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13.2: Póker

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    Teoría Básica

    La Mano de Póker

    Una baraja de cartas naturalmente tiene la estructura de un conjunto de productos y así se puede modelar matemáticamente por\[ D = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, \jack, \queen, \king\} \times \{\clubsuit, \diamondsuit, \heartsuit, \spadesuit\} \] donde la primera coordenada representa la denominación o tipo (as, dos a 10, jack, reina, rey) y donde la segunda coordenada representa la traje (palos, diamante, corazones, espadas). A veces representamos una carta como una cadena en lugar de un par ordenado (por ejemplo\(\queen \, \heartsuit\)).

    Hay muchos juegos de póquer diferentes, pero nos interesará el póquer de sorteo estándar, que consiste en repartir 5 cartas al azar de la baraja\(D\). El orden de las cartas no importa en el póquer de sorteo, por lo que registraremos el resultado de nuestro experimento aleatorio como el conjunto aleatorio (mano)\(\bs{X} = \{X_1, X_2, X_3, X_4, X_5\}\) donde\(X_i = (Y_i, Z_i) \in D\) para cada uno\(i\) y\(X_i \ne X_j\) para\(i \ne j\). Así, el espacio de muestra consiste en todas las manos de póquer posibles:\[ S = \left\{\{x_1, x_2, x_3, x_4, x_5\}: x_i \in D \text{ for each } i \text{ and } x_i \ne x_j \text{ for all } i \ne j \right\} \] Nuestra suposición básica de modelado (y el significado del término al azar) es que todas las manos de póquer son igualmente probables. Así, la variable aleatoria\(\bs{X}\) se distribuye uniformemente sobre el conjunto de posibles manos de póquer\(S\). \[ \P(\bs{X} \in A) = \frac{\#(A)}{\#(S)} \]En términos estadísticos, una mano de póquer es una muestra aleatoria de talla 5 extraída sin reemplazo y sin tener en cuenta el orden de la población\(D\). Para más información sobre este tema, consulte el capítulo sobre Modelos de Muestreo Finito.

    El valor de la mano

    Hay nueve tipos diferentes de manos de póquer en términos de valor. Usaremos los números 0 a 8 para denotar el valor de la mano, donde 0 es el tipo de menor valor (en realidad ningún valor) y 8 el tipo de mayor valor.

    El valor\(V\) de la mano de una mano de póquer es una variable aleatoria que toma valores de 0 a 8, y se define de la siguiente manera:

    1. Sin Valor. La mano no es de ninguno de los otros tipos.
    2. Un Par. La mano tiene 2 cartas de un tipo, y una carta cada una de otras tres clases.
    3. Dos Pares. La mano tiene 2 cartas de un tipo, 2 cartas de otro tipo y una carta de tercera clase.
    4. Tres de una clase. La mano tiene 3 cartas de un tipo y una carta de cada una de otras dos clases.
    5. Recta. Los tipos de cartas en la mano forman una secuencia consecutiva pero las cartas no están todas en el mismo palo. Un as puede considerarse la denominación más pequeña o la denominación más grande.
    6. Enrasado. Las cartas están todas en el mismo palo, pero los tipos de cartas no forman una secuencia consecutiva.
    7. Casa Llena. La mano tiene 3 cartas de un tipo y 2 cartas de otro tipo.
    8. Cuatro de una especie. La mano tiene 4 tarjetas de un tipo, y 1 carta de otro tipo.
    9. Recto al ras. Las cartas están todas en el mismo palo y los tipos forman una secuencia consecutiva.

    Ejecuta el experimento de poker 10 veces en modo de un solo paso. Para cada resultado, tenga en cuenta que el valor de la variable aleatoria corresponde al tipo de mano, como se indicó anteriormente.

    Para un cierto alivio cómico antes de llegar al análisis, mira dos de las pinturas de Dogs Playing Poker de CM Coolidge.

    1. Su Estación y Cuatro Ases
    2. Waterloo

    La función de densidad de probabilidad

    El cálculo de la función de densidad de probabilidad\(V\) es un buen ejercicio de probabilidad combinatoria. En los siguientes ejercicios, necesitamos las dos reglas fundamentales de la combinatoria para contar el número de manos de póquer de un tipo dado: la regla de multiplicación y la regla de suma. También necesitamos algunas estructuras combinatorias básicas, particularmente combinaciones.

    El número de diferentes manos de poker es\[ \#(S) = \binom{52}{5} = 2\,598\,960 \]

    \(\P(V = 1) = 1\,098\,240 / 2\,598\,960 \approx 0.422569\).

    Prueba

    Los siguientes pasos forman un algoritmo para generar manos de póquer con un par. También se da el número de formas de realizar cada paso.

    1. Seleccione un tipo de tarjeta:\(13\)
    2. Seleccione 2 tarjetas del tipo de la parte (a):\(\binom{4}{2}\)
    3. Seleccione 3 tipos de tarjetas, diferentes del tipo en (a):\(\binom{12}{3}\)
    4. Seleccione una tarjeta de cada uno de los tipos de la parte (c):\(4^3\)

    \(\P(V = 2) = 123\,552 / 2\,598\,960 \approx 0.047539\).

    Prueba

    Los siguientes pasos forman un algoritmo para generar manos de póquer con dos pares. También se da el número de formas de realizar cada paso.

    1. Seleccione dos tipos de tarjetas:\(\binom{13}{2}\)
    2. Seleccione dos tarjetas de cada uno de los tipos en (a):\(\binom{4}{2} \binom{4}{2}\)
    3. Seleccione un tipo de tarjeta diferente de los tipos en (a):\(11\)
    4. Seleccione una tarjeta del tipo en (c):\(4\)

    \(\P(V = 3) = 54\,912 / 2\,598\,860 \approx 0.021129\).

    Prueba

    Los siguientes pasos forman un algoritmo para generar manos de póquer con tres de un tipo. También se da el número de formas de realizar cada paso.

    1. Seleccione un tipo de tarjeta:\(13\)
    2. Seleccione 3 tarjetas del tipo en (a):\(\binom{4}{3}\)
    3. Seleccione 2 tipos de tarjetas, diferentes del tipo en (a):\(\binom{12}{2}\)
    4. Seleccione una tarjeta de cada uno de los tipos en (c):\(4^2\)

    \(\P(V = 8) = 40 / 2\,598\,960 \approx 0.000015\).

    Prueba

    Los siguientes pasos forman un algoritmo para generar manos de póquer con un color recto. También se da el número de formas de realizar cada paso.

    1. Seleccione el tipo de carta más baja en la secuencia:\(10\)
    2. Seleccione un traje:\(4\)

    \(\P(V = 4) = 10\,200 / 2\,598\,960 \approx 0.003925\).

    Prueba

    Los siguientes pasos forman un algoritmo para generar manos de póquer con una recta o una recta al ras. También se da el número de formas de realizar cada paso.

    1. Seleccione el tipo de carta más baja en la secuencia:\(10\)
    2. Seleccione una tarjeta de cada tipo en la secuencia:\(4^5\)

    Por último, necesitamos restar el número de socorridas de staight arriba para obtener el número de manos con una recta.

    \(\P(V = 5) = 5108 / 2\,598\,960 \approx 0.001965\).

    Prueba

    Los siguientes pasos forman un algoritmo para generar manos de póquer con un flush o un flush recto. También se da el número de formas de realizar cada paso.

    1. Seleccione un traje:\(4\)
    2. Seleccione 5 cartas del palo en (a):\(\binom{13}{5}\)

    Por último, necesitamos restar el número de rubores rectos arriba para obtener el número de manos con una descarga.

    \(\P(V = 6) = 3744 / 2\,598\,960 \approx 0.001441\).

    Prueba

    Los siguientes pasos forman un algoritmo para generar manos de póquer con una casa llena. También se da el número de formas de realizar cada paso.

    1. Seleccione un tipo de tarjeta:\(13\)
    2. Seleccione 3 tarjetas del tipo en (a):\(\binom{4}{3}\)
    3. Seleccione otro tipo de tarjeta:\(12\)
    4. Seleccione 2 tarjetas del tipo en (c):\(\binom{4}{2}\)

    \(\P(V = 7) = 624 / 2\,598\,960 \approx 0.000240\).

    Prueba

    Los siguientes pasos forman un algoritmo para generar manos de póquer con cuatro de un tipo. También se da el número de formas de realizar cada paso.

    1. Seleccione un tipo de tarjeta:\(13\)
    2. Seleccione 4 tarjetas del tipo en (a):\(1\)
    3. Seleccione otro tipo de tarjeta:\(12\)
    4. Seleccione una tarjeta del tipo en (c):\(4\)

    \(\P(V = 0) = 1\,302\,540 / 2\,598\,960 \approx 0.501177\).

    Prueba

    Por la regla del complemento,\(\P(V = 0) = 1 - \sum_{k=1}^8 \P(V = k)\)

    Tenga en cuenta que la función de densidad de probabilidad de\(V\) es decreciente; cuanto más valioso sea el tipo de mano, menos probable es que ocurra el tipo de mano. Tenga en cuenta también que ningún valor y un par representan más del 92% de todas las manos de póquer.

    En el experimento de poker, anote la forma de la gráfica de densidad. Tenga en cuenta que algunas de las probabilidades son tan pequeñas que son esencialmente invisibles en la gráfica. Ahora ejecuta la mano de póquer 1000 veces y compara la función de frecuencia relativa con la función de densidad.

    En el experimento de poker, establece el criterio de stop al valor que\(V\) se da a continuación. Anote el número de manos de póquer requeridas.

    1. \(V = 3\)
    2. \(V = 4\)
    3. \(V = 5\)
    4. \(V = 6\)
    5. \(V = 7\)
    6. \(V = 8\)

    Encuentra la probabilidad de conseguir una mano que sea tres de un tipo o mejor.

    Contestar

    0.0287

    En la película The Parent Trap (1998), ambos gemelos reciben rubores directos en el mismo trato de poker. Encuentra la probabilidad de este evento.

    Contestar

    \(3.913 \times 10^{-10}\)

    Clasificar\(V\) en términos de nivel de medición: nominal, ordinal, intervalo o ratio. ¿Es\(V\) significativo el valor esperado de?

    Contestar

    Ordinal. No.

    Una mano con un par de ases y un par de ochos (y una quinta carta de otro tipo) se llama mano de hombre muerto. El nombre es en honor a Wild Bill Hickok, quien sostuvo tal mano en el momento de su asesinato en 1876. Encuentra la probabilidad de conseguir la mano de un muerto.

    Contestar

    \(1584 / 2\,598\,960\)

    Tarjetas de Dibujo

    En el draw poker, a cada jugador se le reparte una mano de poker y hay una ronda inicial de apuestas. Por lo general, cada jugador puede entonces descartar hasta 3 cartas y se reparte esa cantidad de cartas del mazo restante. Esto lleva a innumerables problemas en la probabilidad condicional, a medida que se dispone de información parcial. Un análisis completo está mucho más allá del alcance de esta sección, pero consideraremos un conjunto de ejemplos simples.

    Supongamos que la mano de Fred lo es\(\{4\,\heartsuit, 5\,\heartsuit, 7\,\spadesuit, \queen\,\clubsuit, 1\,\diamondsuit\}\). Fred descarta el\(\queen\,\clubsuit\) y\(1\,\diamondsuit\) y saca dos cartas nuevas, con la esperanza de completar la recta. Tenga en cuenta que Fred debe obtener un 6 y ya sea un 3 o un 8. Dado que le falta una denominación media (6), Fred está dibujando a una recta interior. Encuentra la probabilidad de que Fred tenga éxito.

    Contestar

    \(32 / 1081\)

    Supongamos que la mano de Wilma es\(\{4\,\heartsuit, 5\,\heartsuit, 6\,\spadesuit, \queen\,\clubsuit, 1\,\diamondsuit\}\). Wilma descarta\(\queen\,\clubsuit\) y\(1\,\diamondsuit\) y saca dos cartas nuevas, con la esperanza de completar la recta. Tenga en cuenta que Wilma debe obtener un 2 y un 3, o un 7 y un 8, o un 3 y un 7. Encuentra la probabilidad de que Wilma tenga éxito. Claramente, Wilma tiene más posibilidades que Fred.

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    \(48 / 1081\)


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