \). De ahí\( \mathscr{D} \subseteq \mathscr{C} \). Por el contrario, supongamos que\( A \in \mathscr{C} \). Si\( A \) es contable, entonces\( A = \bigcup_{x \in A} \{x\} \in \mathscr{D} \). Si\( A^c \) es contable, entonces por un argumento idéntico,\( A^c \in \mathscr{D} \) y por lo tanto\( A \in \mathscr{D} \).

    Por supuesto, si\( S \) es en sí mismo contable entonces\( \mathscr{C} = \mathscr{P}(S) \). Por otra parte, si\( S \) es incontable, entonces existe\( A \subseteq S \) tal que\( A \) y\( A^c \) son incontables. Así,\( A \notin \mathscr{C} \), pero\( A = \bigcup_{x \in A} \{x\} \), y por supuesto\( \{x\} \in \mathscr{C} \). Así, tenemos un ejemplo de un\( \sigma \) álgebra que no se cierra bajo uniones generales.

    Topología y Medida

    Una de las formas más importantes de generar un\( \sigma \) álgebra es por medio de la topología. Recordemos que un espacio topológico consiste en un conjunto\( S \) y una topología\(\mathscr S\), la colección de subconjuntos abiertos de\( S \). La mayoría de los espacios que ocurren en probabilidad y procesos estocásticos son espacios topológicos, por lo que es crucial que las estructuras topológicas y teóricas de medidas sean compatibles.

    Supongamos que\( (S, \mathscr S) \) es un espacio topológico. Entonces\( \sigma(\mathscr S) \) está el\( \sigma \) álgebra de Borel\(S\), y\((S, \sigma(\mathscr S))\) es un espacio mensurable de Borel.

    Entonces el\( \sigma \) álgebra de Borel on\( S \), llamado así por Émile Borel es generado por los subconjuntos abiertos de\( S \). Así, un espacio topológico conduce\( (S, \mathscr S) \) naturalmente a un espacio medible\( (S, \sigma(\mathscr S))\). Dado que un conjunto cerrado es simplemente el complemento de un conjunto abierto, el\( \sigma \) álgebra de Borel también contiene los conjuntos cerrados (y de hecho es generado por los conjuntos cerrados). Aquí hay algunos otros conjuntos que están en el\(\sigma\) álgebra de Borel:

    Supongamos nuevamente que\((S, \mathscr S)\) es un espacio topológico y que\(I\) es un conjunto de índices contables.

    1. Si\(A_i\) está abierto para cada\(i \in I\) entonces\(\bigcap_{i \in I} A_i \in \sigma(\mathscr S)\). Tales conjuntos se llaman \(G_\delta\)conjuntos.
    2. Si\(A_i\) está cerrado para cada\(i \in I\) entonces\(\bigcup_{i \in I} A_i \in \sigma(\mathscr S)\). Tales conjuntos se llaman \(F_\sigma\)conjuntos.
    3. Si\((S, \mathscr S)\) es Hausdorff entonces\(\{x\} \in \mathscr S\) para cada\(x \in S\).
    Prueba
    1. Esto sigue la dirección de la propiedad de cierre para intersecciones.
    2. Esto se desprende de la definición.
    3. Esto sigue ya que\(\{x\}\) está cerrado para cada uno\(x \in S\) si la topología es Hausdorff.

    En cuanto a la parte (c), recordemos que un espacio topológico es Hausdorff, llamado así por Felix Hausdorff, si la topología puede distinguir puntos individuales. Específicamente, si\(x, \, y \in S\) son distintos entonces existen conjuntos abiertos disjuntos\(U, \, V\) con\(x \in U\) y\(y \in V\). Esta es una propiedad muy básica que poseen casi todos los espacios topológicos que ocurren en las aplicaciones. Un simple corolario de (c) es que si el espacio topológico\((S, \mathscr S)\) es Hausdorff entonces\(A \in \sigma(\mathscr S)\) para cada contable\(A \subseteq S\).

    Tomemos nota de los casos extremos. Si\( S \) tiene la topología discreta\( \mathscr{P}(S) \), para que cada conjunto esté abierto (y cerrado), entonces por supuesto el\( \sigma \) álgebra de Borel también lo es\( \mathscr{P}(S) \). Como se señaló anteriormente, este suele ser el\( \sigma \) álgebra apropiado si\( S \) es contable, pero a menudo es demasiado grande si\( S \) es incontable. Si\(S\) tiene la topología trivial\(\{S, \emptyset\}\), entonces el\(\sigma\) álgebra de Borel es también\(\{S, \emptyset\}\), y así también es trivial.

    Recordemos que una base para un espacio topológico\( (S, \mathscr T) \) es una colección\( \mathscr B \subseteq \mathscr T \) con la propiedad de que cada conjunto en\(\mathscr T\) es una unión de una colección de conjuntos en\( \mathscr B \). En definitiva, cada set abierto es una unión de algunos de los sets básicos abiertos.

    Supongamos que\( (S, \mathscr S) \) es un espacio topológico con una base contable\( \mathscr B \). Entonces\( \sigma(\mathscr B) = \sigma(\mathscr S) \).

    Prueba

    Ya que\( \mathscr B \subseteq \mathscr S \) se deduce trivialmente eso\( \sigma(\mathscr B) \subseteq \sigma(\mathscr S) \). Por el contrario\( U \in \mathscr S \), si, existe una colección de conjuntos en\( \mathscr B \) cuya unión se encuentra\( U \). Ya que\( \mathscr B \) es contable,\( U \in \sigma(\mathscr B) \).

    Los espacios topológicos que ocurren en probabilidad y procesos estocásticos generalmente se supone que tienen una base contable (junto con otras propiedades agradables como la propiedad Hausdorff y compacidad local). El\( \sigma \) -álgebra utilizado para tal espacio suele ser el\( \sigma \) álgebra de Borel, que por el resultado anterior, se genera contablemente.

    Funciones medibles

    Recordemos que un conjunto suele venir con un\(\sigma\) -álgebra de subconjuntos admisibles. Un requisito natural en una función es que la imagen inversa de un conjunto admisible en el espacio de rango sea admisible en el espacio de dominio. Aquí está la definición formal.

    Supongamos que\( (S, \mathscr S) \) y\( (T, \mathscr T) \) son espacios medibles. Una función\( f: S \to T \) es medible si\( f^{-1}(A) \in \mathscr S \) por cada\( A \in \mathscr T \).

    Si el\( \sigma \) -álgebra en el espacio de rango es generado por una colección de conjuntos básicos, entonces para verificar la medibilidad de una función, solo necesitamos considerar imágenes inversas de conjuntos básicos:

    Supongamos de nuevo que\( (S, \mathscr S) \) y\( (T, \mathscr T) \) son espacios medibles, y eso\( \mathscr T = \sigma(\mathscr B) \) para una colección de subconjuntos\( \mathscr B \) de\( T \). Entonces\( f: S \to T \) es mensurable si y sólo si\( f^{-1}(B) \in \mathscr S \) por cada\( B \in \mathscr B \).

    Prueba

    Primero\( \mathscr B \subseteq \mathscr T \), así que si\( f: S \to T \) es medible entonces la condición en el teorema se sostiene trivialmente. Por el contrario, supongamos que la condición en el teorema sostiene, y vamos\( \mathscr{U} = \{A \in \mathscr T: f^{-1}(A) \in \mathscr S\} \). Entonces\( T \in \mathscr{U} \) desde\( f^{-1}(T) = S \in \mathscr S \). Si\( A \in \mathscr{U} \) entonces\( f^{-1}(A^c) = \left[f^{-1}(A)\right]^c \in \mathscr S \), así\( A^c \in \mathscr{U} \). Si\( A_i \in \mathscr{U} \) para\( i \) en un conjunto de índices contables\( I \), entonces\( f^{-1}\left(\bigcup_{i \in I} A_i\right) = \bigcup_{i \in I} f^{-1}(A_i) \in \mathscr S \), y por lo tanto\( \bigcup_{i \in I} A_i \in \mathscr{U} \). Así\( \mathscr{U} \) es una\( \sigma \) -álgebra de subconjuntos de\( T \). Pero\( \mathscr B \subseteq \mathscr{U} \) por suposición, así\( \mathscr T = \sigma(\mathscr B) \subseteq \mathscr{U} \). Desde luego\( \mathscr{U} \subseteq \mathscr T \) por definición, así\( \mathscr{U} = \mathscr T \) y por lo tanto\( f \) es mensurable.

    Si has revisado la sección sobre topología entonces habrás notado un llamativo paralelo entre la definición de continuidad para funciones en espacios topológicos y la definición de mensurabilidad para funciones en espacios medibles: Una función de un espacio topológico a otro es continua si la imagen inversa de un conjunto abierto en el espacio de rango está abierta en el espacio de dominio. Una función de un espacio medible a otro es medible si la imagen inversa de un conjunto medible en el espacio de rango es medible en el espacio de dominio. Si empezamos con espacios topológicos, que a menudo hacemos, y usamos los\( \sigma \) álgebras de Borel para obtener espacios medibles, entonces obtenemos la siguiente conexión (apenas sorprendente).

    Supongamos que\( (S, \mathscr S) \) y\( (T, \mathscr T) \) son espacios topológicos, y que damos\( S \) y\( T \) los\( \sigma \) álgebras de Borel\( \sigma(\mathscr S) \) y\( \sigma(\mathscr T) \) respectivamente. Si\( f: S \to T \) es continuo, entonces\( f \) es medible.

    Prueba

    Si\( V \in \mathscr T \) entonces\( f^{-1}(V) \in \mathscr S \subseteq \sigma(\mathscr S) \). De ahí\( f \) que sea medible por el teorema anterior.

    La mensurabilidad se conserva bajo composición, el método más importante para combinar funciones.

    Supongamos que\((R, \mathscr{R})\)\((S, \mathscr S)\),, y\((T, \mathscr T)\) son espacios medibles. Si\(f: R \to S\) es medible y\(g: S \to T\) medible, entonces\(g \circ f: R \to T\) es medible.

    Prueba

    Si\( A \in \mathscr T \) entonces\( g^{-1}(A) \in \mathscr S \) desde\( g \) es medible, y por lo tanto\( (g \circ f)^{-1}(A) = f^{-1}\left[g^{-1}(A)\right] \in \mathscr{R} \) desde\( f \) es mensurable.

    Si\( T \) se le da el\( \sigma \) álgebra más pequeño posible o si\( S \) se le da el mayor, entonces cualquier función de\( S \) hacia\( T \) es medible.

    Cada función\( f: S \to T \) es medible en cada uno de los siguientes casos:

    1. \( \mathscr T = \{\emptyset, T\} \)y\( \mathscr S \) es un\( \sigma \) álgebra arbitraria de subconjuntos de\( S \)
    2. \( \mathscr S = \mathscr{P}(S) \)y\( \mathscr T \) es un\( \sigma \) álgebra arbitraria de subconjuntos de\( T \).
    Prueba
    1. Supongamos que\( \mathscr T = \{\emptyset, T\} \) y eso\( \mathscr S \) es una\( \sigma \) arbitraria-álgebra en\( S \). Si\( f: S \to T \), entonces\( f^{-1}(T) = S \in \mathscr S \) y\( f^{-1}(\emptyset) = \emptyset \in \mathscr S \) así\( f \) es mensurable.
    2. Supongamos que\( \mathscr S = \mathscr{P}(S) \) y eso\( \mathscr T \) es una\( \sigma \) arbitraria-álgebra en\( T \). Si\( f: S \to T \), entonces trivialmente\( f^{-1}(A) \in \mathscr S \) para cada\( A \in \mathscr T \) así\( f \) es mensurable.

    Cuando hay varios\( \sigma \) -álgebras para el mismo conjunto, entonces usamos la frase con respecto a para que podamos ser precisos. Si una función es medible con respecto a un\( \sigma \) álgebra dado en su dominio, entonces es medible con respecto a cualquier\( \sigma \) álgebra más grande en este espacio. Si la función es medible con respecto a un\( \sigma \) álgebra en el espacio de rango entonces es medible con respecto a cualquier\( \sigma \) álgebra más pequeña en este espacio.

    Supongamos que\( S \) tiene\( \sigma \) -álgebras\( \mathscr{R} \) y\( \mathscr S \) con\( \mathscr{R} \subseteq \mathscr S \), y que\( T \) tiene\( \sigma \) -álgebras\( \mathscr T \) y\( \mathscr{U} \) con\( \mathscr T \subseteq \mathscr{U} \). Si\( f: S \to T \) es medible con respecto a\( \mathscr{R} \) y\( \mathscr{U} \), entonces\( f \) es medible con respecto a\( \mathscr S \) y\( \mathscr T \).

    Prueba

    Si\( A \in \mathscr T \) entonces\( A \in \mathscr{U} \). De ahí\( f^{-1}(A) \in \mathscr{R} \) que así\( f^{-1}(A) \in \mathscr S \).

    La siguiente construcción es particularmente importante en la teoría de la probabilidad:

    Supongamos que\( S \) es un conjunto y\( (T, \mathscr T) \) es un espacio medible. Supongamos también eso\(f: S \to T\) y defina\(\sigma(f) = \left\{f^{-1}(A): A \in \mathscr T\right\}\). Entonces

    1. \( \sigma(f) \)es un\(\sigma\) -álgebra encendido\(S\).
    2. \( \sigma(f) \)es el\( \sigma \) álgebra más pequeño\( S \) que hace\( f \) medible.
    Prueba
    1. La clave de la prueba es que la imagen inversa conserva todas las operaciones establecidas. Primero,\( S \in \sigma(f) \) desde\( T \in \mathscr T \) y\( f^{-1}(T) = S \). Si\( B \in \sigma(f) \) entonces\( B = f^{-1}(A) \) para algunos\( A \in \mathscr T \). Pero entonces\( A^c \in \mathscr T \) y por lo tanto\( B^c = f^{-1}(A^c) \in \sigma(f) \). Por último, supongamos que\( B_i \in \sigma(f) \) para\( i \) en un conjunto de índices contables\( I \). Entonces para cada uno\( i \in I \) existe\( A_i \in \mathscr T \) tal que\( B_i = f^{-1}(A_i) \). Pero entonces\( \bigcup_{i \in I} A_i \in \mathscr T \) y\( \bigcup_{i \in I} B_i = f^{-1}\left(\bigcup_{i \in I} A_i \right) \). De ahí\( \bigcup_{i \in I} B_i \in \sigma(f) \).
    2. Si\( \mathscr S \) es un\( \sigma \) -álgebra encendido\( S \) y\( f \) es medible con respecto a\( \mathscr S \) y\( \mathscr T \), entonces por definición\( f^{-1}(A) \in \mathscr S \) para cada\( A \in \mathscr T \), así\( \sigma(f) \subseteq \mathscr S \).

    Apropiadamente suficiente,\( \sigma(f) \) se llama la \(\sigma\)-álgebra generada por\(f\). A menudo,\( S \) tendrá un\( \sigma \) álgebra dada\( \mathscr S \) y\( f \) será medible con respecto a\( \mathscr S \) y\( \mathscr T \). En este caso,\( \sigma(f) \subseteq \mathscr S \). Podemos generalizar a una colección arbitraria de funciones sobre\( S \).

    Supongamos que\( S \) es un conjunto y que\((T_i, \mathscr T_i)\) es un espacio medible para cada uno\(i\) en un conjunto de índices no vacíos\(I\). Supongamos también eso\(f_i: S \to T_i\) para cada uno\(i \in I\). El\(\sigma\) álgebra generado por esta colección de funciones es\[ \sigma\left\{f_i: i \in I\right\} = \sigma\left\{\sigma(f_i): i \in I\right\} = \sigma\left\{f_i^{-1}(A): i \in I, \, A \in \mathscr T_i\right\} \]

    Nuevamente, este es el\(\sigma\) álgebra más pequeño\(S\) que hace\(f_i\) medible para cada uno\(i \in I\).

    Sets de Productos

    Los conjuntos de productos surgen naturalmente en la forma de los espacios euclidianos de mayor dimensión\( \R^n \) para\( n \in \{2, 3, \ldots\} \). Además, los espacios de producto son particularmente importantes en probabilidad, donde se utilizan para describir los espacios asociados a secuencias de variables aleatorias. Los espacios de producto más generales surgen en el estudio de los procesos estocásticos. Comenzamos con el producto de dos conjuntos; la generalización a productos de\( n \) conjuntos y a productos generales es sencilla, aunque la notación se complica más.

    Supongamos que\( (S, \mathscr S) \) y\( (T, \mathscr T) \) son espacios medibles. El producto\( \sigma \) -álgebra en\( S \times T \) es\[\mathscr S \otimes \mathscr T = \sigma\{A \times B: A \in \mathscr S, \; B \in \mathscr T\} \]

    Entonces la definición es natural: el\( \sigma \) producto-álgebra es generado por productos de conjuntos medibles. Nuestro siguiente objetivo es considerar la mensurabilidad de las funciones definidas en, o mapeo en, espacios de productos. De importancia básica son las funciones de proyección. Si\( S \) y\( T \) son conjuntos, let\( p_1: S \times T \to S \) y\( p_2: S \times T \to T \) ser definido por\( p_1(x, y) = x \) y\( p_2(x, y) = y \) para\( (x, y) \in S \times T \). Recordemos que\( p_1 \) es la proyección sobre la primera coordenada y\( p_2 \) es la proyección sobre la segunda coordenada. El\( \sigma \) álgebra producto es el\( \sigma \) álgebra más pequeño que hace medibles las proyecciones:

    Supongamos de nuevo eso\( (S, \mathscr S) \) y\( (T, \mathscr T) \) son espacios medibles. Entonces\( \mathscr S \otimes \mathscr T = \sigma\{p_1, p_2\} \).

    Prueba

    Si\( A \in \mathscr S \) entonces\( p_1^{-1}(A) = A \times T \in \mathscr S \otimes \mathscr T\). Del mismo modo, si\( B \in \mathscr T \) entonces\( p_2^{-1}(B) = S \times B \in \mathscr S \otimes \mathscr T \). De ahí\( p_1 \) y\( p_2 \) son medibles, así\( \sigma\{p_1, p_2\} \subseteq \mathscr S \otimes \mathscr T \). Por el contrario, si\( A \in \mathscr S \) y\( B \in \mathscr T \) entonces\( A \times B = p_1^{-1}(A) \cap p_2^{-1}(B) \in \sigma\{p_1, p_2\}\). Dado que los conjuntos de esta forma generan el producto\( \sigma \) -álgebra, tenemos\( \mathscr S \otimes \mathscr T \subseteq \sigma\{p_1, p_2\} \).

    Las funciones de proyección facilitan el estudio de funciones de mapeo en un espacio de producto.

    Supongamos que\( (R, \mathscr{R}) \),\( (S, \mathscr S) \) y\( (T, \mathscr T) \) son espacios medibles, y que\( S \times T \) se le da el producto\( \sigma \) -álgebra\( \mathscr S \otimes \mathscr T \). Supongamos también eso\( f: R \to S \times T \), así que\( f(x) = \left(f_1(x), f_2(x)\right) \) para\( x \in \R \), dónde\( f_1: R \to S \) y\( f_2: R \to T \) son las funciones de coordenadas. Entonces\( f \) es medible si y sólo si\( f_1 \) y\( f_2 \) son medibles.

    Prueba

    Tenga en cuenta que\( f_1 = p_1 \circ f \) y\( f_2 = p_2 \circ f \). Entonces, si\( f \) es medible\( f_1 \) y\( f_2 \) son composiciones de funciones medibles, y por lo tanto son medibles. Por el contrario, supongamos que\( f_1 \) y\( f_2 \) son medibles. Si\( A \in \mathscr S \) y\( B \in \mathscr T \) entonces\( f^{-1}(A \times B) = f_1^{-1}(A) \cap f_2^{-1}(B) \in \mathscr{R} \). Dado que los productos de conjuntos medibles generan\( \mathscr S \otimes \mathscr T \), se deduce que\( f \) es medible.

    Nuestro siguiente objetivo es considerar secciones transversales de conjuntos en un espacio de producto y secciones transversales de funciones definidas en un espacio de producto. Ayudará a introducir algunas funciones nuevas, que en cierto sentido son complementarias a las funciones de proyección.

    Supongamos de nuevo que\( (S, \mathscr S) \) y\( (T, \mathscr T) \) son espacios medibles, y eso\( S \times T \) se le da el producto\( \sigma \) -álgebra\( \mathscr S \otimes \mathscr T \).

    1. Para\( x \in S \) la función\( 1_x : T \to S \times T \), definida por\( 1_x(y) = (x, y) \) for\( y \in T \), es medible.
    2. Para\( y \in T \) la función\( 2_y: S \to S \times T \), definida por\( 2_y(x) = (x, y) \) for\( x \in S \), es medible.
    Prueba

    Demostrar que las funciones son medibles, si es suficiente considerar imágenes inversas de productos de conjuntos medibles, ya que dichos conjuntos generan\( \mathscr S \otimes \mathscr T \). Así, vamos\( A \in \mathscr S \) y\( B \in \mathscr T \).

    1. Para\( x \in S \) tener en cuenta que\( 1_x^{-1}(A \times B) \) es\( B \) si\( x \in A \) y es\( \emptyset \) si\( x \notin A \). En cualquier caso,\( 1_x^{-1}(A \times B) \in \mathscr T \).
    2. De igual manera, para\( y \in T \) señalar que\( 2_y^{-1}(A \times B) \) es\( A \) si\( y \in B \) y es\( \emptyset \) si\( y \notin B \). En cualquier caso,\( 2_y^{-1}(A \times B) \in \mathscr S \).

    Ahora nuestro trabajo es fácil.

    Supongamos de nuevo que\( (S, \mathscr S) \) y\( (T, \mathscr T) \) son espacios medibles, y eso\( C \in \mathscr S \otimes \mathscr T \). Entonces

    1. Para\( x \in S \),\( \{y \in T: (x, y) \in C\} \in \mathscr T \).
    2. Para\( y \in T \),\( \{x \in S: (x, y) \in C\} \in \mathscr S\).
    Prueba

    Estos resultados se derivan inmediatamente de la mensurabilidad de las funciones\( 1_x \) y\( 2_y \):

    1. Para\( x \in S \),\( 1_x^{-1}(C) = \{y \in T: (x, y) \in C\} \).
    2. Para\( y \in T \),\( 2_y^{-1}(C) = \{x \in S: (x, y) \in C\} \).

    El conjunto en (a) es la sección transversal de\( C \) en la primera coordenada en\( x \), y el conjunto en (b) es la sección transversal de\( C \) en la segunda coordenada en\( y \). Como simple corolario del teorema, tenga en cuenta que si\( A \subseteq S \),\( B \subseteq T \) y\( A \times B \in \mathscr S \otimes \mathscr T \) entonces\( A \in \mathscr S \) y\( B \in \mathscr T \). Es decir, los únicos conjuntos de productos medibles son productos de conjuntos medibles. Aquí está el resultado de la medibilidad para las funciones transversales:

    Supongamos de nuevo que\( (S, \mathscr S) \) y\( (T, \mathscr T) \) son espacios medibles, y eso\( S \times T \) se le da el producto\( \sigma \) -álgebra\( \mathscr S \otimes \mathscr T \). Supongamos también que\( (U, \mathscr{U}) \) es otro espacio medible, y que\( f: S \times T \to U \) es medible. Entonces

    1. La función\( y \mapsto f(x, y) \) de\( T \) a\( U \) es medible para cada uno\( x \in S \).
    2. La función\( x \mapsto f(x, y) \) de\( S \) a\( U \) es medible para cada uno\( y \in T \).
    Prueba

    Tenga en cuenta que la función en (a) es justa\( f \circ 1_x\), y la función en (b) es justa\( f \circ 2_y \), ambas son composiciones de funciones medibles

    Los resultados para productos de dos espacios generalizan de manera completamente directa a un producto de\( n \) espacios.

    Supongamos\( n \in \N_+ \) y ese\( (S_i, \mathscr S_i) \) es un espacio medible para cada uno\( i \in \{1, 2, \ldots, n\} \). El \( \sigma \)álgebra del producto en el conjunto de productos cartesianos\( S_1 \times S_2 \times \cdots \times S_n \) es\[ \mathscr S_1 \otimes \mathscr S_2 \otimes \cdots \otimes \mathscr S_n = \sigma\left\{ A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n: A_i \in \mathscr S_i \text{ for all } i \in \{1, 2, \ldots, n\}\right\} \]

    Entonces nuevamente, el\( \sigma \) producto-álgebra es generado por productos de conjuntos medibles. Se mantienen resultados análogos a los teoremas anteriores. En el caso especial que\( (S_i, \mathscr S_i) = (S, \mathscr S) \) para\( i \in \{1, 2, \ldots, n\} \), el producto cartesiano se convierte\( S^n \) y se denota el producto\( \sigma \) -álgebra correspondiente\( \mathscr S^n \). La notación es natural, pero potencialmente confusa. Tenga en cuenta que no\( \mathscr S^n \) es el producto cartesiano de los\( \mathscr S \)\( n \) tiempos, sino el\( \sigma \) -álgebra generada por conjuntos de la forma\( A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n \) donde\( A_i \in \mathscr S \) para\( i \in \{1, 2, \ldots, n\} \).

    También podemos extender estas ideas a un producto general. Para recordar la definición, supongamos que\( S_i \) es un conjunto para cada uno\( i \) en un conjunto de índices no vacíos\( I \). El conjunto de productos\( \prod_{i \in I} S_i \) consta de todas las funciones\( x: I \to \bigcup_{i \in I} S_i \) tales que\( x(i) \in S_i \) para cada una\( i \in I \). Para que la notación se parezca más a un producto cartesiano simple, a menudo escribimos\( x_i \) en lugar de\( x(i) \) para el valor de una función en el conjunto de productos en\( i \in I \). La siguiente definición da el\( \sigma \) álgebra apropiada para el conjunto de productos.

    Supongamos que\( (S_i, \mathscr S_i) \) es un espacio medible para cada uno\(i \) en un conjunto de índices no vacíos\( I \). El \( \sigma \)álgebra del producto en el juego de productos\( \prod_{i \in I} S_i \) es\[ \sigma\left\{\prod_{i \in I} A_i: A_i \in \mathscr S_i \text{ for each } i \in I \text{ and } A_i = S_i \text{ for all but finitely many } i \in I \right\}\]

    Si ha revisado la sección sobre topología, la definición debería ser familiar. Si los espacios fueran espacios topológicos en lugar de espacios medibles, con\( \mathscr S_i \) la topología de\( S_i \) for\( i \in I \), entonces el conjunto de productos en la expresión mostrada arriba es una base para la topología del producto en\( \prod_{i \in I} S_i \).

    La definición también se puede entender en términos de proyecciones. Recordemos que la proyección sobre coordenada\( j \in I \) es la función\( p_j: \prod_{i \in I} S_i \to S_j \) dada por\( p_j(x) = x_j \). El\( \sigma \) álgebra del producto es el\( \sigma \) álgebra más pequeño del conjunto de productos que hace que todas las proyecciones sean mensurables.

    Supongamos nuevamente que\( (S_i, \mathscr S_i)\) es un espacio medible para cada uno\( i \) en un conjunto de índices no vacíos\( I \), y vamos a\( \mathfrak{S} \) denotar el producto\( \sigma \) -álgebra en el conjunto de productos\( S_I = \prod_{i \in I} S_i \). Entonces\(\mathfrak{S} = \sigma\{p_i: i \in I\} \).

    Prueba

    Dejar\( j \in I \) y\( A \in \mathscr S_j \). Entonces\( p_j^{-1}(A) = \prod_{i \in I} A_i \) donde\( A_i = S_i \) para\( i \ne j \) y\( A_j = A \). Este conjunto es en\( \mathfrak{S} \) lo que\( p_j \) es mensurable. De ahí\( \sigma\{p_i: i \in I\} \subseteq \mathfrak{S} \). Para la otra dirección, considere un conjunto de productos\( \prod_{i \in I} A_i \) donde\( A_i = S_i \) excepto para\( i \in J \), donde\( J \subseteq I \) es finito. Entonces\( \prod_{i \in I} A_i = \bigcap_{j \in J} p_j^{-1}(A_j) \). Este conjunto está en\( \sigma\{p_i: i \in I\} \). Conjuntos de productos de esta forma generan\( \mathfrak{S} \) por lo que se deduce que\( \mathfrak{S} \subseteq \sigma\{p_i: i \in I\} \).

    En el caso especial que\( (S, \mathscr S) \) sea un espacio fijo medible y\( (S_i, \mathscr S_i) = (S, \mathscr S) \) para todos\( i \in I \), el conjunto de productos\( \prod_{i \in I} S \) es solo la colección de funciones desde\( I \) dentro\( S \), a menudo denotadas\( S^I \). Luego se denota el\( \sigma \) álgebra producto\( \mathscr S^I \), una notación que es natural, pero nuevamente potencialmente confusa. Aquí está el principal resultado de medibilidad para un mapeo de funciones en un espacio de producto.

    Supongamos que\( (R, \mathscr{R}) \) es un espacio medible, y que\( (S_i, \mathscr S_i) \) es un espacio medible para cada uno\( i \) en un conjunto de índices no vacíos\( I \). Como antes, vamos a\(\prod_{i \in I} S_i \) tener el producto\( \sigma \) -álgebra. Supongamos ahora eso\( f: R \to \prod_{i \in I} S_i \). Para\( i \in I \) let\( f_i: R \to S_i \) denotar la función de coordenada\( i \) th de\( f \), de modo que\( f_i(x) = [f(x)]_i \) para\( x \in R \). Entonces\( f \) es medible si y sólo si\( f_i \) es medible para cada uno\( i \in I \).

    Prueba

    Supongamos que eso\( f \) es medible. Por\( i \in I \) nota que\( f_i = p_i \circ f \) es una composición de funciones medibles, y por lo tanto es mensurable. Por el contrario, supongamos que\( f_i \) es medible para cada uno\( i \in I \). Para demostrar que la medibilidad de solo\( f \) necesitamos considerar imágenes inversas de conjuntos que generan el producto\( \sigma \) -álgebra. Así, supongamos que\( A_j \in \mathscr S_j \) para\( j \) en un subconjunto finito\( J \subseteq I \), y dejar\( A_i = S_i \) para\( i \in I - J \). Entonces\( f^{-1}\left(\prod_{i \in I} A_i\right) = \bigcap_{j \in J} f_j^{-1}(A_j) \). Este conjunto está en\( \mathscr{R} \) ya que la intersección está sobre un conjunto de índices finitos.

    Al igual que con el producto de dos juegos, los conjuntos transversales y las funciones son medibles con respecto a la medida del producto. Nuevamente, lo mejor es trabajar con algunas funciones especiales.

    Supongamos que\( (S_i, \mathscr S_i) \) es un espacio medible para cada uno\( i \) en un conjunto de índices\( I \) con al menos dos elementos. Para\( j \in I \) y\( u \in S_j \), definir la función\( j_u: \prod_{i \in I - \{j\}} \to \prod_{i \in I} S_i \) por\( j_u(x) = y \) donde\( y_i = x_i \) para\( i \ne j \) y\( y_j = u \). Entonces\( j_u \) es medible con respecto al producto\( \sigma \) -álgebras.

    Prueba

    Una vez más, basta con considerar la imagen inversa de los conjuntos que generan el\( \sigma \) producto-álgebra. Entonces supongamos\( A_i \in \mathscr S_i \) para\( i \in I \) con\( A_i = S_i \) para todos menos finitamente muchos\( i \in I \). Entonces\( j_u^{-1}\left(\prod_{i \in I} A_i\right) = \prod_{i \in I - \{j\}} A_i \) si\( u \in A_j \), y la imagen inversa es de\( \emptyset \) otra manera. En cualquier caso,\( j_u^{-1}\left(\prod_{i \in I} A_i\right) \) está en el producto\( \sigma \) -álgebra en\( \prod_{i \in I - \{j\}} S_i \).

    En palabras, para\( j \in I \) y\( u \in S_j \), la función\( j_u \) toma un punto en el conjunto de productos\( \prod_{ i \in I - \{j\}} S_i \) y asigna\( u \)\( j \) a coordinar para dar un punto en\( \prod_{i \in I} S_i \). Si\( A \subseteq \prod_{i \in I} S_i \), entonces\( j_u^{-1}(A) \) es la sección transversal de\( A \) en coordenada\( j \) en\( u \). Por lo que se deduce inmediatamente del resultado anterior que las secciones transversales de un conjunto medible son medibles. Las secciones transversales de funciones medibles también son medibles. Supongamos que\( (T, \mathscr T) \) es otro espacio medible, y que\( f: \prod_{i \in I} S_i \to T \) es medible. La sección transversal de\( f \) en coordenada\( j \in I \) en\( u \in S_j \) es simplemente\( f \circ j_u: S_{I - \{j\}} \to T\), una composición de funciones medibles.

    Sin embargo, un conjunto no medible puede tener secciones transversales medibles, incluso en un producto de dos espacios.

    Supongamos que\( S \) es un conjunto incontable con el\( \sigma \) -álgebra\( \mathscr{C} \) de conjuntos contables y co-contables como en (21). Considera\( S \times S \) con el producto\( \sigma \) -álgebra\( \mathscr{C} \otimes \mathscr{C} \). Vamos\( D = \{(x, x): x \in S\}\), la diagonal de\( S \times S \). Entonces\( D \) tiene secciones transversales medibles, pero no\( D \) es medible.

    Prueba

    Para\( x \in S \), la sección transversal de\( D \) en la primera coordenada en\( x \) es\( \{y \in S: (x, y) \in D\} = \{x\} \in \mathscr{C} \). De igual manera\( y \in S \), para, la sección transversal de\( D \) en la segunda coordenada at\( y \) es\( \{x \in S: (x, y) \in D\} = \{ y\} \in \mathscr{C} \). Pero\( D \) no puede ser generado por una colección contable de conjuntos de la forma\( A \times B \) con\( A, \, B \in \mathscr{C} \), así\( D \notin \mathscr{C} \otimes \mathscr{C} \), por el resultado anterior.

    Casos Especiales

    La mayoría de los conjuntos encontrados en la probabilidad aplicada son contables o subconjuntos de\(\R^n\) para algunos\(n\), o más generalmente, subconjuntos de un producto de un número contable de conjuntos de estos tipos. En el estudio de los procesos estocásticos, diversos espacios de funciones juegan un papel importante. En esta subsección, exploraremos los casos especiales más importantes.

    Espacios Discretos

    Si\(S\) es contable y\(\mathscr S = \mathscr P(S)\) es la colección de todos los subconjuntos de\(S\), entonces\((S, \mathscr S)\) es un espacio discreto medible.

    Así, si\((S, \mathscr S)\) es discreto, todos los subconjuntos de\( S \) son medibles y cada función desde\( S \) otro espacio medible es medible. El conjunto de potencia también es la topología discreta\( S \) encendida, también lo\( \mathscr S \) es un\( \sigma \) álgebra de Borel. Como espacio topológico,\( (S, \mathscr S) \) es completo, localmente compacto, Hausdorff, y dado que\( S \) es contable, separable. Además, la topología discreta corresponde a la métrica discreta\( d \), definida por\( d(x, x) = 0 \) para\( x \in S \) y\( d(x, y) = 1 \) para\( x, \, y \in S \) con\( x \ne y \).

    Espacios Euclideanos

    Recordemos que para\(n \in \N_+\), la topología euclidiana\(\R^n\) encendida es generada por la métrica euclidiana estándar\( d_n \) dada por\[ d_n(\bs x, \bs y) = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}, \quad \bs x = (x_1, x_2, \ldots, x_n), \, \bs y = (y_1, y_2, \ldots, y_n) \in \R^n \] Con esta topología,\( \R^n \) es completa, conectada, localmente compacta, Hausdorff, y separable.

    Para\(n \in \N_+\), el espacio medible euclidiano\(n\) -dimensional es\((\R^n, \mathscr R_n)\) donde\(\mathscr R_n\) está el\(\sigma\) álgebra de Borel correspondiente a la topología euclidiana estándar en\(\R^n\).

    El caso unidimensional es particularmente importante. En este caso, la métrica euclidiana estándar\( d \) viene dada por\( d(x, y) = \left|x - y\right| \) for\( x, \, y \in \R \). El\(\sigma\) álgebra de Borel\(\mathscr R\) puede ser generado por diversas colecciones de intervalos.

    Cada una de las siguientes colecciones genera\( \mathscr R \).

    1. \( \mathscr B_1 = \{I \subseteq \R: I \text{ is an interval} \} \)
    2. \( \mathscr B_2 = \{(a, b]: a, \, b \in \R, \; a \lt b \}\)
    3. \( \mathscr B_3 = \{(-\infty, b]: b \in \R \} \)
    Prueba

    La prueba implica demostrar que cada conjunto en cualquiera de las colecciones está en el\( \sigma \) álgebra de cualquier otra colección. Dejemos\( \mathscr S_i = \sigma(\mathscr B_i) \) para\( i \in \{1, 2, 3\} \).

    1. Claramente\( \mathscr B_2 \subseteq \mathscr B_1 \) y\( \mathscr B_3 \subseteq \mathscr B_1 \) así\( \mathscr S_2 \subseteq \mathscr S_1 \) y\( \mathscr S_3 \subseteq \mathscr S_1 \).
    2. Si\( a, \, b \in \R \) con\( a \le b \) entonces\( [a, b] = \bigcap_{n=1}^\infty \left(a - \frac{1}{n}, b\right] \) y\( (a, b) = \bigcup_{n=1}^\infty \left(a, b - \frac{1}{n}\right] \), entonces\( [a, b], \, (a, b) \in \mathscr S_2 \). También\( [a, b) = \bigcup_{n=1}^\infty \left[a, b - \frac{1}{n}\right] \) así\( [a, b) \in \mathscr{R}_2 \). Por lo tanto, todos los intervalos acotados están en\( \mathscr S_2 \). A continuación\( [a, \infty) = \bigcup_{n=1}^\infty [a, a + n) \),\( (a, \infty) = \bigcup_{n=1}^\infty (a, a + n) \),,\( (-\infty, a] = \bigcup_{n=1}^\infty (a - n, a] \), y\( (-\infty, a) = \bigcup_{n=1}^\infty (a - n, a) \), así cada uno de estos intervalos está en\( \mathscr S_2 \). Por supuesto\( \R \in \mathscr S_2 \), así que ahora tenemos eso\( I \in \mathscr S_2 \) para cada intervalo\( I \). Así\( \mathscr S_1 \subseteq \mathscr S_2 \), y así desde (a),\( \mathscr S_2 = \mathscr S_1\).
    3. Si\( a, \, b \in \R \) con\( a \lt b \) entonces\( (a, b] = (-\infty, b] - (-\infty, a] \) así\( (a, b] \in \mathscr S_3 \). De ahí\( \mathscr S_2 \subseteq \mathscr S_3 \). Pero entonces de (a) y (b) se deduce que\( \mathscr S_3 = \mathscr S_1 \).

    Dado que la topología euclidiana tiene una base contable,\(\mathscr R\) se genera de manera contable. De hecho cada colección de intervalos anteriores, pero con puntos finales restringidos a\( \Q \), genera\(\mathscr R\). Además, también se\( \mathscr R \) pueden construir a partir de\( \sigma \) -álgebras que son generadas por particiones contables. Primero recordemos que para\( n \in \N \), el conjunto de racionales diádicos (o racionales binarios) de rango\( n \) o menos es\( \D_n = \{j / 2^n: j \in \Z\} \). Tenga en cuenta que\( \D_n \) es contable y\( \D_n \subseteq \D_{n+1} \) para\( n \in \N \). Además, el conjunto\( \D = \bigcup_{n \in \N} \D_n \) de todos los racionales diádicos es denso en\( \R \). Los racionales diádicos suelen ser útiles en diversas aplicaciones porque\( \D_n \) tiene la enumeración ordenada natural\( j \mapsto j / 2^n \) para cada una\( n \in \N \). Ahora vamos\[ \mathscr{D}_n = \left\{\left(j / 2^n, (j + 1) / 2^n\right]: j \in \Z\right\}, \quad n \in \N \] Entonces\( \mathscr{D}_n \) es una partición contable de\( \R \) en intervalos no vacíos de igual tamaño\( 1 / 2^n \), por lo que\( \mathscr{E}_n = \sigma(\mathscr{D}_n) \) consiste en uniones de conjuntos en\( \mathscr{D}_n \) como se describió anteriormente. Cada conjunto\( \mathscr{D}_{n} \) es la unión de dos conjuntos en\( \mathscr{D}_{n+1} \) tan claramente\( \mathscr{E}_n \subseteq \mathscr{E}_{n+1} \) para\( n \in \N \). Por último, el\( \sigma \) álgebra de Borel on\( \R \) es\( \mathscr{R} = \sigma\left(\bigcup_{n=0}^\infty \mathscr{E}_n\right) = \sigma\left(\bigcup_{n=0}^\infty \mathscr{D}_n\right) \). Esta construcción resulta útil en una serie de escenarios.

    Para\( n \in \{2, 3, \ldots\} \), la topología euclidiana en\(\R^n\) es la topología de producto\( n \) -fold formada a partir de la topología euclidiana en\( \R \). Entonces el\( \sigma \) álgebra de Borel\( \mathscr R^n \) es también el\( n \) -fold power\( \sigma \) -algebra formado a partir de\( \mathscr R \). Finalmente, se\( \mathscr R^n \) pueden generar por\( n \) -fold productos de conjuntos en cualquiera de las tres colecciones del teorema anterior.

    Espacio de Funciones Reales

    Supongamos que\( (S, \mathscr S) \) es un espacio medible. De nuestra discusión general sobre las funciones, recordemos que las operaciones aritméticas habituales sobre las funciones desde\( S \) dentro se\( \R \) definen puntualmente.

    Si\( f: S \to \R \) y\( g: S \to \R \) son medibles y\( a \in \R \), entonces cada una de las siguientes funciones desde\( S \) dentro también\( \R \) es mensurable:

    1. \( f + g \)
    2. \( f - g \)
    3. \( f g \)
    4. \( a f \)
    Prueba

    Estos resultados se derivan del hecho de que los operadores aritméticos son continuos y, por lo tanto, medibles. Es decir,\( (x, y) \mapsto x + y \),\( (x, y) \mapsto x - y \), y\( (x, y) \mapsto x y \) son continuas como funciones desde\( \R^2 \) dentro\( \R \). Así, si\( f, \, g: S \to \R \) son medibles, entonces\( (f, g): S \to \R^2 \) es medible por el resultado anterior. Entonces,\( f + g \),\( f - g \),\( f g \) son las composiciones, respectivamente, de\( + \),\( - \),\( \cdot \) con\( (f, g) \). Por supuesto, (d) es un simple corolario de (c).

    Del mismo modo, si\( f: S \to \R \setminus \{0\} \) es medible, entonces también lo es\( 1 / f \). Recordemos que el conjunto de funciones desde\( S \) dentro\( \R \) es un espacio vectorial, bajo las definiciones puntuales de suma y multiplicación escalar. Pero una vez más, solemos querer restringir nuestra atención a funciones medibles. Por lo tanto, es bueno saber que las funciones medibles desde\( S \) dentro\( \R \) también forman un espacio vectorial. Esto se desprende inmediatamente de las propiedades de cierre (a) y (d) del teorema anterior. De particular importancia en los procesos probabilísticos y estocásticos es el espacio vectorial de funciones delimitadas y medibles\( f: S \to \R \), con la norma suprema\[ \|f\| = \sup\left\{\left|f(x)\right|: x \in S \right\} \]

    Las funciones elementales que encontramos en el cálculo y otras áreas de la matemática aplicada son funciones desde subconjuntos de\( \R \) hasta\( \R \). Las funciones elementales incluyen funciones algebraicas (que a su vez incluyen las funciones polinomiales y racionales), las funciones trascendentales habituales (exponencial, logaritmo, trigonométrico), y las funciones usuales construidas a partir de estas por composición, las operaciones aritméticas y por reagrupamiento. Como podríamos esperar, todas las funciones elementales son medibles.


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