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5.38: La distribución de Weibull

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    En esta sección, estudiaremos una familia de distribuciones de dos parámetros que tiene especial importancia en confiabilidad.

    La distribución básica de Weibull

    Funciones de distribución

    La distribución básica de Weibull con parámetro de forma\( k \in (0, \infty) \) es una distribución continua\( [0, \infty) \) con función de distribución\( G \) dada por\[ G(t) = 1 - \exp\left(-t^k\right), \quad t \in [0, \infty) \] El caso especial\( k = 1 \) da la distribución estándar de Weibull.

    Prueba

    Claramente\( G \) es continuo y va en aumento\( [0, \infty) \) con\( G(0) = 0 \) y\( G(t) \to 1 \) como\( t \to \infty \).

    La distribución de Weibull lleva el nombre de Waloddi Weibull. Weibull no fue la primera persona en utilizar la distribución, sino que fue la primera en estudiarla extensamente y reconocer su amplio uso en aplicaciones. La distribución estándar de Weibull es la misma que la distribución exponencial estándar. Pero como veremos, cada variable aleatoria de Weibull se puede obtener a partir de una variable estándar de Weibull mediante una simple transformación determinista, por lo que la terminología está justificada.

    La función de densidad de probabilidad\( g \) viene dada por\[ g(t) = k t^{k - 1} \exp\left(-t^k\right), \quad t \in (0, \infty) \]

    1. Si\(0 \lt k \lt 1\),\(g\) es decreciente y cóncavo hacia arriba con\( g(t) \to \infty \) as\( t \downarrow 0 \).
    2. Si\( k = 1 \),\( g \) es decreciente y cóncava hacia arriba con modo\( t = 0 \).
    3. Si\(k \gt 1\),\(g\) aumenta y luego disminuye, con modo\(t = \left( \frac{k - 1}{k} \right)^{1/k}\).
    4. Si\( 1 \lt k \le 2 \),\( g \) es cóncavo hacia abajo y luego hacia arriba, con punto de inflexión en\( t = \left[\frac{3 (k - 1) + \sqrt{(5 k - 1)(k - 1)}}{2 k}\right]^{1/k} \)
    5. Si\( k \gt 2 \),\( g \) es cóncavo hacia arriba, luego hacia abajo, luego hacia arriba nuevamente, con puntos de inflexión en\( t = \left[\frac{3 (k - 1) \pm \sqrt{(5 k - 1)(k - 1)}}{2 k}\right]^{1/k} \)
    Prueba

    Estos resultados se derivan del cálculo básico. El PDF es\( g = G^\prime \) donde\( G \) está el CDF arriba. Las propiedades de primer orden provienen de\[ g^\prime(t) = k t^{k-2} \exp\left(-t^k\right)\left[-k t^k + (k - 1)\right] \] Las propiedades de segundo orden provienen de\[ g^{\prime\prime}(t) = k t^{k-3} \exp\left(-t^k\right)\left[k^2 t^{2 k} - 3 k (k - 1) t^k + (k - 1)(k - 2)\right] \]

    Entonces la función de densidad Weibull tiene una rica variedad de formas, dependiendo del parámetro shape, y tiene la forma unimodal clásica cuando\( k \gt 1 \). Si\( k \ge 1 \),\( g \) se define en 0 también.

    En el simulador de distribución especial, seleccione la distribución de Weibull. Variar el parámetro shape y anotar la forma de la función de densidad de probabilidad. Para valores seleccionados del parámetro shape, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica con la función de densidad de probabilidad.

    La función quantile\( G^{-1} \) viene dada por\[ G^{-1}(p) = [-\ln(1 - p)]^{1/k}, \quad p \in [0, 1) \]

    1. El primer cuartil es\( q_1 = (\ln 4 - \ln 3)^{1/k} \).
    2. La mediana es\( q_2 = (\ln 2)^{1/k} \).
    3. El tercer cuartil es\( q_3 = (\ln 4)^{1/k} \).
    Prueba

    La fórmula para\( G^{-1}(p) \) viene de resolver\( G(t) = p \) para\( t \) en términos de\( p \).

    Abra la calculadora de distribución especial y seleccione la distribución Weibull. Variar el parámetro shape y anotar la forma de las funciones de distribución y densidad de probabilidad. Para los valores seleccionados del parámetro, compute la mediana y el primer y tercer cuartiles.

    La función de confiabilidad\( G^c \) viene dada por\[ G^c(t) = \exp(-t^k), \quad t \in [0, \infty) \]

    Prueba

    Esto se desprende trivialmente del CDF anterior, ya que\( G^c = 1 - G \).

    La función de tasa de fallas\( r \) viene dada por\[ r(t) = k t^{k-1}, \quad t \in (0, \infty) \]

    1. Si\( 0 \lt k \lt 1 \),\(r\) es decreciente con\( r(t) \to \infty \) como\( t \downarrow 0 \) y\( r(t) \to 0 \) como\( t \to \infty \).
    2. Si\( k = 1 \),\(r\) es constante 1.
    3. Si\( k \gt 1 \),\(r\) está aumentando con\( r(0) = 0 \) y\( r(t) \to \infty \) como\( t \to \infty \).
    Prueba

    La fórmula para\( r \) sigue inmediatamente del PDF\( g \) y la función de confiabilidad\( G^c \) dada anteriormente, ya que\( r = g \big/ G^c \).

    Por lo tanto, la distribución de Weibull se puede utilizar para modelar dispositivos con tasa de falla decreciente, tasa de falla constante o tasa de falla creciente. Esta versatilidad es una de las razones del amplio uso de la distribución Weibull en confiabilidad. Si\( k \ge 1 \),\( r \) se define en 0 también.

    Momentos

    Supongamos que\(Z\) tiene la distribución básica de Weibull con el parámetro shape\(k \in (0, \infty)\). Los momentos de\(Z\), y por lo tanto la media y varianza de\(Z\) pueden expresarse en términos de la función gamma\( \Gamma \)

    \(\E(Z^n) = \Gamma\left(1 + \frac{n}{k}\right)\)para\(n \ge 0\).

    Prueba

    Para\( n \ge 0 \),\[ \E(Z^n) = \int_0^\infty t^n k t^{k-1} \exp(-t^k) \, dt \] Sustitución\(u = t^k\) da\[ \E(Z^n) = \int_0^\infty u^{n/k} e^{-u} du = \Gamma\left(1 + \frac{n}{k}\right) \]

    Entonces la distribución de Weibull tiene momentos de todos los pedidos. La función generadora de momentos, sin embargo, no tiene una expresión simple y cerrada en términos de las funciones elementales habituales.

    En particular, la media y varianza de\(Z\) son

    1. \(\E(Z) = \Gamma\left(1 + \frac{1}{k}\right)\)
    2. \(\var(Z) = \Gamma\left(1 + \frac{2}{k}\right) - \Gamma^2\left(1 + \frac{1}{k}\right)\)

    Tenga en cuenta que\( \E(Z) \to 1 \) y\( \var(Z) \to 0 \) como\( k \to \infty \). Aprenderemos más sobre la distribución limitante a continuación.

    En el simulador de distribución especial, seleccione la distribución de Weibull. Varíe el parámetro de forma y anote el tamaño y la ubicación de la barra de desviación\( \pm \) estándar media. Para los valores seleccionados del parámetro shape, ejecute la simulación 1000 veces y compare la media empírica y la desviación estándar con la media de distribución y la desviación estándar.

    La asimetría y curtosis también se desprende fácilmente del resultado del momento general anterior, aunque las fórmulas no son particularmente útiles.

    Asimetría y curtosis

    1. La asimetría de\( Z \) es\[ \skw(Z) = \frac{\Gamma(1 + 3 / k) - 3 \Gamma(1 + 1 / k) \Gamma(1 + 2 / k) + 2 \Gamma^3(1 + 1 / k)}{\left[\Gamma(1 + 2 / k) - \Gamma^2(1 + 1 / k)\right]^{3/2}} \]
    2. La curtosis de\( Z \) es\[ \kur(Z) = \frac{\Gamma(1 + 4 / k) - 4 \Gamma(1 + 1 / k) \Gamma(1 + 3 / k) + 6 \Gamma^2(1 + 1 / k) \Gamma(1 + 2 / k) - 3 \Gamma^4(1 + 1 / k)}{\left[\Gamma(1 + 2 / k) - \Gamma^2(1 + 1 / k)\right]^2} \]
    Prueba

    Los resultados siguen directamente del resultado del momento general y las fórmulas computacionales para asimetría y curtosis.

    Distribuciones Relacionadas

    Como se señaló anteriormente, la distribución estándar de Weibull (parámetro de forma 1) es la misma que la distribución exponencial estándar. De manera más general, cualquier variable básica de Weibull se puede construir a partir de una variable exponencial estándar.

    Supongamos que\( k \in (0, \infty) \).

    1. Si\( U \) tiene la distribución exponencial estándar entonces\( Z = U^{1/k} \) tiene la distribución básica de Weibull con el parámetro shape\( k \).
    2. Si\( Z \) tiene la distribución básica de Weibull con el parámetro shape\( k \) entonces\( U = Z^k \) tiene la distribución exponencial estándar.
    Prueba

    Utilizamos funciones de distribución. El CDF básico de Weibull se da anteriormente; el CDF exponencial estándar está\( u \mapsto 1 - e^{-u} \) encendido\( [0, \infty) \). Tenga en cuenta que las transformaciones inversas\( z = u^k \) y\( u = z^{1/k} \) son estrictamente crecientes y mapeadas\( [0, \infty) \) sobre\( [0, \infty) \).

    1. \( \P(Z \le z) = \P\left(U \le z^k\right) = 1 - \exp\left(-z^k\right)\)para\( z \in [0, \infty) \).
    2. \( \P(U \le u) = \P\left(Z \le u^{1/k}\right) = 1 - \exp\left[-\left(u^{1/k}\right)^k\right] = 1 - e^{-u} \)para\( u \in [0, \infty) \).

    La distribución básica de Weibull tiene las conexiones habituales con la distribución uniforme estándar por medio de la función de distribución y la función cuantil dada anteriormente.

    Supongamos que\( k \in (0, \infty) \).

    1. Si\( U \) tiene la distribución uniforme estándar entonces\( Z = (-\ln U)^{1/k} \) tiene la distribución básica de Weibull con el parámetro shape\( k \).
    2. Si\( Z \) tiene la distribución básica de Weibull con el parámetro shape\( k \) entonces\( U = \exp\left(-Z^k\right) \) tiene la distribución uniforme estándar.
    Prueba

    Dejar\( G \) denotar el CDF de la distribución básica de Weibull con el parámetro shape\( k \) y\( G^{-1} \) la función cuantil correspondiente, dada anteriormente.

    1. Si\( U \) tiene la distribución uniforme estándar entonces también lo hace\( 1 - U \). De ahí\(Z = G^{-1}(1 - U) = (-\ln U)^{1/k} \) que tenga la distribución básica de Weibull con el parámetro shape\( k \).
    2. Si\( Z \) tiene la distribución básica de Weibull con el parámetro shape\( k \) entonces\( G(Z) \) tiene la distribución uniforme estándar. Pero entonces también lo hace\( U = 1 - G(Z) = \exp\left(-Z^k\right) \).

    Dado que la función quantile tiene una forma simple y cerrada, la distribución básica de Weibull se puede simular usando el método de cuantil aleatorio.

    Abra el experimento de cuantiles aleatorios y seleccione la distribución de Weibull. Varíe el parámetro shape y anote nuevamente la forma de las funciones de distribución y densidad. Para los valores seleccionados del parámetro, ejecute la simulación 1000 veces y compare la densidad empírica, la media y la desviación estándar con sus contrapartes distribucionales.

    La distribución limitante con respecto al parámetro de forma se concentra en un solo punto.

    La distribución básica de Weibull con parámetro de forma\( k \in (0, \infty) \) converge a masa puntual en 1 as\( k \to \infty \).

    Prueba

    Una vez más, vamos a\( G \) denotar el CDF básico de Weibull con el parámetro shape\( k \) dado anteriormente. Tenga en cuenta que en\( G(t) \to 0 \)\( k \to \infty \) cuanto a\( 0 \le t \lt 1 \);\(G(1) = 1 - e^{-1}\) para todos\( k \); y en\( G(t) \to 1 \)\( k \to \infty \) cuanto a\( t \gt 1 \). Excepto por el punto de discontinuidad\( t = 1 \), los límites son el CDF de masa puntual a 1.

    La distribución general de Weibull

    Como la mayoría de las distribuciones continuas especiales en\( [0, \infty) \), la distribución básica de Weibull se generaliza mediante la inclusión de un parámetro de escala. Una transformación de escala a menudo corresponde en aplicaciones a un cambio de unidades, y para la distribución de Weibull esto generalmente significa un cambio en las unidades de tiempo.

    Supongamos que\(Z\) tiene la distribución básica de Weibull con el parámetro shape\(k \in (0, \infty)\). Para\( b \in (0, \infty) \), la variable aleatoria\(X = b Z\) tiene la distribución Weibull con el parámetro shape\(k\) y el parámetro scale\(b\).

    Las generalizaciones de los resultados dados anteriormente se derivan fácilmente de las propiedades básicas de la transformación de escala.

    Funciones de distribución

    Supongamos que\( X \) tiene la distribución de Weibull con el parámetro shape\( k \in (0, \infty) \) y el parámetro scale\( b \in (0, \infty) \).

    \( X \)función de distribución\( F \) dada por\[ F(t) = 1 - \exp\left[-\left(\frac{t}{b}\right)^k\right], \quad t \in [0, \infty) \]

    Prueba

    Recordemos que\( F(t) = G\left(\frac{t}{b}\right) \) para\( t \in [0, \infty) \) dónde\( G \) está el CDF de la distribución básica de Weibull con parámetro shape\( k \), dado anteriormente.

    \( X \)tiene la función de densidad de probabilidad\( f \) dada por\[ f(t) = \frac{k}{b^k} \, t^{k-1} \, \exp \left[ -\left( \frac{t}{b} \right)^k \right], \quad t \in (0, \infty)\]

    1. Si\(0 \lt k \lt 1\),\(f\) es decreciente y cóncavo hacia arriba con\( f(t) \to \infty \) as\( t \downarrow 0 \).
    2. Si\( k = 1 \),\( f \) es decreciente y cóncava hacia arriba con modo\( t = 0 \).
    3. Si\(k \gt 1\),\(f\) aumenta y luego disminuye, con modo\(t = b \left( \frac{k - 1}{k} \right)^{1/k}\).
    4. Si\( 1 \lt k \le 2 \),\( f \) es cóncavo hacia abajo y luego hacia arriba, con punto de inflexión en\( t = b \left[\frac{3 (k - 1) + \sqrt{(5 k - 1)(k - 1)}}{2 k}\right]^{1/k} \)
    5. Si\( k \gt 2 \),\( f \) es cóncavo hacia arriba, luego hacia abajo, luego hacia arriba nuevamente, con puntos de inflexión en\( t = b \left[\frac{3 (k - 1) \pm \sqrt{(5 k - 1)(k - 1)}}{2 k}\right]^{1/k} \)
    Prueba

    Recordemos que\( f(t) = \frac{1}{b} g\left(\frac{t}{b}\right) \) para\( t \in (0, \infty) \) dónde\( g \) está el PDF de la distribución básica correspondiente de Weibull dada anteriormente.

    Abra el simulador de distribución especial y seleccione la distribución Weibull. Varíe los parámetros y anote la forma de la función de densidad de probabilidad. Para valores seleccionados de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y compare la función de densidad empírica con la función de densidad de probabilidad.

    \( X \)tiene función cuantil\( F^{-1} \) dada por\[ F^{-1}(p) = b [-\ln(1 - p)]^{1/k}, \quad p \in [0, 1) \]

    1. El primer cuartil es\( q_1 = b (\ln 4 - \ln 3)^{1/k} \).
    2. La mediana es\( q_2 = b (\ln 2)^{1/k} \).
    3. El tercer cuartil es\( q_3 = b (\ln 4)^{1/k} \).
    Prueba

    Recordemos que\( F^{-1}(p) = b G^{-1}(p) \) para\( p \in [0, 1) \) donde\( G^{-1} \) está la función cuantil de la distribución básica correspondiente de Weibull dada anteriormente.

    Abra la calculadora de distribución especial y seleccione la distribución Weibull. Varíe los parámetros y anote la forma de las funciones de distribución y densidad de probabilidad. Para valores seleccionados de los parámetros, compute la mediana y el primer y tercer cuartiles.

    \( X \)tiene función de confiabilidad\( F^c \) dada por\[ F^c(t) = \exp\left[-\left(\frac{t}{b}\right)^k\right], \quad t \in [0, \infty) \]

    Prueba

    Esto se desprende trivialmente del CDF\( F \) dado anteriormente, ya que\( F^c = 1 - F \).

    Como antes, la distribución de Weibull tiene tasas de falla decrecientes, constantes o crecientes, dependiendo únicamente del parámetro shape.

    \( X \)tiene función de tasa de fallas\( R \) dada por\[ R(t) = \frac{k t^{k-1}}{b^k}, \quad t \in (0, \infty) \]

    1. Si\(0 \lt k \lt 1\),\( R \) es decreciente con\( R(t) \to \infty \) como\( t \downarrow 0 \) y\( R(t) \to 0 \) como\( t \to \infty \).
    2. Si\(k = 1\),\( R \) es constante\( \frac{1}{b} \).
    3. Si\( k \gt 1 \),\(R\) está aumentando con\( R(0) = 0 \) y\( R(t) \to \infty \) como\( t \to \infty \).

    Momentos

    Supongamos nuevamente que\( X \) tiene la distribución de Weibull con parámetro shape\( k \in (0, \infty) \) y parámetro scale\( b \in (0, \infty) \). Recordemos que por definición, podemos tomar\( X = b Z \) donde\( Z \) tiene la distribución básica de Weibull con parámetro shape\( k \).

    \(\E(X^n) = b^n \Gamma\left(1 + \frac{n}{k}\right)\)para\(n \ge 0\).

    Prueba

    El resultado se desprende entonces de los momentos de\( Z \) arriba, ya que\( \E(X^n) = b^n \E(Z^n) \).

    En particular, la media y varianza de\(X\) son

    1. \(\E(X) = b \Gamma\left(1 + \frac{1}{k}\right)\)
    2. \(\var(X) = b^2 \left[\Gamma\left(1 + \frac{2}{k}\right) - \Gamma^2\left(1 + \frac{1}{k}\right)\right]\)

    Tenga en cuenta que\( \E(X) \to b \) y\( \var(X) \to 0 \) como\( k \to \infty \).

    Abra el simulador de distribución especial y seleccione la distribución Weibull. Varíe los parámetros y anote el tamaño y la ubicación de la barra de desviación\( \pm \) estándar media. Para valores seleccionados de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y compare la media empírica y la desviación estándar con la media de distribución y la desviación estándar.

    Asimetría y curtosis

    1. La asimetría de\( X \) es\[ \skw(X) = \frac{\Gamma(1 + 3 / k) - 3 \Gamma(1 + 1 / k) \Gamma(1 + 2 / k) + 2 \Gamma^3(1 + 1 / k)}{\left[\Gamma(1 + 2 / k) - \Gamma^2(1 + 1 / k)\right]^{3/2}} \]
    2. La curtosis de\( X \) es\[ \kur(X) = \frac{\Gamma(1 + 4 / k) - 4 \Gamma(1 + 1 / k) \Gamma(1 + 3 / k) + 6 \Gamma^2(1 + 1 / k) \Gamma(1 + 2 / k) - 3 \Gamma^4(1 + 1 / k)}{\left[\Gamma(1 + 2 / k) - \Gamma^2(1 + 1 / k)\right]^2} \]
    Prueba

    La asimetría y la curtosis dependen únicamente de la puntuación estándar de la variable aleatoria y, por lo tanto, son invariantes bajo transformaciones de escala. Entonces los resultados son los mismos que la asimetría y curtosis de\( Z \).

    Distribuciones Relacionadas

    Dado que la distribución de Weibull es una familia de escalas para cada valor del parámetro shape, se cierra trivialmente bajo transformaciones de escala.

    Supongamos que\(X\) tiene la distribución de Weibull con el parámetro shape\(k \in (0, \infty)\) y el parámetro scale\(b \in (0, \infty)\). Si\(c \in (0, \infty)\) entonces\(Y = c X\) tiene la distribución Weibull con el parámetro shape\(k\) y el parámetro scale\(b c\).

    Prueba

    Por definición, podemos tomar\( X = b Z \) donde\( Z \) tiene la distribución básica de Weibull con parámetro shape\( k \). Pero entonces\( Y = c X = (b c) Z \).

    La distribución exponencial es un caso especial de la distribución de Weibull, el caso correspondiente a tasa de falla constante.

    La distribución de Weibull con parámetro de forma 1 y parámetro de escala\( b \in (0, \infty) \) es la distribución exponencial con parámetro de escala\( b \).

    Prueba

    Cuando\( k = 1 \), el Weibull CDF\( F \) es dado por\( F(t) = 1 - e^{-t / b} \) for\( t \in [0, \infty) \). Pero este es también el CDF de la distribución exponencial con parámetro de escala\( b \).

    De manera más general, cualquier variable distribuida de Weibull se puede construir a partir de la variable estándar. El siguiente resultado es una simple generalización de la conexión entre la distribución básica de Weibull y la distribución exponencial.

    Supongamos que\(k, \, b \in (0, \infty)\).

    1. Si\(X\) tiene la distribución exponencial estándar (parámetro 1), entonces\(Y = b \, X^{1/k}\) tiene la distribución Weibull con el parámetro shape\(k\) y el parámetro scale\(b\).
    2. Si\(Y\) tiene la distribución Weibull con el parámetro shape\(k\) y el parámetro scale\(b\), entonces\(X = (Y / b)^k\) tiene la distribución exponencial estándar.
    Prueba

    Los resultados son una simple consecuencia del resultado correspondiente anterior

    1. Si\( X \) tiene la distribución exponencial estándar entonces\( X^{1/k} \) tiene la distribución básica de Weibull con el parámetro shape\( k \), y por lo tanto\( Y = b X^{1/k} \) tiene la distribución Weibull con el parámetro shape\( k \) y el parámetro scale\( b \).
    2. Si\( Y \) tiene la distribución Weibull con el parámetro shape\( k \) y el parámetro scale\( b \) entonces\( Y / b \) tiene la distribución Weibull básica con el parámetro shape\( k \), y por lo tanto\( X = (Y / b)^k \) tiene el distributioon exponencial estándar.

    La distribución de Rayleigh, llamada así por William Strutt, Lord Rayleigh, es también un caso especial de la distribución de Weibull.

    La distribución Rayleigh con parámetro de escala\( b \in (0, \infty) \) es la distribución de Weibull con parámetro de forma\( 2 \) y parámetro de escala\( \sqrt{2} b \).

    Prueba

    La distribución de Rayleigh con parámetro de escala\( b \) tiene CDF\( F \) dada por\[ F(x) = 1 - \exp\left(-\frac{x^2}{2 b^2}\right), \quad x \in [0, \infty) \] Pero esta es también la CDF de Weibull con parámetro de forma\( 2 \) y parámetro de escala\( \sqrt{2} b \).

    Recordemos que el mínimo de variables independientes, distribuidas exponencialmente también tiene una distribución exponencial (y el parámetro de tasa del mínimo es la suma de los parámetros de tasa de las variables). La distribución de Weibull tiene una propiedad similar, pero más restringida.

    Supongamos que\( (X_1, X_2, \ldots, X_n) \) es una secuencia independiente de variables, teniendo cada una la distribución de Weibull con parámetro shape\( k \in (0, \infty) \) y parámetro scale\( b \in (0, \infty) \). Luego\( U = \min\{X_1, X_2, \ldots, X_n\} \) tiene la distribución Weibull con parámetro shape\( k \) y parámetro scale\( b / n^{1/k} \).

    Prueba

    Recordemos que la función de confiabilidad del mínimo de variables independientes es el producto de las funciones de confiabilidad de las variables. De ello se deduce que\( U \) tiene función de confiabilidad dada por\[ \P(U \gt t) = \left\{\exp\left[-\left(\frac{t}{b}\right)^k\right]\right\}^n = \exp\left[-n \left(\frac{t}{b}\right)^k\right] = \exp\left[-\left(\frac{t}{b / n^{1/k}}\right)^k\right], \quad t \in [0, \infty) \] y así el resultado sigue.

    Como antes, la distribución de Weibull tiene las conexiones habituales con la distribución uniforme estándar por medio de la función de distribución y la función cuantil dada anteriormente.

    Supongamos que\( k, \, b \in (0, \infty) \).

    1. Si\( U \) tiene la distribución uniforme estándar, entonces\( X = b (-\ln U )^{1/k} \) tiene la distribución de Weibull con parámetro de forma\( k \) y parámetro de escala\( b \).
    2. Si\( X \) tiene la distribución básica de Weibull con el parámetro shape\( k \) entonces\( U = \exp\left[-(X/b)^k\right] \) tiene la distribución uniforme estándar.
    Prueba

    Dejar\( F \) denotar el CDF de Weibull con parámetro de forma\( k \) y parámetro de escala\( b \) y así que esa\( F^{-1} \) es la función cuantil correspondiente.

    1. Si\( U \) tiene la distribución uniforme estándar entonces también lo hace\( 1 - U \). De ahí\(X = F^{-1}(1 - U) = b (-\ln U )^{1/k} \) que tenga la distribución de Weibull con parámetro de forma\( k \) y parámetro de escala\( b \).
    2. Si\( X \) tiene la distribución Weibull con el parámetro shape\( k \) y el parámetro scale\( b \) entonces\( F(X) \) tiene la distribución uniforme estándar. Pero entonces también lo hace\( U = 1 - F(X) = \exp\left[-(X/b)^k\right] \).

    Nuevamente, dado que la función quantile tiene una forma simple y cerrada, la distribución de Weibull se puede simular usando el método de cuantil aleatorio.

    Abra el experimento de cuantiles aleatorios y seleccione la distribución de Weibull. Varíe los parámetros y anote nuevamente la forma de las funciones de distribución y densidad. Para valores seleccionados de los parámetros, ejecute la simulación 1000 veces y compare la densidad empírica, la media y la desviación estándar con sus contrapartes distribucionales.

    La distribución limitante con respecto al parámetro de forma se concentra en un solo punto.

    La distribución de Weibull con parámetro de forma\( k \in (0, \infty) \) y parámetro de escala\( b \in (0, \infty) \) converge para señalar la masa en\( b \) as\( k \to \infty \).

    Prueba

    Si\( X \) tiene la distribución Weibull con el parámetro shape\( k \) y el parámetro scale\( b \), entonces podemos escribir\(X = b Z \) donde\( Z \) tiene la distribución básica de Weibull con el parámetro shape\( k \). Se demostró anteriormente que la distribución de\( Z \) converge a masa puntual en 1, por lo que por el teorema de continuidad para convergencia en distribución, la distribución de\( X \) converge a masa puntual en\( b \).

    Finalmente, la distribución Weibull es un miembro de la familia de distribuciones exponenciales generales si el parámetro shape es fijo.

    Supongamos que\( X \) tiene la distribución de Weibull con el parámetro shape\( k \in (0, \infty) \) y el parámetro scale\( b \in (0, \infty) \). Para fijo\( k \),\( X \) tiene una distribución exponencial general con respecto a\( b \), con parámetros naturales\( k - 1 \) y estadísticas naturales\( \ln X \).

    Prueba

    Esto se desprende de la definición de la distribución exponencial general, ya que el PDF de Weibull se puede escribir en la forma\[ f(t) = \frac{k}{b^k}\exp\left(-t^k\right) \exp[(k - 1) \ln t], \quad t \in (0, \infty) \]

    Ejercicios Computacionales

    La vida útil\(T\) de un dispositivo (en horas) tiene la distribución de Weibull con parámetro de forma\(k = 1.2\) y parámetro de escala\(b = 1000\).

    1. Encuentra la probabilidad de que el dispositivo dure al menos 1500 horas.
    2. Aproximar la media y desviación estándar de\(T\).
    3. Calcular la función de tasa de fallas.
    Contestar
    1. \(\P(T \gt 1500) = 0.1966\)
    2. \(\E(T) = 940.7\),\(\sd(T) = 787.2\)
    3. \(h(t) = 0.000301 t^{0.2}\)

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