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5.14: La distribución de Rayleigh

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    151573
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

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    La distribución de Rayleigh, llamada así por William Strutt, Lord Rayleigh, es la distribución de la magnitud de un vector aleatorio bidimensional cuyas coordenadas son independientes, distribuidas idénticamente, significan 0 variables normales. La distribución tiene una serie de aplicaciones en entornos donde las magnitudes de las variables normales son importantes.

    La distribución estándar de Rayleigh

    Definición

    Supongamos que\(Z_1\) y\(Z_2\) son variables aleatorias independientes con distribuciones normales estándar. La magnitud\(R = \sqrt{Z_1^2 + Z_2^2}\) del vector\((Z_1, Z_2)\) tiene la distribución estándar de Rayleigh.

    Entonces en esta definición,\((Z_1, Z_2)\) tiene la distribución normal bivariada estándar

    Funciones de distribución

    Damos cinco funciones que caracterizan completamente la distribución estándar de Rayleigh: la función de distribución, la función de densidad de probabilidad, la función cuantil, la función de confiabilidad y la función de tasa de fallas. Para lo que resta de esta discusión, asumimos que\(R\) tiene la distribución estándar de Rayleigh.

    \(R\)tiene función de distribución\(G\) dada por\(G(x) = 1 - e^{-x^2/2}\) for\(x \in [0, \infty)\).

    Prueba

    \((Z_1, Z_2)\)tiene PDF conjunto\((z_1, z_2) \mapsto \frac{1}{2 \pi} e^{-(z_1^2 + z_2^2)/2}\) en\(\R^2\). De ahí\[\P(R \le x) = \int_{C_x} \frac{1}{2 \pi} e^{-(z_1^2 + z_2^2)/2} d(z_1, z_2)\] donde\(C_x = \{(z_1, z_2) \in \R^2: z_1^2 + z_2^2 \le x^2\}\). Convertir a coordenadas polares con\(z_1 = r \cos \theta\),\(z_2 = r \sin \theta\) para obtener\[\P(R \le x) = \int_0^{2\pi} \int_0^x \frac{1}{2 \pi} e^{-r^2/2} r \, dr \, d\theta\] El resultado ahora sigue por simple integración.

    \(R\)tiene función de densidad de probabilidad\(g\) dada por\(g(x) = x e^{-x^2 / 2}\) for\(x \in [0, \infty)\).

    1. \(g\)aumenta y luego disminuye con el modo en\(x = 1\).
    2. \(g\)es cóncava hacia abajo y luego hacia arriba con punto de inflexión en\(x = \sqrt{3}\).
    Prueba

    La fórmula para el PDF sigue inmediatamente de la función de distribución desde\(g(x) = G^\prime(x)\).

    1. \(g^\prime(x) = e^{-x^2 / 2}(1 - x^2)\)
    2. \(g^{\prime\prime}(x) = x e^{-x^2/2}(x^2 - 3)\).

    Abra el Simulador de Distribución Especial y seleccione la distribución Rayleigh. Mantenga el valor del parámetro predeterminado y anote la forma de la función de densidad de probabilidad. Ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad emprical con la función de densidad de probabilidad.

    \(R\)tiene función cuantil\(G^{-1}\) dada por\(G^{-1}(p) = \sqrt{-2 \ln(1 - p)}\) for\(p \in [0, 1)\). En particular, los cuartiles de\(R\) son

    1. \(q_1 = \sqrt{4 \ln 2 - 2 \ln 3} \approx 0.7585\), el primer cuartil
    2. \(q_2 = \sqrt{2 \ln 2} \approx 1.1774\), la mediana
    3. \(q_3 = \sqrt{4 \ln 2} \approx 1.6651\), el tercer cuartil
    Prueba

    La fórmula para la función cuantil sigue inmediatamente de la función de distribución resolviendo\(p = G(x)\) para\(x\) en términos de\(p \in [0, 1)\).

    Abra la Calculadora de Distribución Especial y seleccione la distribución Rayleigh. Mantener el valor de parámetro predeterminado. Anote la forma y ubicación de la función de distribución. Calcular los valores seleccionados de la función de distribución y la función cuantil.

    \(R\)tiene función de confiabilidad\(G^c\) dada por\(G^c(x) = e^{-x^2/2}\) for\(x \in [0, \infty)\).

    Prueba

    Recordemos que la función de confiabilidad es simplemente la función de distribución de cola derecha, entonces\(G^c(x) = 1 - G(x)\).

    \(R\)tiene función de tasa de fallas\(h\) dada por\(h(x) = x\) for\(x \in [0, \infty)\). En particular,\(R\) tiene un índice de fallas cada vez mayor.

    Prueba

    Recordemos que la función de tasa de fallas es\(h(x) = g(x) \big/ G^c(x)\).

    Momentos

    Una vez más asumimos que\( R \) tiene la distribución estándar de Rayleigh. Podemos expresar la función de generación de momento\(R\) en términos de la función de distribución normal estándar\(\Phi\). Recordemos que\(\Phi\) es de uso tan común que es una función especial de las matemáticas.

    \(R\)tiene función de generación de momento\(m\) dada por\[m(t) = \E(e^{tR}) = 1 + \sqrt{2 \pi} t e^{t^2/2} \Phi(t), \quad t \in \R\]

    Prueba

    Por definición\(m(t) = \int_0^\infty e^{t x} x e^{-x^2/2} dx\). Combinando lo exponencial y completando el cuadrado en\(x\) da\[m(t) = e^{t^2/2} \int_0^\infty x e^{-(x - t)^2/2} dx = \sqrt{2 \pi} \int_0^\infty \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} x e^{-(x - t)^2/2} dx \] Pero\(x \mapsto \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-(x - t)^2/2}\) es el PDF de la distribución normal con media\(t\) y varianza 1. El resto de la derivación se deriva del cálculo básico.

    La media, varianza\(R\) de

    1. \(\E(R) = \sqrt{\pi / 2} \approx 1.2533\)
    2. \(\var(R) = 2 - \pi/2\)
    Prueba
    1. Tenga en cuenta que\[\E(R) = \int_0^\infty x^2 e^{-x^2/2} dx = \sqrt{2 \pi} \int_0^\infty x^2 \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-x^2/2} dx\] Pero\(x \mapsto \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-x^2/2}\) es el PDF de la distribución normal estándar. De ahí que la segunda integral sea\(\frac{1}{2}\) (ya que la varianza de la distribución normal estándar es 1).
    2. Una integración por partes da\[\E\left(R^2\right) = \int_0^\infty x^3 e^{-x^2/2} dx = 0 + 2 \int_0^\infty x e^{-x^2/2} dx = 2\]

    Numéricamente,\(\E(R) \approx 1.2533\) y\(\sd(R) \approx 0.6551\).

    Abra el Simulador de Distribución Especial y seleccione la distribución Rayleigh. Mantener el valor de parámetro predeterminado. Anote el tamaño y ubicación de la barra de desviación\(\pm\) estándar media. Ejecute la simulación 1000 veces y compare la media empírica y la desviación stadard con la media verdadera y la desviación estándar.

    Los momentos generales de se\(R\) pueden expresar en términos de la función gamma\(\Gamma\).

    \(\E(R^n) = 2^{n/2} \Gamma(1 + n/2)\)para\(n \in \N\).

    Prueba

    La sustitución\(u = x^2/2\) da\[\E(R^n) = \int_0^\infty x^n x e^{-x^2/2} dx = \int_0^\infty (2 u)^{n/2} e^{-u} du = 2^{n/2} \int_0^\infty u^{n/2} e^{-u} du\] La última integral es\(\Gamma(1 + n/2)\) por definición.

    Por supuesto, la fórmula para los momentos generales da una derivación alterna de la media y varianza anteriores, ya que\(\Gamma(3/2) = \sqrt{\pi} / 2\) y\(\Gamma(2) = 1\). Por otro lado, la función de generación de momentos también puede ser utilizada para derivar la fórmula para los momentos generales.

    La asimetría y curtosis de\(R\) son

    1. \(\skw(R) = 2 \sqrt{\pi}(\pi - 3) \big/ (4 - \pi)^{3/2} \approx 0.6311\)
    2. \(\kur(R) = (32 - 3 \pi^2) \big/ (4 - \pi)^2 \approx 3.2451\)
    Prueba

    Estos resultados se derivan de las fórmulas estándar para la asimetría y curtosis en términos de los momentos, ya que\(\E(R) = \sqrt{\pi/2}\),\(\E\left(R^2\right) = 2\),\(\E\left(R^3\right) = 3 \sqrt{2 \pi}\), y\(\E\left(R^4\right) = 8\).

    Distribuciones Relacionadas

    La conexión fundamental entre la distribución estándar de Rayleigh y la distribución normal estándar se da en la definición misma del estándar Rayleigh, como la distribución de la magnitud de un punto con coordenadas normales independientes y estándar.

    Conexiones a la distribución chi-cuadrada.

    1. Si\(R\) tiene la distribución Rayleigh estándar entonces\(R^2\) tiene la distribución chi-cuadrada con 2 grados de libertad.
    2. Si\(V\) tiene la distribución chi-cuadrada con 2 grados de libertad entonces\(\sqrt{V}\) tiene la distribución Rayleigh estándar.
    Prueba

    Esto se desprende directamente de la definición de la variable Rayleigh estándar\(R = \sqrt{Z_1^2 + Z_2^2}\), donde\(Z_1\) y\(Z_2\) son variables normales estándar independientes.

    Recordemos también que la distribución chi-cuadrada con 2 grados de libertad es la misma que la distribución exponencial con el parámetro de escala 2.

    Dado que la función cuantil está en forma cerrada, la distribución estándar de Rayleigh se puede simular mediante el método de cuantil aleatorio.

    Conexiones entre la distribución Rayleigh estándar y la distribución uniforme estándar.

    1. Si\(U\) tiene la distribución uniforme estándar (un número aleatorio) entonces\(R = G^{-1}(U) = \sqrt{-2 \ln(1 - U)}\) tiene la distribución estándar de Rayleigh.
    2. Si\( R \) tiene la distribución Rayleigh estándar, entonces\( U = G(R) = 1 - \exp(-R^2/2) \) tiene la distribución uniforme estándar

    En la parte (a), nota que\( 1 - U \) tiene la misma distribución que\( U \) (el uniforme estándar). De ahí que\( R = \sqrt{-2 \ln U} \) también tenga la distribución estándar de Rayleigh.

    Abra el simulador de cuantiles aleatorios y seleccione la distribución Rayleigh con el valor de parámetro predeterminado (estándar). Ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica con la función de densidad verdadera.

    Existe otra conexión con la distribución uniforme que conduce al método más común de simulación de un par de variables normales estándar independientes. Esto lo hemos visto antes, pero vale la pena repetirlo. El resultado está estrechamente relacionado con la definición de la variable Rayleigh estándar como la magnitud de un par normal bivariado estándar, pero con la adición del ángulo de coordenadas polares.

    Supongamos que\( R \) tiene la distribución Rayleigh estándar,\( \Theta \) se distribuye uniformemente sobre\( [0, 2 \pi) \), y eso\( R \) y\( \Theta \) son independientes. Vamos\( Z = R \cos \Theta \),\( W = R \sin \Theta \). Después\( (Z, W) \) tener la distribución normal bivariada estándar.

    Prueba

    Por independencia, el PDF conjunto\( f \) de\( (R, \Theta) \) es dado por\[ f(r, \theta) = r e^{-r^2/2} \frac{1}{2 \pi}, \quad r \in [0, \infty), \, \theta \in [0, 2 \pi) \] Como recordamos del cálculo, el jacobiano de la transformación\( z = r \cos \theta \),\( w = r \sin \theta \) es\( r \), y de ahí el jacobiano de la transformación inversa que toma\( (z, w) \) en\( (r, \theta) \) es\( 1 / r \). Por otra parte,\( r = \sqrt{z^2 + w^2} \). A partir del teorema del cambio de variables, el PDF\( g \) de\( (Z, W) \) viene dado por\( g(z, w) = f(r, \theta) \frac{1}{r} \). Esto lleva a\[ g(z, w) = \frac{1}{2 \pi} e^{-(z^2 + w^2) / 2} = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-z^2 / 2} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-w^2 / 2}, \quad z \in \R, \, w \in \R \] Por lo tanto\( (Z, W) \) tiene la distribución normal bivariada estándar.

    La distribución general Rayleigh

    Definición

    La distribución estándar de Rayleigh se generaliza mediante la adición de un parámetro de escala.

    Si\(R\) tiene la distribución Rayleigh estándar y\(b \in (0, \infty)\) luego\(X = b R\) tiene la distribución Rayleigh con parámetro scale\(b\).

    Equivalentemente, la distribución de Rayleigh es la distribución de la magnitud de un vector bidimensional cuyos componentes tienen variables normales de media 0 independientes, distribuidas idénticamente.

    Si\(U_1\) y\(U_2\) son variables normales independientes con media 0 y desviación estándar\(\sigma \in (0, \infty)\) entonces\(X = \sqrt{U_1^2 + U_2^2}\) tiene la distribución de Rayleigh con parámetro escala\(\sigma\).

    Prueba

    Podemos tomar\(U_1 = \sigma Z_1\) y\(U_2 = \sigma Z_2\) dónde\(Z_1\) y\(Z_2\) son variables normales estándar independientes. Entonces\(X = \sigma \sqrt{Z_1^2 + Z_2^2} = \sigma R\) donde\(R\) tiene la distribución estándar de Rayleigh.

    Funciones de distribución

    En esta sección, asumimos que\(X\) tiene la distribución Rayleigh con parámetro scale\(b \in (0, \infty)\).

    \(X\)tiene función de distribución acumulativa\(F\) dada por\(F(x) = 1 - \exp \left(-\frac{x^2}{2 b^2}\right)\) for\(x \in [0, \infty)\).

    Prueba

    Recordemos que\(F(x) = G(x / b)\) donde\(G\) está el estándar Rayleigh CDF.

    \(X\)tiene función de densidad de probabilidad\(f\) dada por\(f(x) = \frac{x}{b^2} \exp\left(-\frac{x^2}{2 b^2}\right)\) for\(x \in [0, \infty)\).

    1. \(f\)aumenta y luego disminuye con el modo en\(x = b\).
    2. \(f\)es cóncava hacia abajo y luego hacia arriba con punto de inflexión en\(x = \sqrt{3} b\).
    Prueba

    Recordemos que\(f(x) = \frac{1}{b} g\left(\frac{x}{b}\right)\) dónde\(g\) está el estándar Rayleigh PDF.

    Abra el Simulador de Distribución Especial y seleccione la distribución Rayleigh. Varíe el parámetro de escala y anote la forma y ubicación de la función de densidad de probabilidad. Para varios valores del parámetro de escala, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad emprical con la función de densidad de probabilidad.

    \(X\)tiene función cuantil\(F^{-1}\) dada por\(F^{-1}(p) = b \sqrt{-2 \ln(1 - p)}\) for\(p \in [0, 1)\). En particular, los cuartiles de\(X\) son

    1. \(q_1 = b \sqrt{4 \ln 2 - 2 \ln 3}\), el primer cuartil
    2. \(q_2 = b \sqrt{2 \ln 2}\), la mediana
    3. \(q_3 = b \sqrt{4 \ln 2}\), el tercer cuartil
    Prueba

    Recordemos que\(F^{-1}(p) = b G^{-1}(p)\) donde\(G^{-1}\) está la función cuantil Rayleigh estándar.

    Abra la Calculadora de Distribución Especial y seleccione la distribución Rayleigh. Varíe el parámetro de escala y anote la ubicación y forma de la función de distribución. Para diversos valores del parámetro scale, compute los valores seleccionados de la función de distribución y la función quantile.

    \(X\)tiene función de confiabilidad\(F^c\) dada por\(F^c(x) = \exp\left(-\frac{x^2}{2 b^2}\right)\) for\(x \in [0, \infty)\).

    Prueba

    Recordemos eso\(F^c(x) = 1 - F(x)\).

    \(X\)tiene función de tasa de fallas\(h\) dada por\(h(x) = x / b^2\) for\(x \in [0, \infty)\). En particular,\(X\) tiene un índice de fallas cada vez mayor.

    Prueba

    Recordemos eso\(h(x) = f(x) \big/ H(x)\).

    Momentos

    Nuevamente, asumimos que\(X\) tiene la distribución Rayleigh con parámetro scale\(b\), y recordamos que\(\Phi\) denota la función de distribución normal estándar.

    \(X\)tiene función de generación de momento\(M\) dada por\[M(t) = \E(e^{t X}) = 1 + \sqrt{2 \pi} b t \exp\left(\frac{b^2 t^2}{2}\right) \Phi(t), \quad t \in \R\]

    Prueba

    Recordemos que\(M(t) = m(b t)\) donde\(m\) está el estándar Rayleigh MGF.

    La media y varianza\(R\) de

    1. \(\E(X) = b \sqrt{\pi / 2}\)
    2. \(\var(X) = b^2 (2 - \pi/2)\)
    Prueba

    Estos resultados se derivan de la media y varianza estándar y las propiedades básicas del valor esperado y la varianza.

    Abra el Simulador de Distribución Especial y seleccione la distribución Rayleigh. Varíe el parámetro de escala y anote el tamaño y la ubicación de la barra de desviación\(\pm\) estándar media. Para diversos valores del parámetro escala, ejecute la simulación 1000 veces y compare la media empírica y la desviación stadard con la media verdadera y la desviación estándar.

    Nuevamente, los momentos generales se pueden expresar en términos de la función gamma\(\Gamma\).

    \(\E(X^n) = b^n 2^{n/2} \Gamma(1 + n/2)\)para\(n \in \N\).

    Prueba

    Esto se desprende de los momentos estándar y las propiedades básicas de valor esperado.

    La asimetría y curtosis de\(X\) son

    1. \(\skw(X) = 2 \sqrt{\pi}(\pi - 3) \big/ (4 - \pi)^{3/2} \approx 0.6311\)
    2. \(\kur(X) = (32 - 3 \pi^2) \big/ (4 - \pi)^2 \approx 3.2451\)
    Prueba

    Recordemos que la asimetría y la curtosis se definen en términos de la puntuación estándar y, por lo tanto, no cambian por una transformación de escala. Así, los resultados se derivan de la asimetría estándar y curtosis.

    Distribuciones Relacionadas

    La conexión fundamental entre la distribución de Rayleigh y la distribución normal es la definición, y por supuesto, es la razón principal por la que la distribución de Rayleigh es especial en primer lugar. Por construcción, la distribución Rayleigh es una familia de escalas, y así se cierra bajo transformaciones de escala.

    Si\(X\) tiene el parámetro de distribución Rayleigh con escala\(b \in (0, \infty)\) y si\(c \in (0, \infty)\) entonces\(c X\) tiene el parámetro Distribución Rayleigh con escala\(b c\).

    La distribución Rayleigh es un caso especial de la distribución de Weibull.

    La distribución Rayleigh con parámetro de escala\( b \in (0, \infty) \) es la distribución de Weibull con parámetro de forma\( 2 \) y parámetro de escala\( \sqrt{2} b \).

    El siguiente resultado generaliza la conexión entre las distribuciones estándar Rayleigh y chi-cuadrado.

    Si\(X\) tiene la distribución Rayleigh con el parámetro scale\(b \in (0, \infty)\) entonces\(X^2\) tiene la distribución exponencial con el parámetro scale\(2 b^2\).

    Prueba

    Podemos tomar\(X = b R\) donde\(R\) tiene la distribución estándar de Rayleigh. Entonces\(X^2 = b^2 R^2\), y\(R^2\) tiene la distribución exponencial con el parámetro de escala 2. De ahí\(X^2\) que tenga la distribución exponencial con parámetro de escala\(2 b^2\).

    Dado que la función cuantil está en forma cerrada, la distribución de Rayleigh se puede simular mediante el método de cuantil aleatorio.

    Supongamos que\( b \in (0, \infty) \).

    1. Si\(U\) tiene la distribución uniforme estándar (un número aleatorio) entonces\(X = F^{-1}(U) = b \sqrt{-2 \ln(1 - U)}\) tiene la distribución Rayleigh con el parámetro scale\(b\).
    2. Si\( X \) tiene la distribución Rayleigh con el parámetro scale\( b \) entonces\( U = F(X) = 1 - \exp(-X^2/2 b^2) \) tiene la distribución uniforme estándar

    En la parte (a), nota que\( 1 - U \) tiene la misma distribución que\( U \) (el uniforme estándar). De ahí que\( X = b \sqrt{-2 \ln U} \) también tenga la distribución Rayleigh con parámetro de escala\( b \).

    Abra el simulador de cuantiles aleatorios y seleccione la distribución Rayleigh. Para valores seleccionados del parámetro de escala, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica con la función de densidad verdadera.

    Finalmente, la distribución de Rayleigh es miembro de la familia exponencial general.

    Si\(X\) tiene la distribución Rayleigh con el parámetro scale\(b \in (0, \infty)\) entonces\(X\) tiene una distribución exponencial de un parámetro con parámetro natural\(-1/b^2\) y estadística natural\(X^2 / 2\).

    Prueba

    Esto se desprende directamente de la definición de la distribución exponencial general.


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