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5.33: La distribución exponencial-logarítmica

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    151779
  • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    \(\newcommand{\P}{\mathbb{P}}\)\(\newcommand{\E}{\mathbb{E}}\)\(\newcommand{\var}{\text{var}}\)\(\newcommand{\sd}{\text{sd}}\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}}\)\(\newcommand{\R}{\mathbb{R}}\)\( \newcommand{\Li}{\text{Li}} \)\( \newcommand{\bs}{\boldsymbol} \)\( \newcommand{\skw}{\text{skew}} \)

    La distribución exponencial-logarítmica surge cuando el parámetro de tasa de la distribución exponencial es aleatorizado por la distribución logarítmica. La distribución exponencial-logarítmica tiene aplicaciones en la teoría de la confiabilidad en el contexto de dispositivos u organismos que mejoran con la edad, por endurecimiento o inmunidad.

    La distribución exponencial-logarítmica estándar

    Funciones de distribución

    La distribución exponencial-logarítmica estándar con el parámetro shape\( p \in (0, 1) \) es una distribución continua\( [0, \infty) \) con la función de densidad de probabilidad\( g \) dada por\[ g(x) = -\frac{(1 - p) e^{-x}}{\ln(p)[1 - (1 - p) e^{-x}]}, \quad x \in [0, \infty) \]

    1. \( g \)está disminuyendo\( [0, \infty) \) con el modo\( x = 0 \).
    2. \( g \)es cóncavo hacia arriba en\( [0, \infty) \).
    Prueba

    Sustituyendo\( u = (1 - p) e^{-x} \),\( du = -(1 - p) e^{-x} dx \) da\[ \int_0^\infty \frac{(1 - p) e^{-x}}{1 - (1 - p) e^{-x}} dx = \int_0^{1-p} \frac{du}{1 - u} = -\ln(p) \] por lo que sigue que\(g\) es un PDF. Para la forma de la gráfica de\(g\) nota que\ begin {align} g^\ prime (x) & =\ frac {(1 - p) e^ {-x}} {\ ln (p) [1 - (1 - p) e^ {-x}] ^2},\ quad x\ in [0,\ infty)\\ g^ {\ prime\ prime} (x) & = -\ frac {(1 - p) e^ {-x} [1 + (1 - p) e^ {-x}} {\ ln (p) [1 - (1 - p) e^ {-x}] ^3},\ quad x\ in [0,\ infty)\ end {align}

    Abra el simulador de distribución especial y seleccione la distribución exponencial-logarítmica. Variar el parámetro shape y anotar la forma de la función de densidad de probabilidad. Para valores seleccionados del parámetro shape, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica con la función de densidad de probabilidad.

    La función de distribución\( G \) viene dada por\[ G(x) = 1 - \frac{\ln\left[1 - (1 - p) e^{-x}\right]}{\ln(p)}, \quad x \in [0, \infty) \]

    Prueba

    Esto se desprende de la misma sustitución integral utilizada en la prueba anterior.

    La función quantile\( G^{-1} \) viene dada por\[ G^{-1}(u) = \ln\left(\frac{1 - p}{1 - p^{1 - u}}\right) = \ln(1 - p) - \ln\left(1 - p^{1 - u}\right), \quad u \in [0, 1) \]

    1. El primer cuartil es\( q_1 = \ln(1 - p) - \ln\left(1 - p^{3/4}\right) \).
    2. La mediana es\( q_2 = \ln(1 - p) - \ln\left(1 - p^{1/2}\right) = \ln\left(1 + \sqrt{p}\right)\).
    3. El tercer cuartil es\( q_3 = \ln(1 - p) - \ln\left(1 - p^{1/4}\right)\).
    Prueba

    La fórmula para\( G^{-1} \) se desprende de la función de distribución resolviendo\(u = G(x) \) para\( x \) en términos de\( u \).

    Abra la calculadora de distribución especial y seleccione la distribución exponencial-logarítmica. Variar el parámetro shape y anotar la forma de las funciones de distribución y densidad de probabilidad. Para los valores seleccionados del parámetro shape, computar algunos valores de la función de distribución y la función cuantil.

    La función de confiabilidad\( G^c \) dada por\[ G^c(x) = \frac{\ln\left[1 - (1 - p) e^{-x}\right]}{\ln(p)}, \quad x \in [0, \infty) \]

    Prueba

    Esto se desprende trivialmente de la función de distribución desde\( G^c = 1 - G \).

    La distribución exponencial-logarítmica estándar tiene una tasa de falla decreciente.

    La función de tasa de fallas\( r \) viene dada por\[ r(x) = -\frac{(1 - p) e^{-x}}{\left[1 - (1 - p) e^{-x}\right] \ln\left[1 - (1 - p) e^{-x}\right]}, \quad x \in (0, \infty) \]

    1. \( r \)está disminuyendo en\( [0, \infty) \).
    2. \( r \)es cóncavo hacia arriba en\( [0, \infty) \).
    Prueba

    Recordemos que\( r(x) = g(x) \big/ G^c(x) \) así la fórmula se desprende de la función de densidad de probabilidad y la función de distribución dada anteriormente.

    El polilogaritmo

    Los momentos de la distribución exponencial-logarítmica estándar no pueden expresarse en términos de las funciones elementales habituales, sino que pueden expresarse en términos de una función especial conocida como el polilogaritmo.

    El polilogaritmo de orden\( s \in \R \) se define por\[ \Li_s(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k^s}, \quad x \in (-1, 1) \] El polilogaritmo es una serie de potencias en\( x \) con radio de convergencia es 1 para cada uno\( s \in \R \).

    Prueba

    Para demostrar que el radio de convergencia es 1, utilizamos la prueba de ratio del cálculo. Para\( s \in \R \),\[ \frac{|x|^{k+1} / (k + 1)^s}{|x|^k / k^s} = |x| \left(\frac{k}{k + 1}\right)^s \to |x| \text{ as } k \to \infty \] De ahí que la serie converja absolutamente para\( |x| \lt 1 \) y diverge para\( |x| \gt 1 \).

    En esta sección, solo nos interesan los órdenes enteros no negativos, pero el polilogaritmo volverá a aparecer, para órdenes no enteros, en el estudio de la distribución zeta.

    Las funciones del polilogaritmo de los órdenes 0, 1, 2 y 3.

    1. El polilogaritmo de orden 0 es\[ \Li_0(x) = \sum_{k=1}^\infty x^k = \frac{x}{1 - x}, \quad x \in (-1, 1) \]
    2. El polilogaritmo de orden 1 es\[ \Li_1(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k} = -\ln(1 - x), \quad x \in (-1, 1) \]
    3. El polilogaritmo de orden 2 se conoce como el dilogaritmo
    4. El polilogaritmo de orden 3 se conoce como el trilogaritmo.

    Así, el polilogaritmo de orden 0 es una serie geométrica simple, y el polilogaritmo de orden 1 es la serie de potencia estándar para el logaritmo natural. Tenga en cuenta que la función de densidad de probabilidad de se\( X \) puede escribir en términos de los polilogaritmos de los órdenes 0 y 1:\[ g(x) = -\frac{\Li_0\left[(1 - p) e^{-x}\right]}{\ln(p)} = \frac{\Li_0\left[(1 - p) e^{-x}\right]}{\Li_1(1 - p)}, \quad x \in [0, \infty) \] La propiedad más importante del polilogaritmo se da en el siguiente teorema:

    El polilogaritmo satisface la siguiente fórmula integral recursiva:\[ \Li_{s+1}(x) = \int_0^x \frac{\Li_s(t)}{t} dt; \quad s \in \R, \; x \in (-1, 1) \] Equivalentemente,\( x \, \Li_{s+1}^\prime(x) = \Li_s(x) \) para\( x \in (-1, 1) \) y\( s \in \R \).

    Prueba

    Recordemos que una serie de potencia puede integrarse término por término, y la serie integrada tiene el mismo radio de convergencia. De ahí que\(s \in \R \),\[ \int_0^x \frac{\Li_s(t)}{t} dt = \sum_{k=1}^\infty \int_0^x \frac{t^{k-1}}{k^s} dt = \sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{s^{k+1}} = \Li_{s+1}(x), \quad x \in (-1, 1) \]

    Cuando\( s \gt 1 \), la serie de polilogaritmos converge en\( x = 1 \) también, y\[ \Li_s(1) = \zeta(s) = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^s} \] dónde\( \zeta \) está la función zeta de Riemann, llamada así por Georg Riemann. El polilogaritmo puede extenderse a órdenes complejos y definirse para complejo\( z \) con\( |z| \lt 1 \), pero la versión más simple es suficiente para nuestro trabajo aquí.

    Momentos

    Suponemos que\( X \) tiene la distribución exponencial-logarítmica estándar con el parámetro shape\( p \in (0, 1) \).

    Los momentos de\( X \) (alrededor de 0) son\[ \E(X^n) = -n! \frac{\Li_{n+1}(1 - p)}{\ln(p)} = n! \frac{\Li_{n+1}(1 - p)}{\Li_1(1 - p)}, \quad n \in \N \]

    1. \( \E(X^n) \to 0 \)como\( p \downarrow 0 \)
    2. \( \E(X^n) \to n! \)como\( p \uparrow 1 \)
    Prueba

    Como se señaló anteriormente en la discusión del polilogaritmo, el PDF de\( X \) puede escribirse como\[ g(x) = -\frac{1}{\ln(p)} \sum_{k=1}^\infty (1 - p)^k e^{-kx}, \quad x \in [0, \infty) \] Por lo tanto\[ \E(X^n) = -\frac{1}{\ln(p)} \int_0^\infty \sum_{k=1}^\infty (1 - p)^k x^n e^{-k x} dx = -\frac{1}{\ln(p)} \sum_{k=1}^\infty (1 - p)^k \int_0^\infty x^n e^{-k x} dx \] Pero\( \int_0^\infty x^n e^{-k x} dx = n! \big/ k^{n + 1} \) y por lo tanto\[ \E(X^n) = -\frac{1}{\ln(p)} n! \sum_{k=1}^\infty \frac{(1 - p)^k}{k^{n+1}} = - n! \frac{\Li_{n+1}(1 - p)}{\ln(p)}\]

    1. As\( p \downarrow 0 \), el numerador en la última expresión para\( \E(X^n) \) converge a\( n! \zeta(n + 1) \) mientras que el denominador diverge a\( \infty \).
    2. Como\( p \uparrow 1 \), la expresión para\( \E(X^n) \) tiene la forma indeterminada\( \frac{0}{0} \). Una aplicación de la regla de L'Hospital y la regla derivada anterior da\[ \lim_{p \uparrow 1} \E(X^n) = \lim_{p \uparrow 1} n! p \frac{\Li_n(1 - p)}{1 - p} \] Pero a partir de la definición de serie del polilogaritmo,\( \Li_n(x) \big/ x \to 1 \) como\( x \to 0 \).

    Obtendremos una visión adicional sobre las asintóticas a continuación cuando consideremos la distribución limitante como\( p \downarrow 0 \) y\( p \uparrow 1 \). La media y varianza de la distribución logarítmica exponencial estándar se derivan fácilmente de la fórmula general del momento.

    La media y varianza\( X \) de

    1. \( \E(X) = - \Li_2(1 - p) \big/ \ln(p) \)
    2. \( \var(X) = -2 \Li_3(1 - p) \big/ \ln(p) - \left[\Li_2(1 - p) \big/ \ln(p)\right]^2 \)

    De las asintóticas de los momentos generales, anotar eso\( \E(X) \to 0 \) y\( \var(X) \to 0 \) como\( p \downarrow 0 \),\( E(X) \to 1 \) y\( \var(X) \to 1 \) como\( p \uparrow 1 \).

    Abra el simulador de distribución especial y seleccione la distribución exponencial-logarítmica. Varíe el parámetro de forma y anote el tamaño y la ubicación de la barra de desviación\( \pm \) estándar media. Para los valores seleccionados del parámetro shape, ejecute la simulación 1000 veces y compare la media empírica y la desviación estándar con la media de distribución y la desviación estándar.

    Distribuciones Relacionadas

    La distribución exponencial-logarítmica estándar tiene las conexiones habituales a la distribución uniforme estándar por medio de la función de distribución y la función cuantil calculada anteriormente.

    Supongamos que\( p \in (0, 1) \).

    1. Si\( U \) tiene la distribución uniforme estándar entonces\[ X = \ln\left(\frac{1 - p}{1 - p^U}\right) = \ln(1 - p) - \ln\left(1 - p^U \right) \] tiene la distribución estándar exponencial-logarítmica con el parámetro shape\( p \).
    2. Si\( X \) tiene la distribución exponencial-logarítmica estándar con el parámetro shape\( p \) entonces\[ U = \frac{\ln\left[1 - (1 - p) e^{-X}\right]}{\ln(p)} \] tiene la distribución uniforme estándar.
    Prueba
    1. Recordemos que si\( U \) tiene la distribución uniforme estándar, entonces\( G^{-1}(U) \) tiene la distribución exponencial-logarítmica con el parámetro shape\( p \). Pero\( 1 - U \) también tiene la distribución uniforme estándar y por lo tanto\( X = G^{-1}(1 - U) \) también tiene la distribución exponencial-logarítmica con el parámetro shape\( p \).
    2. Del mismo modo, si\( X \) tiene la distribución exponencial-logarítmica con el parámetro shape\( p \) entonces\( G(X) \) tiene la distribución uniforme estándar. De ahí que\( U = 1 - G(X) \) también tenga la distribución uniforme estándar.

    Dado que la función cuantil de la distribución exponencial-logarítmica básica tiene una forma simple cerrada, la distribución se puede simular utilizando el método cuantil aleatorio.

    Abra el experimento de cuantiles aleatorios y seleccione la distribución exponencial-logarítmica. Variar el parámetro shape y anotar la forma de las funciones de distribución y densidad de probabilidad. Para los valores seleccionados del parámetro, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica con la función de densidad de probabilidad.

    Como su nombre indica, la distribución básica exponencial-logarítmica surge de la distribución exponencial y la distribución logarítmica a través de cierto tipo de aleatorización.

    Supongamos que\( \bs T = (T_1, T_2, \ldots) \) es una secuencia de variables aleatorias independientes, cada una con la distribución exponencial estándar. Supongamos también que\( N \) tiene la distribución logarítmica con parámetro\( 1 - p \in (0, 1) \) y es independiente de\( \bs T \). Después\( X = \min\{T_1, T_2, \ldots, T_N\} \) tiene la distribución básica exponencial-logarítmica con parámetro shape\( p \).

    Prueba

    Lo mejor es trabajar con funciones de confiabilidad. For\( n \in \N_+ \),\( \min\{T_1, T_2, \ldots, T_n\} \) tiene la distribución exponencial con parámetro de tasa\( n \), y por lo tanto\( \P(\min\{T_1, T_2, \ldots T_n\} \gt x) = e^{-n x} \) para\( x \in [0, \infty) \). Recordemos también que\[ \P(N = n) = -\frac{(1 - p)^n}{n \ln(p)} \quad, n \in \N_+ \] Por lo tanto, utilizando el polilogaritmo de orden 1 (la serie de potencia estándar para el logaritmo),\[ \P(X \gt x) = \E[\P(X \gt x \mid N)] = -\frac{1}{\ln(p)} \sum_{n=1}^\infty e^{-n x} \frac{(1 - p)^n}{n} = -\frac{1}{\ln(p)} \sum_{n=1}^\infty \frac{\left[e^{-x}(1 - p)\right]^n}{n} = \frac{\ln\left[1 - e^{-x} (1 - p)\right]}{\ln(p)}\] En función de\( x \), esta es la función de confiabilidad de la distribución exponencial-logarítmica con parámetro shape\( p \).

    También son de interés, por supuesto, las distribuciones limitantes de la distribución exponencial-logarítmica estándar como\(p \to 0\) y como\( p \to 1 \).

    La distribución exponencial-logarítmica estándar con el parámetro shape\( p \in (0, 1) \) converge a

    1. Masa puntual a 0 as\( p \to 0 \).
    2. La distribución exponencial estándar como\( p \to 1 \).
    Prueba

    Es un poco más fácil trabajar con la función de confiabilidad\( G^c \) en lugar de con la función de distribución ordinaria (izquierda)\( G \).

    1. Tenga en cuenta que\( G^c(0) = 1 \) para cada\( p \in (0, 1) \). Por otro lado, si\( x \gt 0 \) entonces\( G^c(x) \to 0 \) como\( p \to 0 \).
    2. \( G^c(x) \)tiene la forma indeterminada\( \frac{0}{0} \) como\( p \to 1 \). Una aplicación de la regla de L'Hospital muestra que\[ \lim_{p \to 1} G^c(x) = \lim_{p \to 1} \frac{p e^{-x}}{1 - (1 - p) e^{-x}} = e^{-x}, \quad x \in [0, \infty) \] En función de\( x \), esta es la función de confiabilidad de la distribución exponencial estándar.

    La distribución general exponencial-logarítmica

    La distribución exponencial-logarítmica estándar se generaliza, como tantas distribuciones en\( [0, \infty) \), agregando un parámetro de escala.

    Supongamos que\( Z \) tiene la distribución exponencial-logarítmica estándar con el parámetro shape\( p \in (0, 1) \). Si\( b \in (0, \infty) \), entonces\( X = b Z \) tiene la distribución exponencial-logarítmica con el parámetro shape\( p \) y el parámetro scale\( b \).

    Usando la misma terminología que la distribución exponencial,\( 1/b \) se llama el parámetro rate.

    Funciones de distribución

    Supongamos que\( X \) tiene la distribución exponencial-logarítmica con el parámetro shape\( p \in (0, 1) \) y el parámetro scale\( b \in (0, \infty) \).

    \( X \)tiene la función de densidad de probabilidad\( f \) dada por\[ f(x) = -\frac{(1 - p) e^{-x / b}}{b \ln(p)[1 - (1 - p) e^{-x / b}]}, \quad x \in [0, \infty) \]

    1. \( f \)está disminuyendo\( [0, \infty) \) con el modo\( x = 0 \).
    2. \( f \)es cóncavo hacia arriba en\( [0, \infty) \).
    Prueba

    Recordemos que\( f(x) = \frac{1}{b}g\left(\frac{x}{b}\right) \) para\( x \in [0, \infty) \) dónde\( g \) está el PDF de la distribución estándar.

    Abra el simulador de distribución especial y seleccione la distribución exponencial-logarítmica. Varíe los parámetros de forma y escala y anote la forma y ubicación de la función de densidad de probabilidad. Para valores seleccionados de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica con la función de densidad de probabilidad.

    \( X \)tiene función de distribución\( F \) dada por\[ F(x) = 1 - \frac{\ln\left[1 - (1 - p) e^{-x / b}\right]}{\ln(p)}, \quad x \in [0, \infty) \]

    Prueba

    Recordemos que\( F(x) = G(x / b) \) para\( x \in [0, \infty) \) dónde\( G \) está el CDF de la distribución estándar.

    \( X \)tiene función cuantil\( F^{-1} \) dada por\[ F^{-1}(u) = b \ln\left(\frac{1 - p}{1 - p^{1 - u}}\right) = b \left[\ln(1 - p) - \ln\left(1 - p^{1 - u}\right)\right], \quad u \in [0, 1) \]

    1. El primer cuartil es\( q_1 = b \left[\ln(1 - p) - \ln\left(1 - p^{3/4}\right)\right] \).
    2. La mediana es\( q_2 = b \left[\ln(1 - p) - \ln\left(1 - p^{1/2}\right)\right] = b \ln\left(1 + \sqrt{p}\right)\).
    3. El tercer cuartil es\( q_3 = b \left[\ln(1 - p) - \ln\left(1 - p^{1/4}\right) \right]\).
    Prueba

    Recordemos que\( F^{-1}(u) = b G^{-1}(u) \) donde\( G^{-1} \) está la función cuantil de la distribución estándar.

    Abra la calculadora de distribución especial y seleccione la distribución exponencial-logarítmica. Varíe el parámetro de forma y escala y anote la forma y ubicación de las funciones de densidad de probabilidad y distribución. Para valores seleccionados de los parámetros, computar algunos valores de la función de distribución y la función cuantil.

    \( X \)tiene la función de confiabilidad\( F^c \) dada por\[ F^c(x) = \frac{\ln\left[1 - (1 - p) e^{-x / b}\right]}{\ln(p)}, \quad x \in [0, \infty) \]

    Prueba

    Esto se desprende trivialmente de la función de distribución desde\( F^c = 1 - F \).

    La distribución exponencial-logarítmica tiene una tasa de falla decreciente.

    La función de tasa de fallas\( R \) de\( X \) viene dada por. \[ R(x) = -\frac{(1 - p) e^{-x / b}}{b \left[1 - (1 - p) e^{-x / b}\right] \ln\left[1 - (1 - p) e^{-x / b}\right]}, \quad x \in [0, \infty) \]

    1. \( R \)está disminuyendo en\( [0, \infty) \).
    2. \( R \)es cóncavo hacia arriba en\( [0, \infty) \).
    Prueba

    Recordemos que\( R(x) = \frac{1}{b} r\left(\frac{x}{b}\right) \) para\( x \in [0, \infty) \), donde\( r \) está la función de tasa de fallas de la distribución estándar. Como alternativa,\( R(x) = f(x) \big/ F^c(x) \).

    Momentos

    Supongamos nuevamente que\( X \) tiene la distribución exponencial-logarítmica con el parámetro shape\( p \in (0, 1) \) y el parámetro scale\( b \in (0, \infty) \). Los momentos de\( X \) pueden calcularse fácilmente a partir de la representación\( X = b Z \) donde\( Z \) tiene la distribución exponencial-logarítmica básica.

    Los momentos de\( X \) (alrededor de 0) son\[ \E(X^n) = -b^n n! \frac{\Li_{n+1}(1 - p)}{\ln(p)}, \quad n \in \N \]

    1. \( \E(X^n) \to 0 \)como\( p \downarrow 0 \)
    2. \( \E(X^n) \to b^n n! \)como\( p \uparrow 1 \)
    Prueba

    Estos resultados se derivan de las propiedades básicas de valor esperado y los resultados correspondientes para la distribución estándar. Podemos escribir\( X = b Z \) donde\( Z \) tiene la distribución exponencial-logarítmica estándar con el parámetro shape\( p \). De ahí\( \E(X^n) = b^n \E(Z^n) \).

    La media y varianza\( X \) de

    1. \( \E(X) = - b \Li_2(1 - p) \big/ \ln(p) \)
    2. \( \var(X) = b^2 \left(-2 \Li_3(1 - p) \big/ \ln(p) - \left[\Li_2(1 - p) \big/ \ln(p)\right]^2 \right)\)

    A partir de los resultados de momento general, anotar eso\( \E(X) \to 0 \) y\( \var(X) \to 0 \) como\( p \downarrow 0 \), mientras\( \E(X) \to b \) y\( \var(X) \to b^2 \) como\( p \uparrow 1 \).

    Abra el simulador de distribución especial y seleccione la distribución exponencial-logarítmica. Varíe los parámetros de forma y escala y anote el tamaño y la ubicación de la barra de desviación\( \pm \) estándar media. Para valores seleccionados de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y compare la media empírica y la desviación estándar con la media de distribución y la desviación estándar.

    Distribuciones Relacionadas

    Dado que la distribución exponencial-logarítmica es una familia de escalas para cada valor del parámetro shape, se cierra trivialmente bajo transformaciones de escala.

    Supongamos que\( X \) tiene la distribución exponencial-logarítmica con el parámetro shape\( p \in (0, 1) \) y el parámetro scale\( b \in (0, \infty) \). Si\( c \in (0, \infty) \), entonces\( Y = c X \) tiene la distribución exponencial-logarítmica con el parámetro shape\( p \) y el parámetro scale\( b c \).

    Prueba

    Por definición, podemos tomar\( X = b Z \) donde\( Z \) tiene la distribución exponencial-logarítmica estándar con el parámetro shape\( p \). Pero entonces\( Y = c X = (b c) Z \).

    Una vez más, la distribución exponencial-logarítmica tiene las conexiones habituales a la distribución uniforme estándar por medio de la función de distribución y la función cuantil calculadas anteriormente.

    Supongamos que\( p \in (0, 1) \) y\( b \in (0, \infty) \).

    1. Si\( U \) tiene la distribución exponencial estándar, entonces\[ X = b \left[\ln\left(\frac{1 - p}{1 - p^U}\right)\right] = b \left[\ln(1 - p) - \ln\left(1 - p^U \right)\right] \] tiene la distribución exponencial-logarítmica con el parámetro shape\( p \) y el parámetro scale\( b \).
    2. Si\( X \) tiene la distribución exponencial-logarítmica con el parámetro shape\( p \) y el parámetro scale\( b \), entonces\[ U = \frac{\ln\left[1 - (1 - p) e^{-X / b}\right]}{\ln(p)} \] tiene la distribución uniforme estándar.
    Prueba

    Estos resultados se derivan de la representación\(X = b Z \), donde\( Z \) tiene la distribución exponencial-logarítmica estándar con el parámetro shape\( p \), y el resultado correspondiente para\( Z \).

    Nuevamente, dado que la función cuantil de la distribución exponencial-logarítmica tiene una forma simple cerrada, la distribución se puede simular utilizando el método cuantil aleatorio.

    Abra el experimento de cuantiles aleatorios y seleccione la distribución exponencial-logarítmica. Varíe los parámetros de forma y escala y anote la forma y ubicación de las funciones de distribución y densidad de probabilidad. Para valores seleccionados de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica con la función de densidad de probabilidad.

    Supongamos que\( \bs{T} = (T_1, T_2, \ldots) \) es una secuencia de variables aleatorias independientes, cada una con la distribución exponencial con parámetro scale\( b \in (0, \infty) \). Supongamos también que\( N \) tiene la distribución logarítmica con parámetro\( 1 - p \in (0, 1) \) y es independiente de\( \bs{T} \). Luego\( X = \min\{T_1, T_2, \ldots, T_N\} \) tiene la distribución exponencial-logarítmica con el parámetro shape\( p \) y el parámetro scale\( b \).

    Prueba

    Tenga en cuenta que\( V_i = T_i / b \) tiene la distribución exponencial estándar. De ahí que por el resultado correspondiente anterior,\( Z = \min\{V_1, V_2, \ldots, V_N\} \) tenga la distribución básica exponencial-logarítmica con el parámetro shape\( p \). De ahí\( X = b Z \) que tenga la distribución exponencial-logarítmica con el parámetro shape\( p \) y el parámetro scale\( b \).

    Las distribuciones limitantes como\( p \downarrow 0 \) y como\( p \uparrow 1 \) también siguen fácilmente de los resultados correspondientes para el caso estándar.

    Para fijo\( b \in (0, \infty) \), la distribución exponencial-logarítmica con parámetro de forma\( p \in (0, 1) \) y parámetro de escala\( b \) converge a

    1. Masa puntual a 0 as\( p \downarrow 0 \).
    2. La distribución exponencial con parámetro de escala\( b \) como\( p \uparrow 1 \).
    Prueba

    Supongamos que\( X \) tiene la distribución exponencial-logarítmica con el parámetro shape\( p \) y el parámetro scale\( b \), de manera que\( X = b Z \) donde\( Z \) tiene la distribución exponencial-logarítmica estándar con el parámetro shape\( p \). Utilizando el resultado correspondiente anterior,

    1. La distribución de\( Z \) converge a masa puntual en 0 como\( p \downarrow 0 \) y por lo tanto también lo hace la distribución de\( X \).
    2. La distribución de\( Z \) converge a la distribución exponencial estándar como\( p \uparrow 1 \) y por lo tanto la distribución de\( X \) converge a la distribución exponencial con parámetro de escala\( b \).

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